Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В предельном случае очень сильного сжатия газа в ударной волне, т. е. когда р,/рз (( 1, условия (3.25) приобретают вид рз — р,=р,1' з!п и, р'=и, $"з — — 1',созв. Эти соотношения не связаны с термодинамическими свойствами газа и с энергетическими процессами, происходящими при прохождении газа сквозь головную волну. Из них следует, что при больших сжатиях движение газа за головной ударной волной происходит в тонком, сильно уплотненном слое вдоль поверхности тела и изменение давления газа в головной волне совпадает с изменением давления, найденным по формуле Ньютона.
Параметром, определяющим близость течения к этому предельному состоянию, является характерное значение отношения плотностей газа в набегающем потоке и в слое за головной волной. Отметим, что наибольшее значение угла отклонения потока в ударной волне (соответствующее наибольшему значению !На, при котором квадратный корень в выражении (3.25) остается действительным) Определяется формулой !й =-!(1--"))77 — '"- . Отсюда следует, что при неограниченном возрастании отношения плотностей в скачке предельный угол стремится к прямому. В потоке совершенного газа с постоянными теплоемкостями отношение плотностей на головной волне выражается формулой(1.17): р зз т-! !+т+! м з!в р Наименьшее значение величины р,/рз достигается в таком газе прн М = со и равно †" , т.
е. !1 — 7! = — при 7 = 1,4. Таким обрат+1' ' '1гзl . зом, для совершенного газа с постоянными теплоемкостями наибольшее значение предельного угла поворота потока в скачке достигается при йл = со, причем согласно предыдущим формулам !па „= 1!"у' ~'-' — ! т. е. а = 45'35' при Т = 1,4. При 7 — + 1 угол а„— + -.12. Как указывалось во введении, при движении тел в газе с очень большой скоростью, когда становятся существенными возбуждение в 6[ 127 мвтод пОГРАничнОГО слОя ар и ди ди ии у дх+ ду+й+у и ди ди из '11+ Я а ~~„,,~, у дх й др ду' (3.26) и дЗ д8 — — + Π— =О.
,+у ах ау= вибрационных степеней свободы молекул и диссоциация и ионизация компонент воздуха. температура за головной ударной волной будет в действительности много ниже, чем температура, вычисленная в предположении постоянства теплоемкостей. Так как давление за сильной ударной волной слабо зависит от термодинамических свойств газа, то сжатие газа в действительности будет много больт+1 шим, чем согласно формуле 1 — "'1 = " при 7 = 1,4. Точно 'т Гг I т — 1 так же и предельные углы поворота потока в скачке будут больше определенных формулой 1яа,„= 1[у' т~ — 1 при Т = 1,4. Сказанное выше наталкивает на мысль рассматривать течение за интенсивной ударной волной как своего рода пограничный слой вблизи поверхности волны и использовать для расчета таких течений и, в частности, для расчета обтекания тел потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью метод разложения решения в ряды по степеням параметра е, равного отношению плотности газа перед ударной волной к характерному значению плотности газа за ней.
Этот метод был предложен автором в работах [32 — 34[ и применялся для решения разнообразных задач об одномерных неустановившихся течениях газа [36 — 37[ и о течениях газа с большой сверхзвуковой скоростью [38 — 41[. Несколько позднее аналогичный метод был независимо предложен и применен для расчета течения вблизи переднего конца затупленных тел при большой сверхзвуковой скорости в работах [28, 42, 43[.
Ограничимся рассмотрением плоских и осесимметричных течений (приложение метода к расчету конических течений, не обладающих осевой симметрией, произведено в работах [40[ и [41[). Движение будем рассматривать в обычной для теории пограничного слоя криволинейной системе координат, в которой положение точки М определяется ее расстоянием у= ИМ по нормали от поверхности тела и длиной дуги х = О)ч' обтекаемого контура, отсчитываемой от некоторой его точки О (рис. 3.24).
При установившемся течении уравнения, описывающие движение в области между ударной волной и поверхностью обтекаемого тела, принимают в выбранной системе координат следующий вид: 128 [гл. ш ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА В этих уравнениях и, о — составляющие скорости в направлениях х и У: Р. р. О. как и раньше, — давление, плотность и энтропия единицы массы; 1т — радиус кривизны обтекаемого контура; т= 1, 2 соответственно для плоских и для осесимметричных течений. Для осесимметричных течений г — расстояние точки от оси симметрии; при этом г=г+усоза, где г — расстояние от оси симметрии точек рнс. 3.24. Система координат н обозначений в методе пограничного слоя. обтекаемого контура, а в угол между касательной к контуру и осью симметрии.
Систему уравнений [3.26) удобно преобразовать к новым незави- симым переменным †функц тока т' и координате х*). Введя функцию тока ф с помощью равенства аф=риг' 'ду — рог"-'(1+Маях, Л) заменим уравнение неразрывности уравнениями ду 1 ду / ут о — — — ='1+ ' [8.22) дФ лиг"-' ' дл1. 12 и ' Я) В случае плоских течений идеального газа такое преобразование прн Р = со использовалось И. А, Кнбелем [22[; в теории пограничного слоя вязкой жидкости аналогичное преобразование принадлежит Р. Мизесу [44[. 66) 129 мвтод пограничного слоя Так как е) то Используя эти формулы преобразований, приведем остальные уравнения (3.26) соответственно к виду ри — +ро — + — =О, ди до др дх дх дх 1 до и „ др — г 1 у дх Ю+у дф' К (3.28) — — = О. д р дх рт !8ф — й) = 1+— у где у =у'(х) †уравнен скачка уплотнения, то условия на головном скачке уплотнения можно представить в следующей форме: 2 .
т — 1 Рв = — Р,Ув в!пв!! — — Р„ т+1 1+1 иу" — о 1+ —" у" Р т — 1 2 1 у ива+совы У* ~ "+ 1+ у» ) (3.29) и+ = У сов а — в|п а оу" у 1+— уе у" Я 1+— Р ") Символ — ~ указывает, что дифференцирование производится прн д дх и постоянном у. 9 зеы. бвв. Г. г. черыыв (Первое уравнение этой системы получается из первых двух уравнений (3.26), второе в из второго, третье в из четвертого.) В выбранной системе координат нормальная и касательная к головному скачку уплотнения составляющие скорости газа перед скачком и аа ним аапишутся в виде о,ы = — У в!и р, ов„= — ив!и(!! — а)+псов(р — а), о~ =Усовр, ов =псов(р — й)+Фв!П(р — й).
Так как 13О 1гл. щ ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА Т вЂ” 1 2 1 1+1 +Т+1 М001поа ' т. е. если МагйпоЗ))1 (течение с очень большой сверхзвуковой скоростью) и значение отношения теплоемкостей Т не намного превышает единицу. учитывая полученные оценки для величин, входящих в уравнения (3.27), (3.28), и принимая, что порядок этих величин сохраняется во всей области течения, можно искать решение уравнений в виде рядов по степеням малого параметра е, характеризующего отношение плотностей газа перед скачком и аа ним, в следующей форме: У вЂ” оУо+ ° ° ' и=ио+еи,+ ..., О = Ооо+ Р = Ро+ ВР1 + Р=, +Р1+ ° ° (3.30) причем за малый параметр е в случае совершенного газа с постоян- Т вЂ” 1 ными теплоемкостями можно принять величину 1+1 Подставляя эти ряды в уравнения (3.27) и (3.28), для определения первых членов рядов получаем: дуо Но=лов дуо дх ' дф Роиог" дио о дх ио,, дро 10 дэ (3.
31) 1 д Ро — — = О. дх 00 Первое из этих соотношений показывает, что давление р, за скачком имеет для тел конечной толщины (для которых з1пз'Р не есть малая величина) тот же порядок величины, что и скоростной напор набегающего потока. Из следующих двух соотношений вытекает, во-первых, что отношение плотности набегающего потока Р, к плотности за скачком Р, должно совпадать с отношением масштабов для измерения у и х и, во-вторых, как уже говорилось ранее, что для совершенного газа с постоянными теплоемкостями это отношение масштабов будет малой величиной, если мала сумма 131 9 61 метод пОГРАничнОГО слОя функции и,, р„ Р, удовлетворяют уравнениям Роно — + — = 0 ди1 дро дх дх доо иу ио Г Уо Уо Г +(,,— !)=сова~ г"- др1 дх уг уч '1Й д р, Обе зти системы уравнений интегрируются в квадратурах.
(Легко убедиться, что и системы уравнений, определяющие члены рядов (3.30) при более высоких степенях о, также могут быть проинтегрировани в квадратурах.) Из системы (3.31) получаем: 1 но=но(ф). Ру =йо(ф)Р. Ф Ро==., у 4'+~" ( ) угг",у Ф т о по=лов дуо дх ' (3.33) Здесь ио(ф), бо(ф), р*(х), у(х) — произвольные функции; нижний предел интегрирования ф" в формуле для ро будет определен ниже.
Из второй системы у — 1 иои1+ — 1 бо Я Рот = 11 (ф). — — -à — =6, ®, Р1 Ру Ро Ро Ф 1 — — — — — ~ — +(ч — 1)= созар йу+р (х), Г и1 дч'о ио Г Уо Уо ЧУ ч 1 Р1 == г" (3. 34) тле 11 ®, 61(ф). р'„(х) — произвольные функции. Полученные выражения (3.33) и (3.34) определяют приближенное решение уравнений движения идеального газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
