Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 7
Текст из файла (страница 7)
При прохождении такой поверхности по газу значения его параметров остаются непрерывными, а терпят разрыв лишь некоторые их производные. За присоединенной головной волной скорости частиц газа относительно тела могут быть либо всюду сверхзвуковыми, либо в некоторой части возмущенной области дозвуковыми.
За отсоединенной волной вблизи передней части тела всегда имеется область, в которой скорость частиц газа относительно тела меньше скорости звука. Кроме головной волны, при сверхзвуковом движении тела могут возникать расположенные внутри возмущенной области другие 30 овшив свидания ов овтеклнни твл идеальным газом (гл. г поверхности сильного разрыва — ударные волны, тангенциальные (нлн кпнтактные) разрывы, и поверхности слабого разрыва (рис.
1.1,а). Сложный характер течения (наличие поверхностей разрыва, положение и даже конфигурация которых заранее не известны, а в ряде Рнс. 1.1 движение тела в газе со сверхзвуковой скоростью: а) арееоелонелваа головлев волов, б) отоюелюаа головлев волна. случаев и наличие областей с дозвуковой скоростью движения частиц относительно тела) чрезвычайно затрудняет теоретическое исследование обтекания тел сверхзвуковым потоком. До настояшего времени отсутствуют эффективные методы расчета многих случаев такого обтекания. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О СВЕРХЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ З1 % 1! Перейдем к математической формулировке задачи об обтекании тела, движущегося со сверхзвуковой скоростью в идеальном газе. Движение газа будем рассматривать в системе координат, связанной с телом. Направим ось х в сторону. обратную скорости тела, а оси у и х возьмем в плоскости, перпендикулярной к этому направлению под прямым углом друг к другу.
Обозначим через и. о, тв составляющие скорости абсолютного движения газа вдоль выбранных осей и через р и р — давление и плотность газа. Если скорость тела постоянна и равна Ъ", то движение газа в выбранной системе координат будет установившимся и основные уравнения, описывающие это движение, можно взять в следующем виде (в уравнениях не учтены массовые силы, так как в задачах обтекания тел сверхзвуковым потоком их влиянием обычно можно пренебречь) 11): уравнения движения (Ъ'+ и) — + Π— + тв — = ди ди да дх ду дг до до до (У+и) — +Π— +тв — = дх д» дл дга дга дга (!'+ и) — + о — + тв — = дх ду дл ! дР р дх' 1 дР (1.1) р ду 1 дР р д» уравнение неразрывности др(1г+и) дро древ (!.2) ду дх + —— дх условие сохранения энтропии в частицах газа при их непрерывном движении (5 — энтропия единицы массы) (Ь' + и) — + о — + та — = О.
д5 д5 д5 дх ду дх В случае совершенного газа' с постоянными удельными теплоемкостями энтропия связана с давлением и плотностью соотношением (!.3) — = сопз! е ь, Р ВМ рт где с, — удельная теплоемкость при постоянном объеме, у — отношение теплоемкостей при постоянном давлении и при постоянном объеме. Уравнения (1.1) — (!.4) служат для определения непрерывного течения газа в каждой из областей, отделенных поверхностями сильного разрыва. При этом производные гидродинамических величин внутри этих областей могут испытывать разрывы на характеристических поверхностях, обладающих в установившемся потоке тем свойством, что составляющая скорости частиц газа по нормали к ним либо равна нулю (поверхности тока), либо равна скорости звука (волны Маха). 32 овщив свядвния ов овтвклнии твл идеальным газом [гл.
~ На поверхностях сильного разрыва значения параметров газа должны быть связаны следующими условиями, вытекающими из законов сохранения массы, импульса и энергии: Р,(Π— оти) = Ра(Π— от~) от (Π— оти) от —,Птп — Ра (Π— оаи) оа — Ртп (1.5) г 1 / 2 2 Рт(Π— оти) — +ет) Ртот~=Ра(Π— па~) [ 2 +еа — Ргоз~. 2 ощ — О=О, о~ — О=О, Ра =Рт. (1.6) Р"" Р р " " — "сии ата-ь При отличном от нуля потоке массы сквозь поверхность разрыва давление газа испытывает скачок на этой поверхности.
Плотность газа также изменяется, причем изменение давления и плотности сопровождается изменением энтропии газа. На основании второго начала термодинамики при адиабатическом переходе газа через поверхность разрыва энтропия газа может только увеличиться. Отсюда.
как известно. следует "), что давление и плотность газа при прохождении через поверхность сильного разрыва возрастают, в связи с чем такие поверхности называются скачкамн уплотнения. На поверхности тела нужно удовлетворить условию равенства нормальных составляющих скорости движения частиц газа и скорости точек поверхности тела, т. е. условию утв= — 1'соз(пдь х), (1.7) где (пдс х) — угол между нормалью к элементу поверхности тела и направлением оси х. Наконец, в бесконечности впереди тела параметры газа должны принимать заданные значения: и = о = си = О, р =Р„р = о,. (1. 8) Таким образом, задача об обтекании тела при движении его с постоянной сверхзвуковой скоростью в идеальном газе сводится в) О средах, для которых возможны исклктчения, см,, например, [2[.
Здесь Π— скорость распространения поверхности разрыва в пространстве: О= — Усов(п. х), где (п, х) — угол между нормалью п к элементу поверхности разрыва и осью х, о — скорость частиц газа, ои — проекция скорости на нормаль п, е — внутренняя энергия единицы массы газа, индексы 1 и 2 относятся соответственно к состояниям перед поверхностью разрыва и за ней. Если поток массы сквозь поверхность разрыва равен нулю, то условия (1.5) принимают более простой вид, й 21 дополнительные 3АмечАниЯ к пОстАнОВке ВАЗАчи 33 к определению решения уравнений (1.!) — (1.4), непрерывных в каждой из областей, отделенных поверхностями сильного разрыва и удовлетворяющих на скачках уплотнения соотношениям (1.5), на поверхностях тангенциального разрыва — соотношениям (1.6), на поверхности тела — условию (1.7) и в бесконечности перед телом— условиям (1.8).
Отметим, что так как газ не испытывает возмущений вплоть до прохождения по нему головной волны, то условия (1.8) в бесконечности перед телом можно заменить условиями на головной волне, которые согласно (!.5) в этом случае принимают вид: Р1О=Р2(Π— ' ). — Р1 = р10ойл — Рю о„= О. 22 Рйо2л' (1.9) / 2 О2л Реоее= Р1О1 — + 2 Здесь о,— составляющая вектора скорости в плоскости, касательной к головной волне. Для совершенного газа с постоянными тепло- емкостями внутренняя энергия газа выражается через давление и плотность формулой е = — — и, разрешая систему соотноше- Р т †! Р ний (1.9) относительно Ойл, Р,, рй(пел =)ой), так как Ойе= О), получаем: 1О2! (1 ) О Рй т+! ! 122/ Р2 Р1 р1О1 ой! Р1~ !! 1 ) т+ ! '! в~) (1.10) т+1 Т РЗ 2 2 а, 1+ 1 Здесь а1=(7Р1(р1) ' — скорость звука в невозмущенном газе.
Че Вопрос о существовании решения сформулированной математической задачи о движении тела в идеальном газе и о единственности этого решения в общем случае мало изучен. Некоторые относящиеся к нему соображения изложены в следующем параграфе. 3 Зйн. 229. Г. Г. Черный ;9 2. Дополнительные замечания к постановке задачи о сверхзвуковом обтекании тел Рассмотрение простейших примеров плоских течений показывает, что попытка описать установившееся сверхзвуковое обтекание тела неограниченным равномерным потоком идеального газа при помощи непрерывного решения дифференциальных уравнений (1.1) — (1.4) 34 овщив сввдвиия ов овтвкаиии твл идейльиым газом [гл. р приводит к физически бессмыслеииому результату: решение стано вится, по крайней мере иа некотором расстоянии от обтекаемого тела, иеодиозначиым [3[.
Решение можно сделать однозначным, если ввести соответствующим образом выбранные поверхности разрыва. Одиако при этом ие обеспечивается единственность решения, так как поверхности разрыва можно выбирать по-разиому; Решение же пРавильно сформулированной математической задачи о физическом явлении должно быть единственным и соответствовать как раз тому явлению. которое осуществляется при данных условиях в действительиости. Нельзя при этом в общем случае и удовлетворить иа введенных поверхностях условиям непрерывности потоков массы, импульса и энергии. Рис.
1.2. Обтекание сверхзвуковым потоком цилиндра с конической головной частью: а) нормальное обтекзнне, б) обтекание с образоееннем застойной зоны мерен телом. Поэтому, имея в виду то, что при сверхзвуковом обтекании тел идеальным газом непрерывные решения уравнений в общем случае оказываются лишенными физического смысла, естественно при постаиовке задачи заранее учитывать возможность появления разрывов. При этом, используя основные физические законы сохранения массы, импульса и энергии для составления уравнений движения газа, нужно применять их к конечным объемам, т. е. записывать уравнения в форме интегралов, взятых по произвольной конечной части области, занятой движущимся газом (см., например, [1]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
