Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Входящие в них произвольные функции в задачах о сверхзвуковом обтекании тел должны быть найдены из условий (3.29) на ударной волне и из 132 [гл. ш ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА условия обтекания заданного контура. Принимая, что на обтекае- мом контуре ф = О, получим последнее условие в виде у=О при Ф=О, откуда следует, что у(х) =О. Условия (3.29) на ударной волне должны удовлетворяться при ф=ф'(х), где ро!г „ро[г „„-, ° ф'(х) = — (г*" — го)= — (г" — го)4 ЯР~Уг" 'уо сов а+. О (вв) = =ф',+.)', +О(е').
ио = [г сов а, и, = — иорф! — [Гу~ в[п а, р = Ро[lв в! Пв а, р! = — ро ф, +ро[го(2уо гйп а:ова — в[ива) — ро, ро Ро 4 сова Ро= 2 1 э Р! = Рорф!+ Ро (т — 1) МвмпоаУо ' 1+— Т вЂ” 1 Мвв!Пв а (3.35) Здесь уо — значение уо(х, ф) при Ф=фо. через иор. рор Рор обозначены производные функций ио, ро, ро по ф. Условие а ро по = иоуо — [' в!ив Ро вытекающее из закона сохранения массы на скачке, удовлетворяется при сделанном выборе ф' тождественно. Действительно, на ударной волне то Ф д 1 л аф 1 !"-аф одх~ г"-' / Роио г"-! / Роао~ о Ро )о а 1 1 ььуо а .
Ро = иоу — =„— — ' = иоуо — У гйп а —. дх Ро Шесть условий (3.35) позволяют найти оставшиеся еще неопреленными шесть произвольных функций в выражениях (3.33) и (3.34). Во избежание смешения с соответствующими членами рядов (3.30) здесь и ниже параметры газа в набегающем потоке отмечены индексом 0 наверху. Используя зту формулу, путем преобразований соотношений (3.29) получим условия, которым должны удовлетворять функции. входящие в разложения (3.30): прн Ф=фо 133 ф 6) МЕТОД ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Таким обРазом, величины Уо, ио, Оо, Ро, Ро полУчаем окончательно в виде Ф 1 Р (гф ((го у ==, ~ — ', и,=)гсози(х'). по=из д о= —.
1 / Рио' г' о х ' оо 1 р = оо'Р'з Гйпо а (х) — и, г(((( = ь-/ Ф 3. 36) =(о' ['" (*(-( и ( )й ( < С~МР~ 1 Ро 11 о 2 1 [ РА1(о о(пе о (х*) + 2 2 т — 1 м мпо(х ) Следовательно, первые члены разложений (3.30) для скорости и и давления р совпадают с соответствующими значениями. получаемыми при выводе формулы Буземана. Однако первые члены рядов (3.30) дают возможность рассчитать всю картину течения, т. е. найти форму скачка уплотнения, поле скоростей и плотности (а следовательно, и температуры) в слое между ударной волной и телом. Следующие члены рядов, определяемые формулами (3.34) и соотношениями (3.35), позволяют внести уточнения в распределения давления, плотности и скорости.
Формулы (3.36) показывают, что в первом приближении распределение давлений по телу не зависит от числа М набегающего потока; течение же в целом и, в частности, положение головной ударной волны меняется при изменении числа йя, приближаясь к определенному пределу при М -+ со. Отметим следующее важное для применения теории обстоятельство. Давление в некоторой точке возмущенной области равно в первом приближении, как покааывает соответствующая формула (3.36), сумме давления за головной волной при том же значении х и давления, уравновешивающего центробежную силу, которая действует на частицы газа между данией точкой и точкой головной волны с тем же значением х при движении чзстиц по криволинейной траектории. В случае обтекания тел с выпуклым контуром оба слагаемых имеют разные знаки, причем при перемещении вдоль некоторой линии тока первое слагаемое уменьшается.
а интеграл зо втором слагаемом увеличивается (так как рзстет фо; к тому же и ио(ф) Растет по напРавлению к внешней гРанице слоЯ). поэтомУ, если кривизна тела убывает при удалении от его переднего конца недоотаточно быстро. то падение давления между головной ударной 134 [гл. щ ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА волной и рассматриваемой линией тока, вызванное центробежными силами, начиная с некоторого места превысит увеличение давления при прохождении газа через ударную волну, вследствие чего вычисленное в первом приближении давление обратится в нуль и станет затем 'отрицательным. Очевидно, что такое положение будет достигнуто прежде всего на поверхности обтекаемого тела.
Вместе с рз обращается в нуль плотность рз; точка, где это впервые происходит, является особой точкой в излагаемой теории. При приближении к этой точке нарушается основное предположение теории о том, что плотность газа в слое за ударной волной много больше плотности газа в набегаю1цем потоке и что, следовательно, толщина слоя между поверхностью тела и головной волной мала. Поэтому расчет течения по излагаемому методу может осуществляться только до некоторой окрестности этой особой точки. $ 7.
Использование закона плоских сечений в методе пограничного слоя В главе И была установлена аналогия между обтеканием тонких тел потоком с большой сверхзвуковой скоростью и неустановившимся плоским течением газа, вызываемым расширением в газе поршня. При этом симметричному обтеканию тел вращения соответствуют течения с цилиндрическими волнами, а обтеканию профилей — течения с плоскими волнами. Основным средством расчета таких течений при наличии ударных волн является численный метод характеристик в различных модификациях.
Точные решения задач о неустановившихся одномерных движениях с ударными волнами получены лишь в немногих случаях, главным образом для автомодельных движений. Основываясь на описанной выше идее рассмотрении течения за интенсивной ударной волной как своего рода пограничного слоя вблизи поверхности волны, изложим метод приближенного расчета автомодельных и неавтомодельных неустановившихся одномерных течений газа с ударными волнами большой и умеренной интенсивности и его приложение к расчету обтекания тонких тел потоком с большой сверхзвуковой скоростью (см.
[34[ н [36[; позднее этот же метод был предложен в работе [39[). Примем, как и в 9 4 гл. П, за основные искомые функции расстояние )с частиц от оси (плоскости) симметрии, плотность р н давление и. Независимыми переменными пусть будут время ( и лагранжева координата т, определенная формулой с(т=рзг'-'~(г (г — значение гс в начальный момент времени, рз — начальная плотность, я = 1, 2 соответственно для течений с плоскими и цилиндрическими волнами; для приложений к задачам со сферическими волнами следует считать т = 3). При сделанных предположениях уравнения неразрывности, движения и энергии (для адиабатических 135 НСПОЛЬЗОВАННЕ ЗАКОНА ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ движений совершенного газа) можно записать следующим образом (см.
уравнения (2.10) в % 4 гл. П). 1 Р );~~-г = — й" .-1 др дт ' (3.37) Предположим вновь, что плотность газа за ударной волной (в слое между ударной волной и поверхностью поршня) значительно выше, чем перед ударной волной. В связи с этим будем искать решение системы (3.37) в виде следующих рядов по степеням малого параметра е, характеризующего отношение плотностей газа перед ударной волной и за ней: (3.38) р= —,' -+Р1+ Ро Для определения функций г(о, ро, ро получаем систему уравнений дно д%о .-о дро д ро дт ' дто о дт' дт Рг Ро интегрируя которую, находим Йо = )то (Г) гго Ро — — )з(Г) — — „' т, И" ' о (3.39) где гсо(Г), Р(1), Ьо(т) — произвольные функции. функции йо рь р, удовлетворяют уравнениям )7" — — = (о— , дрг о дт дЖ дГо д р дг Рг 1 ро Эо (т) 1 г ° Рогго )) до1Р1 о Я 136 [гл.
щ ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА и определяются, следовательно, формулами: Л'О 2 а рт о (3.40) о ! Я Дт ~~ г[т+р (!) Ё 2 ч у~ч / р.-2 / Д22 О ч 22Ч вЂ” ' — ", — = 32 (т). Р2 Рг Ро Ро ор " т= Р ° ч рч О,Г)2 РО 2 Т вЂ” 1 т+1' 7+! Ро !+1 — ! 2 2 ао 1+ —— т — ! 12 (3.41) Будем считать, что функция )со(1) в формулах (3.39) есть закон распространения ударной волны. Тогда из соотношений (3.41) можно получить условия на ударной волне для первых членов разложений Р~2го искомых функций: при т =т*=— ч 22О = 22О (2) О.2 Ро =Р ого. Ро Ро= Я2= 0, О О'2 рг= — р — Р гсо р, =0.
(Все последующие члены рядов (3.38) должны обращаться на ударной волне в нуль.) Написанные условия позволяют определить про- Здесь Й" (1), р', (!), 6, (т) — произвольные функции, т" — нижний предел при вычислении интегралов — может выбираться различным образом из соображений удобства написания формул. Формулы (3.39) и (3.40) дают в явном виде выражения для первых двух членов в разложениях (3.38) искомых величин по степеням 2. Входящие в эти выражения произвольные функции должны определяться из условий на ударной волне и на поверхности поршня.
Условие сохранения массы, теорема количеств движения и закон сохранения энергии на ударной волне имеют в рассматриваемом случае следующий вид (см. выражения (2.11) в 9 4 гл. И): 13У использование алконл плоских сечений извольные функции в выражениях (3.39) н (3.40). В окончательных выражениях для искомых величин удобно перейти от лагранжевой переменной т к переменной;, связанной с т соотношением гоЙО ( с) т = . Очевидно, что -.(т) есть момент времени, в который ударная волна проходит через частицу с лагранжевой координатой т, ойч (с так что т'= . Выражения для величин ро и ро после подч становки в них значений прозвольных функций принимают вид р =р Йо+р — — т, ,о '2 0 Йойо Йа ч Й' — 1 о 1 о Ро (3.42) 1+ — —.
12 Йа(')1 1~г~ ) Функции Й„р,. Рс определяются формулами: 1 т — 1 Ос ( )„Йа (2)ЙО (2) дг ЙО Й2+ЙОЙО 1 0( Йа Р 1 Р дгЙ1 '2 рс = (ч — 1) — ~ Й, 0(т — 1 1 с(т ро ройо Й / Йч-1 / дгг о сач о ЧОЧ (3.43) Отсюда с 2 2 002 1 +1 с 1+ 1Й"- ()Йт ()Оч т+' 0 Аг+ 00 1 О(.) й — Й(1)+О ("). (3.44) Для окончательного решения задачи необходимо, используя условие на поверхности поршня. выразить функцию Йо(1) через заданный закон движения поршня Й (1). Должно быть выполнено следующее равенство: при 2=0 Й=Й,+ОЙ,+О(ог) — Й(с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
