Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 14
Текст из файла (страница 14)
ф 4. Закон плоских сечений при обтекании тонких тел с большой сверхзвуковой скоростью — +о — +тв — =О дг дг дГ дг ду дл *) Заметим, что с точностью до членов порядка тз по сравнению с еди- ннцей ~ йгад г" ~ = ~/ ( — ) + ( — ) Если в четырех последних уравнениях (2.2) вернуться к размерх ным переменным и интерпретировать в них величину — = Г как время, ы то эти уравнения точно совпадут с системой уравнений неустановившегося движения газа в неподвижной плоскости, перпендикулярной к направлению движения тела. Приближенные соотношения (2.3) и (2.4) на поверхностях разрыва также совпадают прн такой интерпретации с соотношениями, которые должны удовлетворяться в плоском движении *); приближенное условие (2,5) на поверхности обтекаемого тела 70 ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ, ЗАОСТРЕННЫХ ВПЕРЕДИ ТЕЛ (гл.
и представляет собой при такой интерпретации условие вытеснения газа в выбранной плоскости непроницаемой подвижной границей (поршнем), закон движения которой определяется формой движущегося тела в соответствии с формулой Г(йя~, —, — ~= О. Таким образом, задача я1 т' т/ об установившемся обтекании тонкого тела потоком с большой сверхзвуковой скоростью с точностью до величины порядка тз сравнительно с единицей эквивзлентна задаче о неустановившемся движении газа на плоскости. В этом состоит закон плоских сечений [6). По существу, этот закон был уже установлен в 9 1, когда было показано, что с упомянутой выше точностью тонкое тело, движущееся в газе с большой сверхзвуковой скоростью, вызывает лишь поперечные смещения частиц.
Если перед телом 'выделить слой частиц, перпендикулярный к направлению движения тела (рис. 2.9), то при движении тела частицы ЯпЛппя Йппа лпгя п Рнс. 2.9. К закону плоских сечений. будут двигаться в этом слое, не испытывая продольного смещения. Сформулированный в 9 2 настоящей главы закон подобия, имеющий фундаментальное значение в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей, непосредственно следует из закона плоских сечений, Действительно, скорость точек подвижной границы в эквивалентной аадаче о плоском неустановившемся движении для аффинно-преобразованных тел будет одной и той же при сохранении произведения Р'т.
Таким образом при сохранении произведения Ут неустановившиеся движения для рззных и' и т будут отличаться между собой лишь линейным масштабом и, следовательно, величины о', ти', р', р' в соответственных точках будут одинаковыми. Рассмотрим, как вычисляется сопротивление телз при использовании закона плоских сечений. Сопротивление, испытываемое телом при движении, равно работе, совершаемой телом на пути единичной длины. Эта работа согласно закону плоских сечений равна работе расширения эквивалентного поршня, совершаемой нал газом в слое единичной ширины за время прохождения тела сквозь этот слой. и 4) закон плоских сечений пги ОбтекАнии тОнких тел 71 Таким образом, сопротивление тела Х может быть выражено фор- мулой т Х= 1 '7 РОА'71 лг (2.7) Х= / Рсн(2ей)" Л = / Р(2и)7)" гЯ (2.8) (Я вЂ” расстояние точек поверхности поршня от начальной плоскости или от оси симметрии; « = 1 для профиля и « =2 для тела вращения; для профиля Х есть сопротивление только одной стороны профиля).
Аналогичным образом может быть вычислена поперечная сила (в частности, пОдъемная сила), действующая на тело при его движении. Поперечная сила равна по величине импульсу, который приобретает газ в направлении, перпендикулярном к направлению движения тела, за единицу времени или, что то же, умноженному на скорость полета импульсу, который сообщается телом газу на пути единичной длины. В соответствии с законом плоских сечений поперечная сила выражается, следовательно, формулой т 'г' = \l ~ ) Рл Ж Л. При обтекании профиля поперечная сила, действующая на одну его сторону, согласно этой формуле равна т 'г'= ~ р$'и'г.
о При симметричном обтекании тела вращения суммарная поперечная сила равна, очевидно, нулю. На участок поверхности такого тела между двумя бесконечно. близкими плоскостями. проходящими через ось тела, действует поперечная сила, равная т 78 ~ рй) 7~ о где внутренний интеграл распространен по контуру поршня, Вид этого контура в каждый момент времени и нормальная скорость его точек со опРеделЯютсЯ фоРмой обтекаемого тела; давление Р на поверхности поршня должно находиться из решения соответствующей задачи о неустановившемся движении газа. Для случая обтекания профиля или симметричного обтекания тела вращения величина рп„ одинакова во всех точках контура и формула (2.7) принимает вид т В 72 ОБтекАние тОнких, заостренных впереди тел [гл.
и (О = — ) . (2.10) дв ..1 др д р — = — )т- —, — — =О, дт дт дт рт дтг 1 дт ргг" ' Решение этой системы уравнений должно удовлетворять условиям на ударной волне и на поверхности поршня. Если закон распространения ударной волны по газу обозначить через Я*(1), то условия на ударной волне будут иметь вид (см. выражения (1.10)): т-1- 1 — 1 Р1 т= —" т — 1 1 1+— т — 1Ю дЯ' где О = — — скорость распространения ударной волны.
дт 2 т — 1 р*= — р Π— — р, т+1 ' т+1 (д8 — угол между плоскостями). Если обозначить силу, рассчитанную на угол 2я, через 1', то для профиля и для тела вращения можно записать одну формулу: т У= ~ рЪ'(2Ю)' дР. (2.9) о Закон плоских сечений устанавливает, что задача об обтекании тонких тел потоком с большой сверхзвуковой скоростью с определенной степенью точности эквивалентна задаче о плоском неустановившемся движении газа, вытесняемого подвижной границей (поршнем) соответствующей формы. Рассмотрим примеры применения закона плоских сечений для расчета некоторых случаев обтекания тонких профилей и симметричного обтекания тонких тел вращения при М)) 1.
При расширении поршня в неподвижном однородном газе область возмущенного движения заключена между распространяющейся по газу ударной волной и поверхностью поршня. Имея в виду изложить в следующей главе приближенный метод расчета таких движений в переменных Лагранжа, будем и в настоящем параграфе рассматривать движение газа с лагранжевой точки зрения. Прн использовании лагранжевой точки зрения основными искомыми функциями, характеризующими движение газа в этой области, являются расстояние)т частиц от начальной плоскости или от оси симметрии, давление Р дтр 1 и плотность р (скорость о выражается формулой О= — ), а опредг' делающими параметрами — время т и лагранжева координата и =— Р1Г" ч (г — значение тс в начальный момент времени, р,— начальная плотность; как и ранее, я = 1, 2 соответственно для течений с плоскими и цилиндрическими волнами). Уравнения неразрывности, движения и энергии в выбранных переменных можно записать следующим образом: хз 41 закон плоских свчвний пгн овтекюши тонких твл 73 На поверхности поршня, т.
е. при гл=0, должно быть выполнено условие *) Й =й(8). (2.12) Решение уравнений в частных производных (2.10), удовлетворяющее условиям (2.11), в общем случае задания закона движения поршня, т. е. функции гг'(1), или закона распространения ударной волны, т. е. функции гс*(1), может быть найдено лишь сложными численными методами. Однако при некоторых движениях газа удается свести эти уравнения к обыкновенным дифференциальным уравнениям и получить их решение в замкнутом виде точно пли приближенно сравнительно простыми методами численного интегрирования.
Такие движения, называемые автомодельными, мы и рассмотрим в дальнейшем. В случае автомодельных движений величины, характеризующие состояние и движение газа, меняются таким образом, что распределение каждой из них в пространстве остается при изменении времени подобным самому себе, причем масштаб. характеризующий численные значения этих величин, может также по определенному закону зависеть от времени.
Воспользуемся для нахождения автомодельных движений соображениями теории подобия и размерностей [161. Уравнения (2.10) не содержат размерных констант, а размерности определяющих переменных 1 и т, входящих в эти уравнения, независимы. Поэтому, если среди размерных констант в соотношениях (2.11) на ударной волне и в формуле гс'=гс(1), при задании закона движения поршня, нли в формуле Й=гг*(г) — при задании закона распространения ударной волны, — только две имеют независимые размерности, не выражающиеся через размерности 8 и лг, то вз всех определяющих параметров можно составить лишь одну переменную безразмерную комбинацию.
В таких случаях уравнения (2.10) в частных производных могут быть сведены к уравнениям относительно одной независимой переменной. т. е. к обыкновенным дифференциальным уравнениям, и движение будет автомодельным. Отметим, что при задании закона распространения ударной волны движение второй границы области возмущенного движения может определяться дополнительными размерными постоянными и закон движения этой границы может не быть автомодельным. Размерности постоянных р, и р,, входящих в условия (2.11) на ударной волне, независимы и выражаются формулами (р,) = М7.-', (р,) = М7.-'т-'-.
Если обе эти постоянные существенны, то для того, чтобы движение бю, б, б '> Д~,у,, а* р, е, „~р„,~ "а поверхности поршня должно быть гл= же = сопя! эь О. 74 ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ, ЗАОСТРЕННЫХ ВПЕРЕДИ ТЕЛ !гл. и в условие (2.12) в случае обтекания тела вращения с внутренним каналолц и кинел~атические постоянные, входящие в это условие, или — в случае задания закона распространения ударной волны— кинематические постоянные, входящие в этот закон, имели размер. ности, выражающиеся через размерности р, и р,. Отсюда, исключая нз формул размерности р, и р, символ массы, найдем, что кинематические постоянные должны иметь размерность 7 Т '. Следовательно, закон (2.12) расширения поршня или закон распространения ударной волны должны иметь вид где У и л) — постоянные величины.
Таким образом, если константа р, существенна. т. е. если начальное давление газа оказывает заметное влияние на движение, то движение может быть автомодельным лишь при расширении поршня, имевшего первоначально радиус, равный нулю, с постоянной скоростью (которому соответствует и распространение ударной волны с постоянной скоростью).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
