Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 25
Текст из файла (страница 25)
9 8[ 139 метод пОГРАничнОГО слОя: пРимеРы следующий вид: (3.47) Выражения (3.46) и (3.47) дают в рассматриваемом приближении полное решение эквивалентной задачи о неустановившемся движении газа при расширении в нем поршня с постоянной скоростью. Можно убедиться, что в случае течений с плоскими волнами (е=1) это приближенное решение совпадает с точным решением. Для течений со сферическими волнами (е=3) сравнение результатов использования приближенных формул (3.46) и (ЗА7) с результатами точных расчетов [45[, произведенное в работе [36[, также свидетельствует об их высокой точности при значениях —, ббльших единицы.
(7 де При переходе от эквивалентной задачи о неустановившемся движении газа при вытеснении его поршнем к задаче об обтекании потоком с большой сверхзвуковой скоростью клина и конуса обозначим, и ь в как это уже делалось в гл. П, —,= — е1да=К, —,= — е18[) = К,. Тогда связь между К, и К согласно формуле (3.47) будет иметь вид (3.48) т Ке а для величины коэффициента давления на поверхности клина или конуса в соответствии с выражениями (3.46) получаем СРЬ[а = 2 ~ — (Кт — 1)+ т— — (Ка+ — )~. (3.49) Формулы (3.48) и (3.49) при е = 2 совпадают с формулами (3.10) и (3.13), полученными ранее в качестве основных соотношений в методе касательных конусов.
результаты их сравнения с точными расчетами обтекания конуса были приведены на рисунках 2.12 н 2.5. 2. Обтекание потоком с очень большой сверхзвуковой скоростью тел, имеющих уравнение образующей в виде степенного одночлена. В эквивалентной задаче об одномерном неустановившемся движении в этом случае будем иметь Я=С„ Ге+1 )ге С вЂ”, 'л+1 ае причем отношение — нужно считать пренебрежимо малым, вследствие В чего движение является автомодельным.
Точное решение этой залачн рассматривалось в 9 б гл. П. Приближенное ее решение дают 9 8[ метод погганичного слоя: пгимвгы 141 дЯ) газа — ) будет уменьшаться при малых значениях ло, если л придг! ближается к — ч/(ч+2). Давление на поверхности поршня в соответствии с формулами (3.50) равняется следующей величине: Ф л 1 †Р=Р ~1+ о О~ ч(л+1) 1+1 ч — —.— Х 1 Х [ч(л+1) +1+ ~~,l Р'1 *~=Р оч (0) (3.52) о В отношении этого выражения отметим, что и при л -+ — «/(ч+ 2) оно будет сохранять высокую точность.
так как быстрое увеличение толщины слоя газа между ударной волной и поршнем при л -о — «Кч+ 2) обусловлено появлением вблизи поршня области, где газ имеет весьма малую плотность и где, следовательно, давление газа не может заметно изменяться. На рисунках 2.16 и 2.18 представлены в виде кривых значения Р„ — и —, вычисленные по найденным приближенным формулам с уче- Р чго т — 1 том членов порядка — для случаев ч= 1 и ч = 2. На этих рисунт+1 ках, как уже говорилось в гл.
П, светлые кружки соответствуют значениям, полученным при решении точных уравнений посредством численного интегрирования [46[. Темные кружки соответствуют точному решению задачи о движении плоского поршня с постоянной скоростью; перечеркнутые светлые и темные кружки соответствуют точному решению задачи о сильном взрыве цилиндрического и плоского заряда, которая будет описана в гл. Н. Применим еще найденное приближенное решение для определения коэффициента сопротивления тел рассматриваемой формы. Для этого в полученные ранее выражения (2.19) и (2.20) подставим приблиД1 Ри женные значения Ж(0)= — и о9«(0)= —." согласно формулам (3.51) о'о и (3.52). Результаты вычислений для случая ч=2 и т=1,4 показаны на рисунках 2.19 и 2.20. Совпадение приближенного решения с точными значениями весьма удовлетворительное даже при л(0 (соответствующие части кривых даны пунктиром), за исклю- 1 чением значений л, близких к — —.
Если в приближенном ре- 2 ' шенин учесть только главные члены, т. е. отбросить члены порядка т — 1 т+1 — и.выше, то выражения для с становятся совсем простыми [39[. [гл. Нт 142 ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА В этом случае в соответствии с формулами (3.51) и (3.52) следует положить ':='+ Г+ " 1, тто р 2 , ч (л .+ 1) 1 ' после чего выражения (2.19) н (2.20) примут следующий вид: (и+1)тп (»+ 1) + ч 2 л(»+2)+ч с 2"Яч О т) (л+ 1)т л (ч+ 1) + ч Л»+т'т ). л(ч+2)+» (чл+1+ )т( Ъ' Отсюда простыми выкладками можно найти, что при фиксированной относительной толщине тела т коэффициент сопротивления см рис. 3.25. Обтекание тела вращения в виде усе- ченного конуса с протоком, имеет минимум при л= — 0.136 для ч=1 и при'и= — — для 1 3 ч= 2.
Соответствующие значения с равны 0,460т' и — т' (для клина т и для конуса в рассматриваемом приближении с = — та). — г 2 При фиксированных объеме и радиусе наибольшего сечения телом минимального сопротивления при ч=! является клин (и= О), в случае ч = 2 с имеет минимум при л = — 0,130. Соответствующие значения с равны — 11 — ) и 2,161 — ) [тдля конуса с =2,19~ — ) ). Ж 2 1 гг) ' ч [г) и 1 3. Обтекание конического тела с протоком [38[. В качестве простейшего примера получения методом пограничного слоя решения 2 8) 143 метод пОГРАничнОГО слОИ: пРимеРы задачи о неавтомодельном движении рассмотрим обтекание сверхзвуковым потоком тела вращения в виде усеченного конуса с протоком (рис. 3.25). Не считая, что угол наклона образующей у передней кромки тела обязательно мал, применим для исследования течения формулы, полученные в 2 6. Для рассматриваемого тела Й (х) = со, Г = го+ х з!и а, где Го — РадиУс пеРеднего сечениЯ конУса.
Из условий (3.35) на ударной волне и условия на обтекаемой стенке находим значения произвольных функций в выражениях (З.ЗЗ): ио (ф) = У соз а, р'(х) = РоУЕ япз а, 1 Ьо (ф) = —, (1+ — ... ) (РоУЕ Яп' а)'1, У(х) = О. Все эти функции сводятся, таким образом, к постоянным. Подста- вляя нх в формулы (3.33) н учитывая, что «=2, получаем: Ф Уо = Роиог Ф 21п а Ро" ио = 1' соз а, (3.53) ро Ро= 2 1 1+— т — 1М 21п а ро = ро Уз яп а Функцию у', определяющую форму ударной волны, найдем, заменив в выражении для уо функцию тока ф ее значением на ударной волне ф": О 2 2 У = Фо РУà — "о (3.
54) Ропот Роио 2г р У21п о Ф+ р $Ф<, и— ! ро соз а 2Ф + р Уго ро Г 1 / г','1' Р РОУ22[П2а 1+ 1+ Ро~ 4 [«Г2 < ' (Рорзз(пза+ро) РоУ )1 = (Е[-'< -'-:)'-<,'")'1 < 4 Р 1 Рьго (1 — 1) М 21п о тро/ 2Ф+ Р Уго (1 1) (3.55) 4 М 21поа Используя формулы (3.53) и граничные условия (3.35), после несложных выкладок найдем из выражений (3.34) функции и,.
Р„РЫ 144 [гл. щ закон сопротивления ньютона Формулы (3.53) и (3.55) дают выражения для всех искомых величин в области течения за скачком уплотнения. В частности, распределение давления по обтекаемой стенке определится выражением р ро=ро$''2$!пой 1 +т 1 †1+1 4 '~' "--"-")~"1 - )Ц Интегрируя избыточное давление по поверхности обтекаемого тела, Л 4 о К Рис. 3.26. Коэффипиент сопротивления тел вращения в виде усечен- ного конуса с протоком. получаем коэффициент сопротивления конического тела с протоком Х Г т — 11 рог' 2У!п г1! .
с. = = 2~1+ — — — ~1+У вЂ” — )1япаа. (3.5б) ~ а „о) оо'О 1 т+14ро1 1 — УЬ о 2 го Здесь у = о — отношение площадей переднего и заднего сече- го ний конуса. При Г'-+1 правая часть этого выражения переходит в коэффициент сопротивления клина с = 2 ~1 — — — ~ япа а, Г т — 1ро1 Т+1ро э 3) 145 метод пограничного слоя: примеры а при У -о 0 — в коэффициент сопротивления конуса .~ ~— 1 1 ро1 с"'" = 2 ~1 — — — — ~ з)по и. 7+1 4 ро.1 в виде графиков вычисленные пО На рисунке 3.26 представлены формуле (3.56) значения с /эйно а в зависимости от параметра К= М сйп а для нескольких значен ий Г при Т = 1,4. Там же приведены некоторые точные значения с /гйп а при /=О и /=1.
Согласно выражению (3.54) кривизна ударной волны, образующейся при обтекании рассматриваемого конического тела с протоком, быстро уменьшается при увеличении координаты х. В соответствии с этим завихренность потока быстро уменьшается в направлении от обтекаемой поверхности к ударной волне; на достаточном расстоянии вниз по течению от передней кромки вихри сосредоточиваются во все более тонком слое у поверхности тела. Н8 Найдем производную —, (Я вЂ” энтропия единицы массы), величина ность: -ого -са Рнс. 3.27. Распределение завихренности в потоке нежау поверхностью тела н ударной волной прн обтекании усеченного конуса с протоком.
которой характеризует завихрен- 2 л8 т — 1 Мо я!по а == — — с„ л~ т+1 ' 11+ ьу Ф= — '-. 1Ф~ ро 2 График этой зависимости изображен на рис. 3.27, где обозначено ГЛАВА !т7 МЕТОД ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СООТНОШЕНИЙ НА СКАЧКЕ УПЛОТНЕНИЯ И В ПРОСТОЙ ВОЛНЕ В 1. Общие замечания о методах расчета сверхзвукового обтекания профилей В настоящей главе мы будем рассматривать обтекание сверхзвуковым потоком профилей с острой передней кромкой. Углы наклона элементов поверхности профиля к направлению набегающего потока и число [[л в набегающем потоке будем считать такими, чтобы головная волна была присоединенной и чтобы скорость потока всюду в возмущенной области (в той ее части, которая оказывает влияние на течение вблизи профиля) была сверхзвуковой.
При сделанных предположениях расчет течения может быть произведен методом характеристик. Однако, как уже указывалось в гл. !!1, метод характеристик довольно трудоемок и в общем случае не позволяет получить формулы для зависимостей аэродинамических характеристик профиля от его геометрических параметров, от угла атаки и от параметров набегающего потока (числа [!я и отношения тепло- емкостей 7). Поэтому естественно искать приближенные методы расчета обтекания профилей, свободные от этого недостатка. Наиболее простым таким методом является метод малых возмущений, основанный на линеаризации уравнений. В этом методе местное значение коэффициента давления на профиле определяется формулой [1) (4.1) )гМ вЂ” 1 где 0 — угол между элементом поверхности и направлением набегающего потока.
формула (4.1) позволяет без труда найти аэродинамические характеристики любого профиля. В частности, для плоской пластины, установленной под углом атаки а, находим с 4а а Узза — 1 Это выражение было использовано в гл. ! при построении пунктирных линий на рис. 1.7. 147 ф 1] овщив замячания о мятодлх яасчвтл Не останавливаясь подробнее на методе малых возмущений, основанном на линеаризации уравнений, рассмотрим вкратце некоторые другие часто используемые методы расчета давления на поверхности профиля при сверхзвуковой скорости а). При сформулированных в начале настоящего параграфа предположениях потоки с двух сторон профиля не оказывают влияния друг на друга; поэтому мы можем ограничиться рассмотрением течения, например, только над верхней поверхностью профиля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
