Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 12
Текст из файла (страница 12)
х) ~пз(+пн 88 ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ, ЗАОСТРЕННЫХ ВПЕРЕДИ ТЕЛ [Гл. н Так как на головной волне и = [и,[ сов (л„ х), О = [О2[:оз (л,, у), Тв = [ О2 [ гоз (лс, г) с 05 (пс .у) 1 соя (пс я) то очевидно, что Поэтому [О2[ и тв. с05(п, х) ' — т+ —— [ Еэ[-1- а, 1 с М и У(22+ — ) . Из двух последних соотношений (1.10) получаем следующие оценки для изменения давления и плотности газа при прохождении им головной ударной волны: 2 2 т 1+ Р— а! Ут(ыв+а!) М» 2 т — 1 — Р' (Ьт+а!)» — Р! 1+М» и'+ Р2 др др — -М., — — Мт.
!с! Р! Углы, образуемые обращенной вперед частью поверхности обтекаемого тела с направлением набегающего потока, малы при этом сравнительно с углами, которые составляет с этим направлением головная волна: СОЗ(Л, Х) '2(( М СОБ(пс, Х), 1 а сама головная волна мало отличается от характеристической по- 1 верхности — звуковой волны, для которой соз(п, х) = —. М' В соответствии со сделанными оценками, для расчета обтекания тонких тел с умеренной сверхзвуковой скоростью, т. е.
при Мт((1. можно использовать метод линеаризации уравнений. Найденные оценки показывают, что при обтекании тонких тел (т((!) потоком с умеренной сверхзвуковой скоростью (т. е. при У [ч[= — порядка единицы) возмущения всех газодинамических пара- а! метров малы и имеют один и тот же порядок: 9 2! 59 ЗАКОН ПОДОБИЯ ПРИ ОБТЕКАНИИ ТОНКИХ ТЕЛ 3 случае обтекания тонких тел потоком с большой сверхзвуковой скоростью (т. е. при т((1 и Мс 1 или М'с)) 1) возмущения скорости остаются по-прежнему малыми, однако пролольная составляющая скорости возмущения является при этом малой величиной более высокого порядка, чем поперечные составляющие: и — Гсе, о — и — Гс.
Возмущения давления и плотности не будут уже малыми и для них справедливы оценки: — — Мссс, лр Рс ЛР— 1. Рс соз (л„х) так что область возмущенного движения между поверхностью обтекаемого тонкого тела и головной ударной волной представляет собой при большой сверхзвуковой скорости тонкий слой уплотненного газа. Углы между обращенной вперед частью поверхности тела и направлением набегающего потока имеют при Мт 1 тот же порялок, а при Мт)) 1 значительно превосходят углы характеристической поверхности в набегающем потоке.
Из изложенного ясно, что метод линеаризации уравнений движения газа при обтекании тонких тел становится неприменимым, если Мс 1 или Мт))1. ф 2. Закон подобия при обтекании тонких тел с большой сверхзвуковой скоростью Пусть поток, направленный вдоль оси Ох и имеющий большую сверхзвуковую скорость, обтекает тонкое тело, принадлежащее к семейству аффинно-подобных тел, ко~орые получаются друг нз друга изменением в одинаковом отношении длин вдоль осей Оу Отсюда следует, что повышение давления за скачком уплотнения при обтекании тонкого тела может иметь не только тот же порялок, что и давление в набегающем потоке, но при очень больших сверхзвуковых скоростях может превосходить это давление в сколь угодно большое число раз. Отметим, что коэффициенты давления будут ' и в этом случае малыми: ср —— Р 2 1 — Р21" 2 Углы наклона головной волны к направлению набегающего потока имеют при Мт 1 или Мт)) 1 тот же порядок, что и углы наклона обращенной вперед части поверхности обтекаемого тела 60 овтаклнив тонких.
заостгвнных впавзди твл (гл. и и Ог. Примем длину тела в направлении набегающего потока за единицу и пусть т — по-прежнему безразмерная малая величина, характеризующая наибольший угол отклонения потока. Уравненне заданной поверхности обтекаемого тела можно тогда представить в виде Р(х, У, ')=О, а определяемые при решении задачи уравнения возникающих в по- токе поверхностей таигенциального разрыва и скачков уплотнения,— соответственно в виде Р,(х.у. х, .
М)=О и Р,(х,у.г, с, М)=0, причем функции Р, и Р, зависят, кроме координат х, у, х, от формы обтекаемого тела, т. е. от параметра т. и от числа М набегающего потока. В соответствии с оценками, произведенными в й 1 настоящей главы и справедливыми при больших сверхзвуковых скоростях, перейдем в системе уравнений (1.1) — (1.4), описывающих движение газа, к новым безразмерным переменным, полагая и = ГРи', о = Гсо', са = Гсса', Р = Рсс'ст~Р' = (М т Рср .
Р = Рср', (2.1) Совершив такой переход и отбрасывая члены порядка тс по сравнению с единицей, приведем уравнения (1.1) — (1.4) к следующему виду: ди', ди', ди' 1 др' дх' ду' да' Р' дх' , +о' —,+св' —,+ —, —,=О, 1 ди', ди', ди' 1 др' —, + сс' —, + са' —, + —, —, = О, дх' ду' да' р' ду' ди', дис', дв' 1 др' дх' ду' да' р' да' дР + да Ю + да са 1 дх' ду' дг' д р' , д р' , д р' —, — + о —, — + св' — — = О. дх',с ду' .с да',с Р Р Р (2.2) Перейдем теперь к новым переменным в дополнительных соотношениях (1.5) — (1.8) на образующихся в потоке поверхностях разрыва, на поверхности обтекаемого тела и в бесконечности перед телом, и упростим их, пренебрегая членами порядка тс по сравнению 6 21 ЗАКОН ПОДОБИЯ ПРИ ОБТЕКАНИИ ТОНКИХ ТЕЛ 61 с единицей.
Соотношения (!.6) на поверхности скачков уплотнения запишутся после этого в форме дУ', дР,., дР' дг,, дг„,, дР, г дх' г ду' г дх') г г ду' г дх' гду' г дх') г аду'' г~дх' г ду' г дх') г г дх' ' ''гдх' г ду' г дх')1 2 , дР~, дР' дх' дУ' дх') ~ 2 Т вЂ” 1 р,,') , дг',, дР' дР;, дР~, дУ' —;+о' — ', +тв' — ', =О дх' 1 ду' г дх' дГ, дР~, дг —;-+ о' — ', + тв' — ', = О дх' г ду' г дх' (2.4) Условие (1.7) на поверхности обтекаемого тела примет вид —,+о' —,+те' —,=О при Р(х'. у', я')=О. (2.5) дГ, дг', дг" дх' ду' дх' Наконец, в бесконечности перед телом, т. е. при х' — Р— со, из условий (1.8), получим р'=,—, р'=1.
(2.6) и' = о' = тю' = О, На тангенциальных разрывах должны будут выполняться условия (1.6) 62 ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ, ЗАОСТРЕННЫХ ВПЕРЕДИ ТЕЛ (Гл. и Х =~ )тс(ус1Е= р 'Рзсв~ Р г(у пе' =рзкзт'Х(К). Это выражение показывает, что при большой сверхзвуковой скорости сопротивление тела очень сильно зависит от максимального угла отклонения потока — пропорционально четвертой степени этого угла.
Сила, приложенная к телу в направлении, перпендикулярном к направлению набегающего потока. равна у / ~х,гу, узтз ~ р 1. ду уз зу(К) Коэффициент сопротивления с и коэффициент св силы у, отнесенные к площади поперечного сечения тела, могут быть представлены поэтому в форме К (К) Г1 (К) с =тЧ(К) = ~1(~), Выписанная система соотношений (2.2) — (2.6), описывающая обтекание аффинно-подобных тел, принадлежащих к одному семейству и отличающихся друг от друга значением параметра т, потоком при больших значениях числа М, содержит эти два параметра -. и М только в виде произведения Мт.
Это значит, что при обтекании аффинно-преобразованных тел, соответствующих различным значениям параметра т, потоком с различными значениями числа М движения будут подобными, если параметр Мт сохраняется постоянным, т. е. при сохранении параметра Мт безразмерные величины и', О', тв', р', р', введенные формулами (2.!), в соответственных точках сохраняются. Поверхности разрыва, поверхности тока, характеристические поверхности меняются при этом аффинно-подобно поверхности тела, так как согласно соотношениям (2.2) — (2.6) их уравнения должны иметь вид Рг(х, —, —, Мт) = О. Давление и плотность газа в сходственных точках не меняются.
При сохранении величины т и при неограниченном возрастании скорости потока картина течения стремится к предельному состоянию; в этом предельном состоянии плотность и коэффициент давления перестают зависеть от числа М. Величина Мт называется параметром подобия при обтекании тонких тел с большой сверхзвуковой скоростью и обозначается через К. Используя установленный закон подобия, вычислим суммарные силы, приложенные со стороны потока к Обтекаемому телу. Сила сопротивления, действующая на тело в направлении набегающего потока, равна (если тело имеет донный срез, то приложенные к нему силы давления не учитываются, так как к области течения у донного среза закон подобия не применим) 63 ЗАКОН ПОЛОБИЯ ПРИ ОБТЕКАНИИ ТОНКИХ ТЕЛ б 2! са св При К-+ "о отношения — и — стремятся к постоянным знатз т ченням.
рассмотрим некоторые частные случаи. При обтекании тела типа снаряда под углом атаки я примем за параметр ; наибольшую относительную толщину тела. Если прияавать разные значения числу М, углу атаки я и толщине тела "., то условия подобия двух течений будут соблюдены, если кроме а параметра Мт в этих лвух течениях будут одинаковы отношения— а (легко убелиться, что при сохранении отношения — и при изменении наибольшей относительной толщины тела т с принятой степенью Рнс.
2.3. К закону подобия. точности тела будут аффинно-полобными). При этом для коэффициента сопротивления с и коэффициента подъемной силы с„можно написать выражения Аналогичным образом при обтекании крыла бесконечного размаха (профиля) без скольжения под углом атзки а примем за параметр т наибольшую относительную толщину профиля. Тогда для коэффициентов с и сю при вычислении которых силы, действующие на единицу длины размаха крыла, отнесены к соответствующей площади плана крыла, получим формулы При К-+ со, т. е. для течений с очень большой сверхзвуковой скоростью, выражения г"., Тч, Г, и Р, становятся функциямн только а от отношения — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
