Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 21
Текст из файла (страница 21)
".) Прн различных предположениях относительно распределения параметров газа в слое влияние центробежных сил прн обтекании тел вращениЯ проанализировано в работе [25). Для случая обтекания тел произвольной формы учет центробежных снл при сформулированном в настоящем пара. графе предположении произведен в работах [26) и [27).
э 4) 113 ФОРМУЛА ВУЗВМАНА Рассмотрим движение частиц вдоль поверхности тела после соударения с ним (рис. 3.13; изображенный на рисунке слой между пунктирной линией и контуром тела. в котором движутся частицы, испытавшие влияние тела, нужно мыслить бесконечно тонким). В точке с координатой х разность еур давлений в элементарном Рис. 3.18. К выводу формулы Буземаиа. слое, состоящем из частиц, столкнувшихся с поверхностью вблизи точки с координатой х' и имеющих скорость и(х'), равна следующей величине: р(х, х') ий(х') (3.1 4) 11 (х) Здесь 15 (х) — радиус кривизны обтекаемого контура, Фи— толщина упомянутого элементарного сЛоя по внешней нормали к поверхности.
Из условия сохранения массы в слое получаем р(х, х')и(х')1(х)51п =р,$геуг" (х'). где 1(х) = 1 и 1(х) =2яг(х) соответственно в случае плоских и осесимметричнык течений, Р— площадь сечения обтекаемого тела плоскостью. нормальной направлению набегающего потока, и через г обозначен радиус образующей тела вращения. ах 1 аг Используя это выражение, а также то, что Й = — — =— еГа Йп а еГа преобразуем соотношение (3.14) к виду г(р = — р, У 5! и а — и (х') Йге (х'). еГг' Так как касательная к телу составляющая скорости частиц остается при столкновении неизменной, то и (х') = Ъ'сова (х').
Интегрируя полученное выражение и принимая во внимание, что на внешней 8 Зен. 559. Г. Г. Черный 114 [гл. и ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА границе слоя р=р,[газ[ива, найдем давление на поверхности тела: р = р,Ъ' з!пз а+ зйп а — а[ соз а ~(Р ла / Ро (3.1 5) Р с = зйпза+зйпа — 1 созаг[Р Р Мпаа, ~ г./ Здесь с" и аа имеют те же значения, что и в уточненной формуле Ньютона (3.2).
Формулой (3.15) следует пользоваться, как и формулой Ньютона, только при р)0. В точке, где давление обращается в нуль, слой уплотненного газа отрывается от тела. Между движущимся газом и поверхностью тела образуется область вакуума, так что давление на поверхности всюду в этой области равно нулю. Форму оторвавшегося слоя уплотненного газа легко найти, приравнивая нулю правую часть выражения (3.15) для давления [28[. При вычислении сопротивления тела с использованием формулы (3.15) интеграл следует брать лишь по той части поверхности, где давление больше нуля. Для тонких заостренных впереди тел, заменяя в формуле (3.15) синус угла к значением самого угла, а косинус угла единицей, найдем р=р,Ъ'(г' +--и ) или, в уточненном виде: (3.15) Здесь г = г (х) — уравнение обтекаемого контура.
В отличие от формулы (3.15), согласно выражению (3.16) давление на элемент поверхности тела зависит только от локальных геометрических характеристик этого элемента. Приведем результаты использования формулы (3. 15), учитывающей наряду с давлением, возникающим из-за соударения частиц с телом, влияние центробежных сил в слое для нахождения распределения давления по поверхности тел при обтекании их потоком В отличие от формулы Ньютона, согласно этому выражению давление в данной точке обтекаемой поверхности определяется не только ориентацией элемента поверхности по отношению к набегающему потоку, но и формой всей поверхности, расположенной выше по течению.
Формула (3.15) была впервые приведена в работе [24[, вследствие чего мы будем называть ее формулой Буземана. Для дальнейшего перепишем формулу Буземана в следующем уточненном виде: ь 41 ФОРМУЛА БУЗБМАНА воздуха (7 = 1,4). На рисунках 3.5, 3.7 и 3.8 приводилось сравнение найденных с помощью формулы Ньютона коэффициентов давления на поверхности обтекаемых газом тел различной формы с более точными теоретическими значениями и с результатами экспериментов. На этих же рисунках штрих-пунктирными линиями показаны значения с /с*, вычисленные по уточненной формуле Буземана. Еше один пример сравнения с более точным расчетом приведен на рис.
3.16, О 4 в /2 Ю 4кг-О' Рис, 3.16. Распределение давлений но поверхности тела Ожнвальной формы. Сравнение теоретических и экспериментальных данных. где представлено распределение давлений на теле вращения с образующей в виде дуги окружности с полууглом при вершине, равным 16,26', найденное 1251 методом характеристик при М=8 и 7= 1,4 и рассчитанное согласно уточненным формулам Ньютона (сплошная кривая) и Буземана (штрих-пунктирная кривая), Рассмотрение рисунков 3.6, 3.7.
3.8 и 3.16 показывает, что использование формулы Буземана для нахождения распределения давления по телам, обтекаемым газом с 7 = 1,4, дает худшие результаты, чем использование формулы Ньютона, которая в рассмотренных случаях дает вполне удовлетворительные результаты. Высокая точность формулы Ньютона при расчете обтекания некоторых тел потоком с большой сверхзвуковой скоростью при 7 = 1,4 объясняется компенсирующим влиянием двух факторов, В действительности при обтекании тела давление за ударной волной выше, чем давление согласно формуле Ньютона, так как угол встречи ударной волны р с направлением набегающего потока при 7 = 1,4 больше, чем фигурирующий в формуле Ньютона угол а, образуемый с этим направлением поверхностью тела.
316 !гл. Н1 ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА Повышенное давление вблизи ударной волны при обтекании выпуклого тела уменьшается по направлению к поверхности тела при учете центробежной силы и этот эффект в значительной степени компенсирует повышенное значение давления за ударной волной, При обтекании зоанутмх контуров оба фактора действуют в одну сторону (давление по направлению от ударной волны к телу возрастает благодаря центробежной силе) и формула Ньютона должна давать плохие результаты.
Для подтверждения сделанного вывода обратимся к рассмотренным в 9 5 гл. П случаям обтекания тел с образующей, описываемой степенной и показательной функциями. Если перейти к эквивалентным одномерным неустановившимся течениям газа, то согласно формуле Ньютона 2 ~(ЛГ) Из рисунка 2,17, построенного на основании точных расчетов (с использованием закона плоских сечений). следует, что для конуса т — 1 1 1 и для выпуклых тел вращения при 7 =1,4 !т. е. при — = — ) т+1 — 6) величина лежит в пределах 1,7 — 2,1, т. е. действи- Р 2 ~(лг ) тельно не очень сильно отличается от значения, даваемого формулой Ньютона. Напротив, для тела.вращения, имеющего вогнутый контур с уравнением в виде показательной функции, в соответствии с приведенной в 9 5 гл.
!! таблицей точного расчета = 2,90, что 1 ~ Л17)з почти в полтора раза превышает значение по формуле Ньютона. Непосредственное использование Рнс. 3.17. Тело с изломом образующей формулы Ньютона не дает удовле- творительных результатов и при определении давления на теле, изображенном на рис. 3.17, за местом излома образующей. При увеличении уплотнения газа в ударной волне, т. е. для совершенного газа при М -+ со и 7 -+ 1, различие между углом ударной волны и углом наклона поверхности тела уменьшается; фактор, который компенсирует уменьшение давления поперек слоя вследствие наличия центробежных сил при обтекании выпуклых тел, исчезает.
Поэтому при больших сверхзвуковых скоростях и близких к единице, формула Ньютона должна давать повышенные й 4) ФОРМУЛА БУЗЕМАНА значения давления при обтекании выпуклых поверхностей и пониженные — при обтекании вогнутых поверхностей. Точность же формулы Буземана становится прн увеличении уплотнения газа в слое н при соответствующем уменьшении толщины слоя все большей и при обращении толщины слоя в нуль формула Буземана дает точные значения давления. Подтвердим этот вывод двумя примерами. В качестве первого примера рассмотрим тела с уравнением образующей в виде степенного одночлена.
Для таких тел согласно формуле Буземана Г Ло 1а ~ Ф (л+ 1) ~ ' 2 ~1яг/ Эти значения давления совпадают с приведенными на рис. 2.17 ч точными значениями при М = со и Т = 1. При н, не близких к —,—. А+2 зависимость величины давления от Т не очень сильная и формулой Буземана можно пользоваться и при Т, заметно превышающих елниицу. 00 004 0 йз 00 й О ОД аВ й Рис.
3.18. Распределение давлений по профилю согласно фор- мулам Ньютона н Буземана при т = 1,4 и т = 1,05. Прн и ) 0 эта зависимость еще более слабая. Так. в рассмотренном ранее случае обтекания тела вращения с образующей в виде показательной функции согласно формуле Буземана ~ =3 2 Рг( лг' ) < для плоского контура = 4 , тогда как точное значе- 1 (сУ~ )г ние при Т = 1,4 равно 2,90. Второй пример относится к обтеканию профиля с острыми кромками. На рис.
3.18 приведены вычисленные по формулам (3.1) [гл. 1н 118 ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА ф 6. Определение формы тел с наименьшим сопротивлением при использовании формулы Буземана В предыдущем параграфе было показано, что при сильном уплотнении газа в головной ударной волне давление на поверхности тела зависит только от формы тела и определяется в случае плоского илн осесимметричного потоков формулой Буземана Иа р=р,У' з[п'а+З1па — г созадг. Ю.' (3.17) которую иначе можно переписать в следующем виде: Интегрируя полученное отсюда выражение для коэффициента давле- ния по поверхности обгекаемого тела, находим коэффициент сопро- тивления профиля или тела вращения: (3,181 При выводе этой формулы сила сопротивления отнесена в случае обтекания тела вращения с протоком к кольцевой плошади г'1 — ~О.
(сплошная кривая) и (3.15) (штрих-пунктирная кривая) значения коэффициента давления на профиле с относительной толщиной '/ю, образованном дугами окружности, при М = оо и при значениях 7, равных 1,40 и 1,05. Там же нанесены кружками значения, полученные [29[ при расчете по методу характеристик (о значении пунктирных линий на рис. 3.18 будет сказано в гл.
!Н), При 7 = 1,40 учет центробежных сил [формула (3.15)[ приводит к существенному уменьшению давления по сравнению с точными значениями; формула Ньютона дает удовлетворительные результаты [особенно в уточненной форме (3.2)[. Напротив, при 7 = 1.05 по формуле Ньютона получаются давления, намного превосходящие точные значения; формула (3.15) дает результаты, близкие к истинным. 9 5] опгвдклвнив еогмы тел с наименьшим сопготивлкнивм 119 Согласно выражению(3.18) сопротивление тела определяется не только интегралом, зависящим от формы тела, т.
е. функцией а(Р), но и отдельно значением а при Р = Ро Последнее связано с тем, что уплотненный слой газа может поворачиваться вблизи заднего сечения тела так, что а, + 1нп а *). РьР, Выражение (3.18) дтя коэффициента сопротивления дает возможность разрешать различные вариационные задачи о телах с наименьшим внешним сопротивлением ь*). Рассмотрим опять, как и при использовании формулы Ньютона, простейшую задачу об определении формы тела, обладающего наименьшим сопротивлением при заданных значениях уо и у, (длину тела считаем равной единице). Учитывая, что а, может не быть равным 1нп а, будем варьировать в формуле (3.18) интеграл и мно- Р-ьР, житель перед ним независимо друг от друга ]26].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
