Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 15
Текст из файла (страница 15)
При использовании закона плоских сечений такому движению соответствует в случае т = 1 обтекание тонкого клина, а в случае т = 2 — обтекание тонкого конуса. Если давление газа за ударной волной во много раз больше нзчального давления (т. е. если ЕР )) а,'), то влиянием параметра р, на движение газа можно пренебречь. В этом случае движение будет автомодельным, если в закон расширения поршнч или в закон распространения ударной волны входит одна постоянная с произвольной кинематической размерностью П' С С 1т = Р'+л или )т' = л !"+', и+1 и+1 (2.13) Й=-ЙМ, Р=--Р*еэ', Р=Р ЛЗ, О =й'У, (2,14) где и — любое число (и + — !).
Таким неустановившимся движенняя газа соответствует при ч= 1 обтекание потоком с очень большой сверхзвуковой скоростью тонких профилей специальной формы, в частности, профилей, имеющих уравнение контура в виде степенного одночлена, н прн ~ = 2 — обтекание тел вращения с уравнениел~ Образующей в виде степенного одночлена, а также тел вращения специальной формы, имеющих внутренний канал. Итак, рассмотрим неустановившиеся автомодельные движения газа. возникающие при расширении поршня или ударной волны по законам (2.13)„.
напомним, что если Н=О, то движение будет автол~одельным и при учете начального давления газа. Введем вместо искомых функций )с, р и р (а также О) новые безразмерные величины лй, д', лз и У по формулам ~ 4) зАкОн плОских сечений пРи ОБтекАнии тОнких тьл 75 где Я, р* и р' — значения й, р и р на ударной волне, которые зависят от Р согласно выражениям (2.13) и (2.11), причем в последних ВМЕСТО 1.Г СЛЕдуЕт ПОдСтаВИтЬ Сгти (Прн И ЧЬ 0 НужНО СЧИтатЬ р,=О, Л,=О).
Безразмерные функции Ж, 29', Я и»' в силу сделанных предположений зависят только от одной переменной т ( „ Р,РР' ) Подставляя выражения (2.14) для )с, р, р и о в уравнения (2.!О), получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций Ж, д', 11, !' Р 11Ж' 'Ж'= ! Рг — 'Р' — «р.— +» ., Ж 25' =0 и иь' и+1 р '2 (2.
15) !» = Ж вЂ” »рЖ' Входящие в эти уравнения величины Р и . постоянны. Первое, , гие третье и четвертое уравнения (2.15) позволяют выразить 11, Р и У через р. Ж и Ж': а = ~Р,Ж"-'Ж ) .Р2 Р = АЯТА«!и+21, 1' = Ж вЂ” «рЖ'. (2.16) Подставляя эти выражения во второе уравнение (2.15), получаем для определения функции Ж в зависимости от р следующее дифферен- циальное уравнение второго порядка: пользуясь которыми находим А=1, Ж (1)=А »р' и+1 (Ж вЂ” »РЖ ) — «!2 — (Ж вЂ” «ЕЖ') + 2!И Р 1 (Р ! Ж' 2 И ~ и !Н»-и (»Ж" 2Ж ) «~ О (2 7) Для нахождения двух постоянных интегрирования этого уравнения, а также константы А в интеграле уравнения адиабатичности служат три условия на ударной волне Ж(1) =«У(!) = Я(1) = 1, 76 ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ.
ЗАОСТРЕННЫХ ВПЕРЕДИ ТЕЛ [гл. и Если задан закон движения поршня 1Т(1), а не аакон )т*(г) распространения ударной волны, то связь между ними, которую необходимо знать для использования решения (2.14), получим из условия (2.12) на поршне, т. е. при р=О 77 (с) = )7* (г) Й (О), С = С, Й (О). ф 5. Примеры использования закона плоских сечений Обтекание клина и конуса. В этих случаях л = 0 и уравнение (2.17) приобретает вид РАЗЯ" +(т — !)рЯ'+ — Я" ~ — (чй" 'Я ) =О. Отсюда при Р=1, т. е.
при обтекании клина, получаем (рз — 7ВЙ' й+'))Й"=О. и единственным решением, удовлетворяющим условиям на ударной волне, является функция Я=1 — 4г(1 — р). Р Пользуясь найденным выражениям для Й, по формулам (2.16) находим В случае задания закона движения поршня, 77=Ус, для определения постоянной С,=77 используем условие У =Е7Й(0). Из него получаем Рг 2 или 1) = т — у+ ~/ ("— у) + а,. Полагая согласно закону плоских сечений У='Р',1да, О=$',ар и обозначив — '1да=К, — '=16~=К,, приходим к следующим залг ' л1 висимостям: К, = т+1К+ ~Г(т+1К)'+ 1, уже полученным нами ранее при рассмотрении обтекания плоской пластины (гл. 1, Э 3).
На рисунках 2.10 и 2.11 произведено сравнение этих зависимостей с точными расчетами 17!. и 5) пгимегы использовАния 3АкОнА плОских сечений 77 Не останавливаясь подробнее на этом простом примере, рассмотрим более интересный случай обтекания конуса (ч= 2). Уравнения (2.15) приобретают в этом случае вид 2 ~ ИЖ'2=1, [ — ) =О. 2РАЯ" +РЯ'+ Ф"Я ~ =О. р,Ю Для определения трех произвольных постоянных, входящих в решение, и константы г1 по-прежнему служат краевые условия (2.16) на ударной волне и условие (2.17) на поршне Ж(0) =~~. Задача о расширении поршня с постоянной скоростью была решена для случая сферической симметрии течения в работах [17. 18) путем численного интегриАс рования уравнений, эквивалентных уравнениям (2.15), но в других (эйлеровых) переменных.
Для случая и а А л Рис. 2.10. Угол межау головным скачком уплотнения и направлением набе, гающего потока при сверхзвуковом обтекании клина. Рнс. 2.11. Давление на поверхности клина при сверхзвуковой скорости. цилиндрического поршня результаты расчетов были приведены в работе [7[. На рисунках 2.12 и 2.5 дано сравнение построенных У согласно этой работе зависимостей величин К = — !8~ и с /з!Пап е — а от параметра К= — !Па с результатами точных расчетов обтекания а1 конуса [13!. Результаты численного решения, полученного при использовании закона плоских сечений, изображены на рис.
2.12 и 2.5 78 ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ, ЗАОСТРЕННЫХ ВПЕРЕДИ ТЕЛ [гл. и сплошными кривыми и хорошо совпадают с результатами решения точных уравнений при малых значениях угла у вершины конуса (о способах получения приведенных на рисунках пунктирных кривых будет сказано ниже, в Э 3 гл. П!). лл л о л л л Рис. 2.12. Угол между головным скачком уплотнения и направле- нием набегающего потока при сверхзвуковом обтекании конуса. Обтекание тел, имеющих уравнение образующей в виде степенного одночлена.
В случае и Ф- 0 система уравнений (2.15) была изучена впервые (в эйлеровых переменных) в работе [19]. Путем качественного исследования в этой работе было показано, что при задании закона движения поршня решение задачи существует не при всех значениях показателя и в законе (2.13) расширения поршня, но не было дано физическое объяснение этого факта. Расчеты, выполненные в работе [19] путем численного интегрирования, относились к случаю сферической симметрии (ч=3) и потому не представляют интереса для аэродинамических прилозкений.
Результаты расчетов для случая ч = 2 имеются в работах ]20] и [21]; в работах [21, 22] дано 2п следующее объяснение требованию, ) — 1, выполнение ко- ч (и+ 1) торого необходимо для существования решения. Согласно формуле (2.8) сопротивление, действующее на головную часть тела, равно Х= ~ р(2кй)' 'гИ. о Р(йр Рис. 2.13. Распределение давлений в потоке при обтекании тел вращения с образующей степенной формы. 075 0,50 0,25 05 00 Рис. 2.14. Распределение плотности в потоке при обтекании тел вращения с образующей степенной формы.
80 озтеклние тонких, злостгенных Впегеди тел [гл. п В рассматриваемом случае ло т+1ит[О) ° ' так что то н со Х==" [ ) отСл~ + )"+' / К'оет г)й. [2.18) = т-1-)но[о) " 1 с о Интеграл в правой части этого выражения расходится при 2л ( — 1. Иными словами, сопротивление головной части тела ч(п+1) Рис. 2.15. Распределение поперечной скорости в потоке при обтекании тел вращения с образующей степенной формы. с образующей в виде степенного одночлена имеет конечное значение 1 лишь при и) — —, т. е.
для плоских контуров при и) — —, ч+2* 3 ' 1 а для тел вращения — при и ) — —. На рисунках 2.13 — 2.15 приведены для случая цилиндрической симметрии (ч= 2) п у = 1.4 распределения по радиусу давления, плотности и скорости газа для нескольких значений п, построенные на основании таблиц [20[. Некоторые численные значения из этих таблиц приведены ниже. 1гл. » 82 овтеклнне тонких, влостеенных вивенди тел и = — 0,30 и = — 0,25 Р Р'" Р Р Р и = — О,З5 Р Р" Р Р" Р Р' Р Р Р Р"' 0,8 80 0,875 0,870 0,865 0,860 0,8 55 0,8 50 0,845 ОД40 0,835 о,ззо 0,828 0,8277 0,8179 0,8078 О,7 993 07903 0,7819 0,77 35 0,7662 0,7586 0,75 26 0,7464 0,7405 ОДВ 0,98 0,98 098 ОДВ О,98 0,98133 0,98144 О,'9816 0,98188' 0,9822 0,98 27 О,7 348 0,7299 0,7259 0,7219 О,'71 88 0,716 О',7И О,'713 0,712 0,712 0,712 0,712 1,0000 1, одбзо о, 0,9287 О, 0,8 9400, 0,8611 О, 0,8 2960, 0,7987 О, 0,7681 О, 0,7389 О, 0,7109 О, ОДВ ЗЗО', 940 935 9 30 ,925 920 915 910 905 900 895 8 90 885 0,6302 0,6047 0,5795 0,5549 ОДЗ О9 0,5 065 0,4828 0,4592 0,4355 0,4127 0,3893 0,3662 0,3326 0,3195 0,2955 0,2715 0,2439 0,2197 0,1925 0,1635 0,1316 О,О926 0,0392 о 1,0000 0,9815 0,9635 ОД463 О,ОЗ 09 0,9158 0,9011 0,8870 0,8744 0,8616 0,84 96 0,8392 0,9832 0,9839 0,9847 0,9854, 09864,' О,987З~ 0,9885' 0,9896 0,9908,,' О,'9921' О',9935 0,9937~ 1, 000 ОД95 ОД90 0,985 ОДВО 0,975 0,970 О,9 65 0,9 60 0,955 0,950 0,945 0,6575 О, 1,000 ОД95 ОД90 ОД85 О,ОЗО 0,975 ОД70 0,965 одбо ОД55 0,950 0,945 0940 0,935 О,ОЗО ОД25 0,920 0,915 0,910 О,'9О5 О,'9ОО О,895 О,'89О ОД85 0,880 0,875 1,0000 ОД910 0,9821 О,97ЗВ 0,9652 0,9570 ОД490 ОД413 одззз 0,9265 0,9192 0,9121 0,9054 0,8986 0,8921 0,8857 ОД797 0,8737 0,8679 0,8625 0,8572 0,8521 0,8475 ОД431 0,8390 0,8358 1,ОООО 0,9792 О,'9585 0,9377 0,9171 О,'8960 0,8750 О,'8541 0,8328 0,8112 0,7891 0,7668 0,7442 0,7206 0,6963 0,6712 ОД456 0,6183 0,5893 0,5583 0,5245 04860 0,4424 одзи 0,3101 о' 1,0000 1,0009 1,'ОО18 1,0029 1,0041 1,0053 1.0066 1,0082 1,0097 1,ОИЗ 1,О1ЗО 1,0149 1,О168 1Д188 1,0209 1ДВЗ1 1,0254 1.0277 1,0302 1,0328 1,0354 1,0382 1',О410 1,0440 1,'0470 1,0500 1,000 0,995 ОД90 0,985 О,'98О 0,975 0,970 0.965 одбо 0,955 0,950 ОД45 ОД40 0,935 0,930 0,925 0 920 0,915 0,910 0,905 О,ООО 0,895 0,890 0,885 о,ззо 0,875 0,870 0,865 0,860 0,858 1,0000 0,9804 одбзо 0,9547 0,9425 О,'9З20 ОД205 ОД098 0,8990 О,'8906 ОД809 0,8721 0,8632 0,8551 0,8472 0,8392 0,8334 0,8257 0,8178 О,81ЗО 0,8057 о,зооо 0,7952 07908 О,'7870 0,7840 0,7830 0,7820 0,7810 0,7800 1,0000 0,9719 ОД440 0,9175 ОД901 ОД642 О,ЗЗОО 0,8135 0,7870 0,7635 0,7380 0,7135 ОД887 0,6642 ОД397 0,6145 0,5895 ОД640 0,5379 0,5116 0,4844 0,4560 0,3952 0,3952 0,3618 0,3260 0,2844 О,'2352 0,1690 о 1,0000 ОД984 '~ 0,9979 0,9976 0,9975 0,9974 0,9975 0,9976 О',Я979 ОД983 0,9987 ОД994 1,0001 1,0009 ! 1,0017 1,0028 1,0040 1,0052 1,0065 1,ООЗО ,' 1,0095 ' 1,ОШ 1,'О128 1.'О ИВ 1,0167 1,0185 1,0206 1,0228 1,0251 1,0266 6 б! ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗАКОНА ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ 83 Давление между ударной волной и поршнем возрастает несколько по направлению к поршню в случае и = О, т.
е. при обтекании конуса; при отрицательных значениях и„ т. е. при обтекании тел с выпуклой образующей, давление на поршне продолжает быть больше давления аа ударной волной до значений и, равных примерно — 0,075; при меньших значениях и давление уменьшается по направлению к поршню и тем в большей степени, чем меньше п. На рисунке 2.16 светлыми кружками нанесены значения отношения давления на поршне и за ударной волной, найденные из численного Решения задачи !20!. Проходящая через зти кружки кривая й2 — 04 — Ое 0 02 и Рнс. 2,16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
