Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В тех точках области движения, в которых функции, удовлетворяющие этим уравиеииям, непрерывны вместе со своими первыми производными, оии удовлетворяют системе диффереициальиых уравнений (1.1) — (1,4); иа поверхиостях разрыва предельные значения этих функций связаиы соотношениями (1.5). Разрывные решения уравнений в форме интегралов можно рассматривать как обобщенные в определенном смысле решения диффереициальиых уравнений (1.1) — (1.4). и именно этими решениями следует пользоваться в задаче об обтекании тела сверхзвуковым потоком. (Фактически построение обобщенных реше- а 2] дополнитвльныв здмячания к постановки задачи 35 ний производится в соответствии с постановкой задачи, данной в предыдущем параграфе; однако возможны методы их н:.посредственного нахождения, позволяющие избежать пользования соотношениями (1.б) на неизвестных заранее поверхностях разрыва; см.
ниже.) Но и при сделанном обобщении решение задачи об установившемся обтекании тела сверхзвуковым потоком не является единственным даже в том случае, если дополнительно потребовать в соответствии со вторым началом термодинамики, чтобы энтропия частиц газа не уменьшалась при прохождении ими поверхностей разрыва.
Йействительно, Рис. 1.3. Обтекание сверхзвуковым потоком цилиндра с конической головной частью и выдвинутой вперед иглой. рассмотрим, например, изображенное на рис. 1.2, а симметричное обтекание сверхзвуковым потоком тела вращения в виде цилиндра с конической головной частью; характерной особенностью такого течения является постоянство давления на поверхности конуса. Но это течение не является единственным. Ясно, что можно представить себе множество других течений вокруг того же тела, которым соответствуют и другие обобщенные решения, когда перед телом образуется коническая область, заполненная неподвижным газом с постоянным давлением, как на рис.
1.2, б. То. что такие течения при определенных обстоятельствах могут осуществляться, показывает фотография на рис. 1.3. Вопрос об условиях, определяющих единственным образом решение задачи об установившемся обтекании тела сверхзвуковым потоком, до настоящего времени не разрешен. Строго говоря, установившееся обтекание тела неограниченным потоком следует рассматривать '36 овщиа сведзния ов овтвкйнии твл идеальным газом [гл.
т как предельное состояние, которое достигается асимптотически из заданного начального состояния при движении тела в покоящемся в бесконечности перед ним газе после того, как скорость тела продолжительное время сохраняется неизменной (см. по этому вопросу !3,41). Существование таких предельных установившихся состояний не является очевидным *). В тех же случаях, когла такое предельное установившееся течение существует, оно может зависеть, а1 Рис. 1.4. Лва возможных типа сверхзвукового обтекания тела с внутренним каналом при одной и той же скорости движения тела: а) с отошедшей гаванной водной, а1 с прнсоеднненной га- ванной водной. при одних и тех же условиях в бесконечности перед телом.
от способа приближения к предельному состоянию. Известным примером подобного рода может служить обтекание тела с внутренним каналом, сечение которого от входа к выходу сначала уменьшается, а затем увеличивается (рис. 1.4). В определенном диапазоне сверхзвуковых скоростей возможны два вида установившегося обтекания такого тела: один — с отошедшей ударной вол- в) По крайней мере опытные данные говорят о том, что при обтекании некоторых тел потоком с постоянной скоростью течение вблизи тела может иметь неустановившийся (иногда регулярный периодический) характер. дополнитвльныв замечания к постановки злллчи зу иой и областью дозвуковых скоростей между центральной частью волны и наиболее узким местом канала (рис.
1.4, а), и второй— с присоединенной головной волной и всюду сверхзвуковым течением (рис. 1.4, б). Первый внд обтекания осуществляется при прнближе« иии к установившемуся режиму со стороны малых значений скорости тела. Второй случай можно осуществить, если предварительно разогнать тело до больших аначений скорости, а затем постепенно понижать ее. Это явление можно охарактеризовать как своего рода гистерезис при обтекании тел сверхзвуковым потоком. Приведенный пример показывает, что в некоторых случаях для выбора решения аадачи об установившемся обтекании необходимо рассматривать его как предел неустановившегося течения.
Имеются утверждения (см., например, (5)), что такое рассмотрение является и достаточным для обеспечения единственности обобщенного решения задачи об установившемся сверхзвуковом обтекании тела. Справедливость этого утверждения остается не доказанной. Из физических соображений очевидно, что необходимым условием, которому должно удовлетворять решение задачи об обтекании тела, является устойчивость его по отношению к малым возмущениям.
Высказывалась мысль, что это условие может обеспечить и единственность решения. Однако в тех случаях, когда возможны несколько дискретных режимов установившегося обтекания тела при одной и той же скорости его движения в газе, как в рассмотренном выше примере тела с протоком, этот критерий не является достаточным; устойчивым по отношению к малым возмущениям может быть более чем один режим обтекания. В случае, если возможна непрерывная последовательность течений вокруг одного н того же тела, как в примере тела с конической застойной областью перед ним, критерий устойчивости может выделить одно или несколько решений, обладающих устойчивостью по отношению к малым возмущениям.
Очевидно, что в тех случаях, когда обобщенное решение задачи об установившемся обтекании является пределом нестационарных течений при всевозможных способах приближения их к установившемуся состоянию, критерий устойчивости течения автоматически удовлетворяется. Существует, наконец, мнение, что условием, обеспечивающим единственность обобщенного решения задачи об обтекании тела, является требование того, чтобы обобщенное решение уравнений движения идеального газа было пределом непрерывных решений уравнений движения вязкого газа при стремлении коэффициента вязкости к нулю (теория исчезающей вязкости).
Весьма вероятно, что это требование действительно обеспечивает существование и единственность обобщенного решения задачи с начальными данными и предписанным законом движения тела в газе. Единственность решения задачи о стационарном обтекании в общем случае обеспечивается 38 овщив сведения ов овтеклнии тел нлеАльным ГА30м [Гл.! и при таком подходе, по-видимому, только при рассмотрении ее как предела задачи с начальными данными.
Можно предполагать, что в некоторых случаях никакие другие условия не могут заменить сформулированное условие при выборе решения, соответствующего действительному обтеканию. Картина обтекания некоторых тел и, в часгности, конфигурация возникающих при этом в потоке сильных разрывов, существенно связана с наличием начинающихся у поверхности тела тангенциальных разрывов (например, при обтекании тела с выдвинутой иглой; см. рис. 1.3). Разрывы такого типа могут появиться в решении только после предельного перехода в решениях уравнений с учетом вязкости.
То, что обладающее физическим смыслом обобщенное решение уравнений движения идеального газа представляет собой предел непрерывных решений дифференциальных уравнений движения вязкого газа, имеет не только принципиальное значение для отбора нужного решения из всех возможных обобщенных решений. В действительности этот факт может служить основой для создания методов расчета течений идеального газа, не осложненных необходимостью удовлетворять соотношениям (1.5) на неизвестных заранее поверхностях разрыва, что дает определенные преимущества при выполнении расчетов с помощью быстродействующих вычислительных машин. Дифференциальные уравнения движения идеального газа следует при этом дополнить диссипативными членами с, малым параметром при них; наличие диссипативных членов позволяет получить непрерывные решения уравнений при обтекании тела произвольной формы.
При этом нет нужды в том, чтобы введенные диссипативные члены описывали действительный механизм вязкости и теплопроводности. Важно, чтобы в пределе при стремлении малого параметра к нулю решения стремились к тому же обобщенному решению, что и при правильном учете вязкости и теплопроводности. Дополненные таким образом дифференциальные уравнения могут решаться методом конечных разностей.
Поверхности сильного разрыва проявятся при таком решении в виде слоев конечной толщины с большими градиентами гидродинамнческих величин. Изложенный прием искусственного введения диссипативных членов при решении уравнений движения идеального газа методом конечных разностей был предложен Нейманном н Рихтмейером [6[. Лаке [7[ и Годунов [8[ предложили конечноразностную схему решения дифференциальных уравнений одномерных неустановившихся движений идеального газа. которая обеспечивает получение обобщенных решений.
Сказанное выше в отношении системы уравнений газовой динамики носит характер физически более или менее оправданных гипотез; строгая теория обобщенных решений *) развита в настоящее *) Обобщенные решения уравнений гиперболического типа ввел н систематически применял С. Л. Соболев [9[. й3[ хАРАктеРные свойства гипегзввковых течений 39 время лишь для одного — «модельного» вЂ” уравнения, имеющего вид Изучению обобщенных решений этого уравнения посвящено большое количесуво работ [7, 10, 11 и др.[. Наиболее полное изложение состояния вопроса и перечень относящихся к нему исследований содержатся в работе О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
