Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 9
Текст из файла (страница 9)
А. Олейник [12[, к которой может обратиться интересующийся читатель. ф 3. Характерные свойства течений с большой сверхзвуковой скоростью При большой сверхзвуковой скорости потока кинетическая энергия движущихся частиц газа велика сравнительно с их тепловой энергией. При фиксированных параметрах состояния набегающего на тело потока отношение кинетической и внутренней тепловой энергии газа растет пропорционально квадрату числа М. Для совершенного газа с пот (т — 1) стоянными теплоемкостями это отношение равно М'. При 2 Т = 1,40 и скорости, в пять раз большей скорости звука, кинетическая энергия частицы в семь раз больше ее внутренней энергии. а при М = 1 0 кинетическая, энергия уже почти в 30 раз превосходит тепловую.
Это обстоятельство приводит к появлению некоторых свойств установившихся течений с большой сверхзвуковой скоростью. отличающих их от течений с умеренными и малыми скоростями, при которых кинетическая энергия частиц газа имеет одинаковый порядок величины с тепловой энергией или меньше ее. Так, при адиабатическом торможении частицы, движущейся с большой сверхзвуковой скоростью в установившемся потоке, превращение ее кинетической Энергии в тепловую вызывает весьма значительное увеличенйе ,температуры газа.
Ясно также, что небольшие относительные изменения скорости частицы (т. е. ее кинетической энергии) должны приводить в таком движении к большим относительным изменениям теплосодержання, а следовательно, и других термодинамическнх величин. Действительно, при установившемся адиабатическом движении вдоль линии тока термодинамические параметры газа и его скорость У связаны двумя соотношениями: 'г'д1~+ — Р = О, Р И5= О. Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями, используя уравнение состояния р= рсРТ ()с — газовая постоянная) и выражения 40 овщив свидания ов озтнкании твл идвлльным газом [гл.
г для знтропии Я=с„1п ~ и скорости звука а=(ур/р)". отсюда т легко найти следующие зависимости: лз — =.( — = — уМ' —, Ил г1 1г — = 2 — = — ('1 — 1) Мз — . Т а [г ' (1.11) из которых и вытекает, что при М)) 1 малые относительные возмущения скорости связаны с значительными относительными возмущениями давления, плотности. температуры, а также скорости звука. Число М при большой сверхзвуковой скорости изменяется в основном вследствие изменения скорости звука. Эти выводы противоположны тем. которые могут быть сделаны в случае малых дозвуковых скоростей (т. е.
при М((1). когда нужно рассматривать лишь изменения скорости, относительные же изменения термодинамических величин весьма малы и изменение числа М происходит главным образом вследствие изменения скорости. г Пренебрегая в сумме 1 + — М' единицей по сравнению со вто- 2 рым членом, из выражений (1.11) после их интегрирования найдем соотношения, справедливые при М)) 1: (1.!2) Здесь индексом 1 обозначены величины, относящиеся к некоторому характерному состоянию газа. Все сказанное выше о связях между относительными изменениями параметров газа при установившемся обтекании тел потоком с большой сверхзвуковой скоростью относится только к той части течения. где местные значения числа М велики.
Вблизи тела могут быть области с умеренной сверхзвуковой скоростью, а за отсоединенной головной волной, например, всегда есть область, где местные значения числа М даже меньше единицы. В таких областях течения сделанные выводы, естественно, не применимы.
Лля обнаружения дальнейших характерных свойств течений с большой сверхзвуковой скоростью рассмотрим обтекание плоским потоком пластины, расположенной под углом атаки а к набегающему потоку (рис. 1.б). Если угол атаки не превосходит некоторой предельной величины, то при достаточно больших значениях числа М б 31 ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА ГИПЕРЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ 41 набегающего потока с одной стороны пластины от ее передней кромки будет отходить волна разрежения, а с лругой стороны — скачок уплотнения (11. Головная волна, отделяющая область возмущенного движения от набегающего поступательного потока, является в этом случае присоединенной и состоит из поверхности слабого разрыва В ОДНОЙ ПОЛУПЛОСКОСти И СКачка уплОтненна — в дрУгой.
Подобное же течение будет осуществляться и при обтекании головной части профиля треугольного сечения, если угол атаки профиля достаточно велик. Рнс. 1.5. Обтекание сверхзвуковым потоком пластины под углом атаки. Обратимся сначала к течению разрежения. Это течение представляет собой систему плоских звуковых волн, вдоль которых значения параметров потока сохраняются постоянными. В системе координат, связанной с пластиной, каждая такая звуковая волна остается неподвижной, так как скорость ее распространения по частицам точно уравновешивается движением частиц газа (нормальная к волне составляющая скорости частиц равна по величине и обратна по направлению скорости распространения волны).
Угол р между направлением скорости относительного движения частиц газа и фронтом волны выражается, следовательно, формулой л 5!и 15 = —. Ь' ' Если через 6 обозначить угол между направлением скорости в данной точке и направлением невозмущенного потока. а через Ь вЂ уг 42 озшив свидания ов овтзклнии тзл идеальным газом [гл.
г фронта волны с последним направлением, то очевидно, что*) (1П3) Условие изэнтропичности течения и интеграл Бернулли позволяют выразить давление, плотность, скорость потока, местную скорость звука, число М и угол р через любую одну из этих величин (см. формулы (!.11)). Для нахождения их зависимости от координат Можно воспользоваться, например, условием сохранения массы. Условие сохранения массы в элементарном объеме между двумя поверхностями тока и соседними звуковыми волнами (рис.
1.5) можно записать в виде — раз = О. гг аз аз Так как — = — с1пр, то отсюда находим заа а'р а'а — + — — с1др.ай=О. р а В случае совершенного газа с постоянными теплоемкостями это уравнение после замены в нем согласно формулам (1.11) величин -1 -1 — и — через — (1+» 2 М') Мг(М и — 2 ~1+ 2 М ) М~1М и величины с13.р через (Мз — 1)~' устанавливает в дифференциальной форме следуюшую связь, между числом М и угловой координатой 9 в плоскости течения: "+1 МаМ Отсюда, выполняя квадратуру и используя формулу (1.13), найдем 9= — зГт+ агс1п (1/ т с13р) — р+сопз1.
(1.14) ар 2 аМ аа аМ При большой сверхзвуковой скорости — = — — —, — = — — ~ р т — 1М' а РЛ ега'а М, так что дифференциальная связь между М и Ь приобретает простой вид: ЛМ т — 1 — — = — ИЬ. М 1+1 Формула (1.13) при большой сверхзвуковой скорости также упрощается: 9=0+ —. *) Углы 6 н Э считаются положительными, если онн откладываются против часовой стрелки. 661 ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА ГИПЕРЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ 43 После интегрирования предылущего дифференциального соотношения и использования условия: М=М, при 6=0, т. е. при 6 =— 1 =М, (661 — число Маха набегающего потока), находим: — = — + — М 6=1+ — М 6. 1 — 1 т — 1 М т+1 т+1 ' 2 (1. 15) Значения других параметров движущегося газа определяются при этом формулами (1.12). В частности, для связи между величиной давления и углом 6, характеризующим направление скорости, полу- чаем зг ~ =~1+ — ", ' М,6) -'. получаем выражение 11 ', [(1ч.— ', ' мц)'-' — 1~.
(1.16) Отметим важную особенность рассматриваемого течения. Соотношения 6= 6+ — и (1.15) могут быть преобразованы к следующему 1 М виду: К вЂ” 6' - 6 где К= 1т(1а, 6 = —, 6= —. 11з этих соотношений и из формул (1.12) а ' а следует, что если изменять число М, и угол атаки в таким образом, чтобы параметр К оставался постоянным, то значения безразмерных величин —,—, — в соответственных точках сохраняются. а значе- Р Р М р, р, М, ние коэффициента давления ср — — ~ Р' меняется пропорционально аз. 2РГ Этот вывод является частным случаем общего закона подобия для течений с большой сверхзвуковой скоростью при малых возмуще- ниях скорости, который будет подробно рассмотрен в гл. Н.
Уста- новление подобия течений опирается на то, что в области, занятой 2 При угле поворота, равном — , давление в волне разрежения лапает ло нуля. Поэтому в случае, если угол атаки пластины 2 превышает 1 „„, поток отрывается от передней кромки и между (т ) 1 ним и поверхностью пластины возникает область вакуума. Для величины коэффициента давления с = = — 11 — — 1) Р— Р1 2 /Р Р 2 — Р 1г ТМ1 Р1 44 овшив сввдвния ов овтеклнии твл идвлльным газом [гл. г ю=!Оз!созр, та=(1, и= — ~тз~з1пр, О=У,з!прг где р — угол наклона скачка к направлению набегающего потока (эти соотношения иллюстрированы на рис.
!.5 внизу пунктиром), В результате получаем: и 2 /. 11 — — — 5!П 1 1+1), М~ п 2 l з 11 — = — с!й~'з!п ~ — —,', т+1 ~ м) (1.1 У) — 5!пз р — —, р Р— Рь гР~ 1+1 .~ — 1 2 1 т — 1 Мзгз1птР Зависимость между углом атаки и и углом скачка р легко определить из условия — = !да, выражающего то, что за скачком относи!г~+ и тельная скорость параллельна поверхности пластины: — с!яр з!пт~ —— 2 / 1 з ,+1 ~ М,) !за= 1 1 1 — — ! з!пз з —— т+! ! и,') (1.! 8) Как известно !1), из этого соотношения следует, что при углах я, меньших предельного значения (зависяшего от числа (!4, и от у), каждому углу и соответствуют два значения угла Р, причем.
если пластина конечных размеров помещена в неограниченный поток газом, углы В и р, а следовательно, и угол Ь, малы, хотя угол атаки может и не быть малым. В последнем случае, как уже говорилось, между пластиной и областью, занятой газом, образуется вакуум и течение разрежения перестает зависеть от угла атаки; прн этом в выражениях для К, Ь и 8 пол углом я нужно понимать 2 максимальный угол отклонения потока, равный Перейдем теперь к рассмотрению течения за присоединенным скачком уплотнения. За скачком газ движется поступательно и параметры его в абсолютном движении определяются формулами (1.10). При использовании этих формул, учитывая плоский характер течения. следует положить газа, то реализуется скачок уплотнения с меньшим углом При М, )) 1 этот меньший угол р мало отличается от угла вх 21ежду пластиной и скачком образуется тонкий слой уплотненного газа.
На рнс. 1.6, а для примера приведена картина обтекания пластины при М1 = 1О и 7 = 1,4. При очень больших сверхзвуковых скоростях и при фиксировзнном угле атаки а, сколь бы мал он ни был, можно пренебречь членами порядка — по сравнению с сйп р. так как всегда 11)я. 1 г М 1 После этого соотношения (1.17) и (1.18), определяющие значения параметров потока за скачком и положение скачка, примут следующий вид: и 2 — = — — 51П р, 2~ т+1 о 2 — = — 51П Р С05)2, т+1 Р— Р1 2 = — 5!и' Р, Р К т+1 »+ Р1 т 1 2 т+1 — 5!вР созР 1иа= 1 — — 5!пз Р т+1 (1.19) Отсюда следует, что при обтекании вогнутого угла с очень большой сверхзвуковой скоростью безразмерные составляющие скорости газа и о Р за скачком — и —, безразмерная плотность —, коэффициент давле1г 1; Р1 ния с = — и угол наклона скачка р не зависят от числа М1, Р Р1 1 2 2 а, безразмерные давление и температура — и — меняются пропорр т р, т, цнонально М,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
