Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Согласно этой теории в плоском потоке профилем минимального сопротивления при заданной наибольшей относительной толщине является профиль ромбовидного сечения с положением наибольшей толщины в середине хорды 113). При других дополнительных условиях образующие профилей, обладающих 108 использовлни е ФОР мглы н ьютонл — — асс з! п '[~'х — — [/х (1 — х) (1 — 2х) . у Г2 . — 2 и к Коэффициент сопротивления такой головной части равен 4уз, коэффициент сопротивления головной части оживальной формы примерно на 16% больше этого значения. Кроме решения Кармана, известны также решения некоторых других задач о телах вращения с минимальным сопротивлением, например задачи об определении формы тела, имеющего наименьшее сопротивление при заданном объеме и заданной длине [15[, о форме тела с протоком (внутренним каналом), обладающего минимальным сопротивлением при заданных длине, площади входного отверстия и плошали наибольшего сечения [16[.
Ряд вариационных задач решен в рамках линейной теории также и для трехмерных сверхзвуковых течений. Отметим недавно опубликованную работу [17[, посвященную этому вопросу. Однако, несмотря на наличие значительного числа решений линеаризованных задач о телах наименьшего сопротивления в сверхзвуковом потоке, эти решения не могут быть использованы по причинам, уже излагавшимся ранее, при больших сверхзвуковых скоростях.
При таких скоростях для решения вариационной задачи о нахождении тела минимального сопротивления может быть использована формула Ньютона. Первое решение такой задачи было дано самим Ньютоном [4[. Воспроизведем полученный им результат. Согласно формуле р=о,Уев[паз сила сопротивления, приложенная к участку длиной 1 поверхности профиля или тела вращения, равна у Х=о,Уз / (2пу)' У, Ых, 1+у (З.З) в рамках линейной теории наименьшим сопротивлением, также состоят из отрезков прямых линий. Лля примера укажем, что при И =2 и наибольшей относительной толщине профиля, равной 0,1, коэффициент сопротивления наивыгоднейшего профиля равен 0,0226. а коэффициент сопротивления профиля, образованного дугами окружности, равен 0,0308.
Первая задача о теле вращения с минимальным сопротивлением при сверхзвуковой скорости была решена Карманом [14[, определившим форму головной части тела вращения с минимальным сопротивлением при заданном удлинении. Уравнение ее имеет вид (длина тела принята за единицу. ось х направлена по потоку тела, осьу— перпендикулярно к нему)". 104 (гл. ш ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА где ч = 1 для плоского и ч = 2 для осесимметричного течения.
Это выражение позволяет решать различные задачи об определении формы тел с наименьшим сопротивлением. рассмотрим, например, простейший случай, когда заданы координаты концов обтекаемого контура. т. е. у(0)=уе, у(1)=у, (в плоском потоке всегда можно считать уе = 0). Отыскание минимума выражения (3.3) для силы сопротивления приводится, как известно, к решению дифференциального уравнения дР д дг" — — — —,=О, (3.4) ду дх ду' где Р =у" ', . Так как функция г". в рассматриваемом случае у 1+у"- ' не содержит х явно, то ФГ дг", дР у+, У Фх ду ду" и в силу уравнения (3.4) получаем лг", д дг" „дг" вг" «Г, дг ' 0 = л — (у' д д, +у" д —,) = д — д — (у' д —,) . Отсюда после интегрирования находим интеграл этого уравнения , дг" à — у' —, = сопз1, ду' дГ который, после подстановки в него значений Р и —,, приобреду' ' тает внд «-1 3 = сопз1.
(3.5) О+ у')' Таким образом, в плоском потоке (ч=1) экстремалн представляют собой прямые линии, так что телом наименьшего сопротивления в теории Ньютона, как и в линейной теории, является клин (в точной теории сверхзвуковых течений идеального газа этот результат несправедлив; см. гл. !Н, ч 4). В осесимметричном потоке (ч=2) уравнение экстремалей легко представить в параметрической форме, принимая за параметр величину р=у' — тангенс угла наклона элемента контура тела к направлению набегаюшего потока.
Согласно равенству (3.5) у=С" +Р')' рч Путем интегрирования соотношения г(х= получаем ду (р) р х С(4 + 1 + 1пр)+С 83[ метод касательных конв'сов (или клиньвв) 105 На рисунке 3.11 представлена в виде кривой зависимость у от х, определяемая этими формулами о). Кривая имеет точку возврата при р ='$/31 масштабные постоянные С п С, в выражениях для у и х выбраны при построении кривой так, чтобы точка возврата совпадала с точкой х=О. у=! (ветвь кривой с большими значениями р должна использоваться при нахождении формы тел с малым удлинением).
Обозначим через г'о(р) н Хо(р) зависимости у и х от р, соответствующие сделанному выбору постоянных. Тогда, если считать длину тела равной единице, то форма образующей тела с мини- У мальным сопротивлением при заданных Уо н У, опРеделитсЯ 3 выражениями 1; (Р) Х„(Р,) — Х„(Р,) Ло(Р) Х (Ро) х= х,(р,) — х„(р,) ' где ро и р, связаны с уо и. у, очевидными соотношениями О 1 2 3 4 л Рнс. 3.11. Образующая тела вращения, обладающего минимальным сопротивлением прн вычислении давления по формуле Ньютона. у„(р,) Уо = ° то (Рв) — Ао (Ро) У. (Рв) У'= Х„(Р,) — Х.(Р,) Решение Ньютона использовано для изучения свойств тела с минимальным сопротивлением при большой ° сверхзвуковой скорости в работе [!9[.
ф 3. Метод касательных конусов;(или клиньев) о) В недавно опубликованной работе [18[ зтз зависимость получена численным интегрированием уравнения для окстремалей выражения (3.3) и при р ))гЗ не соответствует правильному решению. Удовлетворительное совпадение при больших сверхзвуковых скоростях результатов расчета давления по формуле Ньютона (3.1) с опытными данныв~н и результатами расчетов по более точным теориям свидетельствует о том, что давление на обращенный вперед элемент поверхности тела при таких скоростях определяется в основном углом встречи элемента с направлением набегающего потока. Такая особенность течения наталкивает нл мысль при рассмотрении обтекания потоком с большой сверхзвуковой скоростью заостренных впереди профилей или тел вращения считать давление на элемент поверхности равным давлению на помещенных в тот же 106 [гл.
щ ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА поток клине (при обтекании профилей) или конусе (при обтекании тел вращения), касающихся тела в рассматриваемом сечении. Этот метод, предложенный С. В. Валландером в 1949 г. получил название метода касательных конусов (для расчета давления на симметрично обтекаемых телах вращения) или метода касательных клиньев (для расчета давления на профилях). Неудобство метода касательных конусов (или клиньев) при всей его простоте заключается в том, что, как уже указывалось ранее, в общем случае зависимость давления на клине от угла клина представляется лишь в неявной форме, а решение задачи об обтекании конуса может быть получено лишь численными методами.
Вследствие этого распределение давления по обтекаемым телам нельзя представить точно в простой аналитической форме. Для того чтобы устранить это неудобство, можно пользоваться различными приближенными аналитическими решениями задачи об обтекании клина и конуса. Простейшее решение такого рода дает формула Ньютона (3.1); поэтому метод расчета сверхзвукового обтекания заостренных профилей и тел вращения с использованием этой формулы можно рассматривать как один из вариантов метода касательных конусов или клиньев. Могут быть найдены и более точные аналитические выражения для о а определения давления на клине или на конусе, пригодные при больших сверхзвуковых скоростях. Для с, 1 клина давление можно оп— — — — — ределять по формулам (1.20) н (1.21).
Изложим один из методов получения выражений для давления на конусе [20[ (эти же выражения будут иным путем получены ниже в настоящей главе). Рис. 3.12. Обтекание конуса сверхзвуковым Систему уравнений, опипотоком. сываюших симметричное обтекание круглого конуса, можно составить следующим образом. Обозначим через и составляющую скорости газа вдоль луча, выходящего из вершины конуса под углом 0 к его оси, и через Π— составляющую скорости по нормали к лучу в меридианной плоскости (рис. 3.12).
Если г(6) — расстояние вдоль луча от вершины конуса до некоторой линии тока, то 63~ метод касательных контсов (илн клиньев) 167 Учитывая, что параметры газа сохраняют вдоль каждого луча постоянные значения (см., например [21, 22)), легко написать условие сохранения массы и условие безвпхренности течения (условие отсутствия циркуляции по замкнутому контуру): — роза з! и Ь = О иэ йи — — о = О.
йЭ (3.6) Пользуясь интегралом Бернулли т 1 2 аз =С вЂ” т (из+о') 2 и условием изэнтропичности течения, из которого следует и =7 — =ТС,ргз Р -д (С и С,— константы), уравнение сохранения массы после исключения з легко преобразовать к следующему виду: ив иа (и+ в сф Э) ЛЭ сл — аз (3.7) Для решения уравнений (3.6) — (3.7) необходимо сформулировать краевые условия на поверхности обтекаемого конуса — при Ь = а и на головном скачке уплотнения †п Ь = р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
