Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Множитель перед интегралом принимает нужное экстремальное значение при аз=О. Для нахождения максимума интеграла перейдем в формуле (3.18) от переменной интегрирования Р к переменной х — расстоянию от передней точки тела, отсчитываемому в направлении набегающего потока ]31]. После преобразований получаем: 1 (3.1 9) Подынтегральное выражение в этой формуле не содержит в явном виде переменной х; поэтому, как и в случае применения для нахождения давления формулы Ньютона, соответствующее уравнение для экстремалей у(х) должно интегрироваться в квадратурах. Простыми выкладками находим первый интеграл уравнения для экстремалей в следующем виде: з = сопа1.
(1+ ),з)'Л В случае плоского потока (т= 1) экстремали являются прямыми линиями. Для осесимметричных тел (т=2) зависимость у от хлегко представить в параметрической форме, принимая вновь за параметр р тангенс угла наклона элемента образующей тела к оси з) Увеличение угла ат сравнительно со значением 1нп а может быть Р-~Р, достигнуто путем постановки у заднего сечения тела отклоняющих щитков. Уменьшить отклонение согласно Хейзу ]26] можно, устанавливая вблизи заднего сечения тела на небольшом расстоянии от его поверхности цилиндрическое кольцо (в плоском потоке — пластинку), не создающее дополнительного сопротивления.
"") Задача о телах вращения с наименьшим сопротивлением при большой сверхзвуковой скорости рассмотрена также в работе [30], с которой автору не удалось ознакомиться. 120 [гл. ш ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА симметрии, т. е. полагаяр=у'. Прн этом получаем У(Р) У= Х(Р,) — А(Р,) Х(Р) — Х(Рв) ~Г (Рв) )Г (Рв) ' (3. 20) тле у( ) (1+Р ) в Ф 3У1+Рв 71 11 3 У'1+Р— 1 4рв 1РЗ+ 27+16!И ~/1 ! Рв (-1 Связь'между заданными величинами уо н у, и входящими в формулы (3.20) постояннымн Ре н Р, находится из очевидных соотно- шений Значения функций )'(Р);.и Х(Р) при нескольких р приведены в по- мещенной ниже таблице.
На рисунке,3.19 изображен график зависимости У от Х при больших значениях Р, представляющий в соответствующем масштабе образующую тела вращения. имеющего минимальное сопротивление при большой сверхзвуковой скорости. Согласно формуле (3.17) распределение давлений по поверхности тел, обладающих наименьшим сопротивлением, выражается следующей зависимостью: 1 7 1 . 3 3 в1пва а11 ср — — 2 ейпв а ~1 — — ~! — — Вйпв а — — з!ива + — — 1п !и — )~, 61 4 8 8 сова 2Д' представленной в виде графика на рнс.
3.20. Для всех тел с минимальным сопротивлением зависимость давления от угла наклона элемента поверхности к направлению набегаю- 0 0,10 0,15 0,2() 0,30 7570 1650 486 99,3 1010 343 133 42,0 0,50 1,0 2,0 5,0 14,6 1,26 0,135 0,009 0 11,2 2,82 1,40 1,06 1,00 а 5) опвидилинив еогмы тил с наименьшим сопготивленивм 121 щего потока одна и та же, причем давление нигде на поверхности тела не обращается в нуль. Важно отметить, что согласно 0 Я Ф б д гО Рис.
3.19. Образующая тела вращения, обладающего минимальным сопротивлением при вычислении да- вления по формуле Буземаиа. с„ со гю Рис. 3.20. Зависимость коэффициента давления от угла наклона к направлению набегающего потока элемента образующей тела минимального сопротивления. формулам (3.20) и (3.21) 1пп а Ф 0; поэтому тело найденной формы и-ь к, будет действительно телом наименьшего сопротивления только при постановке у его заднего сечения поворотного кольца (см.
сноску [гл. ш 122 ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА стр. 119). Коэффициент сопротивления тел оптимальной формы в общем случае согласно формулам (3.19) и (3.20) имеет вид ( бра с=21— (+ 1)' 1 — ),' + — !п +' ). (3.22) 32 )Г1+ рг+ Это выражение вместе с соотношениями (3.21) определяет неявным образом зависимость с тела с наименьшим сопротивлением от заданных величин уа и у,*). аа ал йа ча Рис. 3.21. Распределение давления по поверхности тел, имеющих наименьшее сопротивление. Согласно первому из соотношений (3.21) радиус начального сечения уа тел, имеющих минимальное сопротивление при заданном удлинении, отличен от нуля. При заданной относительной толщине тела 2у1 величина уе может меняться от у, до некоторого минималь- *) Формула (3.27) справедлива и без учета поворота потока у заднего 7 сечения тела, если в ней заменить (1+р )г на (1+р1) г г г 6 5) опгкдклкник вогмы ткл с нлимкньшим сопготивлкникм 123 5 21 3 Р, г 1+Рг — 1 2 о 1 1+ Зр', + Зр', =2~ (3.24) В нижеследующей таблице содержатся вычисленные по формулам (3.23) и (3.24) значения коэффициента сопротивления тел оптимальной формы при разных значениях относительной толщины тела и соответствующие значения — .
Уо Уг Уо У1 Ут ох Уг 0,423 0,767 2,24 10,4 118 0,136 0,317 0,738 1,35 1,64 0,024 0,089 0,355 0,714 0,944 0 0,004 0,015 0,034 0,059 0,000 0,000 0,000 0,003 0,008 0,30 0,50 1,0 2,0 5,0 0 0,067 0,135 0,208 0,274 0 0,05 0,10 0,15 0,20 При небольших значениях относительной толщины тела величина — весьма мала (даже для тел с относительной толщиной, равУо Уо ной 0,5, эта величина менее 0,01), так что практически ее можно о) Экспериментальные данные получены А.
Л. Гонором. ного значения, которому соответствует ро = со. При таком значении ро справедливы равенства г'(Ро) =1, Х(ро) =О, так что о 1'(Ро) Уо Рг о У,=, — = „= сйпоам (Рг) Уа (1 1 ро) д На рисунке 3.21 сплошными кривыми показано вычисленное по приведенным выше формулам распределение давлений по оптимальным телам при ро= со и при нескольких значениях относительной толщины. Характерно резкое падение давления от критической точки вдоль поверхности тела. Это обстоятельство имеет значение для улучшения условий охлаждения головной части тела при очень большой сверхзвуковой скорости. На том же рис. 3.21 нанесены экспериментальные значения коэффициента давления при М = 4 о).
удовлетворительно согласующиеся с теоретическими кривыми. Контуры тел оптимальной формы и фотографии пх обтекания (без кольца, поворачивающего поток) приведены на рис. 3.22. При ро=со выражение (3.22) для коэффициента сопротивления приобретает вид о о аг ба ал бг х Рис.
3.22, Форма образующей тел, имеющих наименьшее сопроти- вление, н фотографии их обтекания (без поворотного кольца). 125 э 6[ мвтод погглничного слоя считать равной нулю. Тела оптимальной формы дают значительное уменьшение сопротивления в сравнении с конусами того же удлинения. Коэффициенты сопротивления конусов определяются согласно выражению (3.18) формулой 2 Уэ Х См э 1+У, ' Переход от конуса к телу оптимальной формы с той же относительной толщиной уменьшает со- 03 противление более, чем в два раза. На рис. 3.23 верхняя кривая рассчитана по написанному выше приближенному выражению для с . конусов.
кружками нанесены точные значения при М = оо и и у = 1,4 [8[. Треугольниками на этом рисунке обозначены значения с, полученные путем обработки приведенных на рис. 3.21 опытныхданных по обтеканию тел оптимальной формы (без поворотного кольца). Нижняя кривая дает теоретические значения с„ тел оптимальной формы без учета поворота уплотненного слоя у заднего сечения тела. и аг йэ й Если исключить возможность Рис.
3.23. Коэффициент совротивлеиспользования поворотного коль- ния тел иаименынего сопротивления с различной относительной толщиной ца, то интегРал в выРажении(3.18) (без учета поворота уплотненного и множитель перед ним должны слоя). варьироваться совместно. причем естественно потребовать в качестве дополнительного условия, чтобы давление на теле нигде не становилось отрицательным. В такой постановке задачи Хейз нашел (хотя и не вполне строгим образом) тела минимального сопротивления [261. й 6. Метод пограничного слоя Рассмотрим более подробно свойства течения в случае, когда отношение плотностей при сжатии газа в головной ударной волне весьма велико.
Уравнение сохранения массы на головной ударной волне и уравнение импульсов в проекции на нормаль и к поверхности волны и на касательную к ней в плоскости, проходящей через вектор скорости набегающего потока Г и нормаль и, могут быть !гл. 10 126 ЗАКОН СОПРОТНВЛЕНИЯ НЬЮТОНА в общем случае преобразованы к следующему виду: рз — р, = (1 — Р' ) р, Ъ"~ з!п р, с!31= + с!3 а, (3.25) Ъ'асов(р — а) =1',соз'р'. Здесь а — угол отклонения потока, р — угол между головной волной и направлением набегающего потока в названной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
