Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Так как величина р заранее неизвестна и находится при решении, то общее число необхолимых для решения краевых условий равняется трем. При Ь =а должно выполняться условие обтекания о=О. В качестве условий, выполняющихся при Ь = 3, возьмем два соотношения на скачке: уравнение сохранения импульса в проекции на касательную к скачку и уравнение сохранения массы — туа = — Ъ 51п р Рг Рз из = Ъ' соз р, (3.8) и' = й' = — 2 ил. и'=О, (два других соотношения на скачке необходимы для нахождения констант С и С,). Предположим, что поверхность головного скачка расположена близко от поверхности конуса, так что величина Ь вЂ” а в интересующей нас области течения между скачком и поверхностью конуса мала. Тогда можно приближенно представить искомые функции и и о в виде главных членов их разложений по степеням разности Ь вЂ” а. Так как о = О при Ь = а, то из уравнений (3.6) и (3.7) следует, что на поверхности конуса 108 (гл.
ш ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА Поэтому вблизи поверхности конуса л — = 1 — (Э вЂ” а)5, — = — 2 (Э вЂ” а). О к» ла Для определения связи между !5 н а подставим эти выражения в соотношения на головной волне (3.8). Пренебрегая малыми величинами, после подстановки получим 1 Ре 2 Ре (3.9) Отношение плотностей — определяется для совершенного газа с поР5 Ре стоянными теплоемкостями формулой (см. (1.10)) Рз т+ 1 !+ 1 М55!ВТР Отметим, что если — -+О, т. е.
если для совершенного газа Т-51 Р1 Рз и М-+со, то р-+а и слой возмущенного газа между поверхностью конуса и головной ударной волной становится бесконечно тонким: ударная волна совпадает с поверхностью конуса. Таким образом, сделанное выше предположение о том, что разность р — а мала, оправдывается при больших значениях числа М и прн Т. не намного превосходящих единицу. В том случае, когда, кроме разности р — а. мала и величина 3 (обтекание тонкого конуса при большой сверхзвуковой скорости), из формулы (3.9) в соответствии с законом подобия для тонких тел при больших сверхзвуковых скоростях получаем )Ке где К= Мпе Ке= Мр.
Из этого соотношения находим (3.10) Ке Г7+! ! =~/ + К Р' 2 Кз' (3.1 1) которая будет получена в гл. Ч при другом методе приближенного решения задачи об обтекании тонного конуса потоком с большой сверхзвуковой скоростью. На рисунке 2.12 найденная зависимость сравнивается со значениями Ке~К. полученными путем численного интегрирования точных уравнений конических течений 181. Формуле (3.10) соответствует пунктирная кривая на рис. 2.12. Сплошная кривая на тол! же рисунке соответствует зависимости, найденной при использовании ' закона плоских сечений; эта зависимость хорошо аппроксимируется фор- мулой 83) метод касательных конгсов (или клнньвв) 109 При использовании таблни [81 для получения точных значений К /К полагалось К=М 1дя, Ке = М 1а р.
Рассмотрение рис. 2.12 показывает, что приближенные формулы (3.10) и (3.11) хорошо аппроксимируют точные значения К 1К в том диапазоне углов а и чисел М набегающего потока, в котором справедлив закон подобия при большой сверхзвуковой скорости, т.
е. в котором вообще существует единая связь между Ке и К. Для того чтобы определить величину давления на конусе Рь, пРедставим, пользУЯсь Условием адиабатичности, отношение Рь/Р, в следующем виде: т (3.12) Второй множитель в этом выражении находим нз соотношения на головном скачке уплотнения: Для нахождения первого множителя из интеграла Бернулли получаем связь между параметрами газа за скачком и у поверхности конуса: г 2 Отсюда после использования приближенных выражений для из и пз следует з г ль лг —, =1+(у — 1) —., (К,— К)а.
лз лз так что 2 Рь — =1+ ( —, (К, — К)'. а, Рт а Подставив в формулу (3.12) выражения для — и —, после проРи Р» Р" Рг стых преобразований находим с Ма= — 1 Р" — 11= — (К,— 1)+2(К,— К)з С Ка (3.13) Здесь Ке и К связаны зависимостью (3.10). На рис. 2.5 дано сравнение значений ср/аз, вычисленных по формуле (3.13) (пунктирная кривая) с точными значениями 181.
110 (гл. и! алкон соппотивлепия ньютона При М =со из формулы (3.13) следует оя (т+ 1) (т+ 7) а'Г (т+ 3)а Для значений Т, равных 1. ~, ~/» и о/з. правая часть этого выражения равна соответственно 2,00, 2,06, 2.08 и 2,12. Формулы (3.!3) и (3.10) или (3.11) могут служить в качестве основных аналитических зависимостей в методе касательных конусов. Р А и ~г ао йб ОВ й Рис.
3.!3. Распределение давления по поверхности тел ожпвальиой формы. При использовании этого метода для расчета распределения давлеиия иа топких телах вращения величина а должна отождествляться с местным значением таигенса угла наклона образующей тела к направлению набегающего потока, так что к=м — =мт — =к —. лу ыу лу и'х лх дх ' В качестве примера использования метода касательных, конусов рассмотрим обтекание семейства тел с образующей параболической формы (23). Для таких тел К = Ко (1 — «).
Так как К-ь0 при х-ь!, то естествеиио, что для таких тел условие К ) 1, необходимое для использования формул (3.13) и (3.!О), не выполняется вблизи заднего конца тела. 63) мвтод касательных конгсов (или клиньев) 111 Распределение давлений будет определяться формулой (при 7 = 1,4) — — ' — 1) = — 1,041Ко (1 — х)' — 0,454 -+ т Рь -'(-' — =- +7 1,084Ко (1 — х)'+ 1,656Ко (1 — х)з.
На рисунке 3.13 произведено сравнение распределений давления, вычисленных по этой формуле (пунктирные кривые), с распределениями, полученными методом характеристик для значений Ко, равных 1,О, 1,5, 2.0 и 2,29 (сплошныеЛкрнвые). Точные-и приближенные значения удовлетворительно совпадаю'г между собой всюду, за исключением окрестности хвостовой части тела. с,м 0 ! г оо Рис. 3.14. Сопротивление тел оживальной формы.
На рисунке 3.14 приведен график функции Р (Ко), входящей в закон сопротивления: Г(К)=с„М =- = 0.347К' — 0.454 — — [4,278 Л" — (1.382К'+ 1.055)з И + +(0,608Кз+ 0,464)! и (2,400М+ 1,309Кз+ 1)), где И = У0,297Ко+ 0,454Л.". Там же точками нанесены значения, полученные посредством расчета методом характеристик. Как видно из этого рисунка, метод касательных конусов с использованием формул (3.!3) и (3.10) или (3.11) 112 [гл. ш ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА для расчета давления дает весьма удовлетворительную точность при определении коэффициента сопротивления при Кз ) 1, по крайней мере в диапазоне т ( — и М > 3. 1 3 ф 4. Формула Буземана Выше было установлено, что в случае обтекания клина или симметричного обтекания круглого конуса совершенным газом при 7 =1 и при М=оо частицы газа движутся прямолинейно в прилегающем к обтекаемой поверхности бесконечно тонком слое. причем плотность газа в этом слое бесконечно велика.
Давление на поверхности клина и конуса совпадает с давлением за скачком уплотнения и определяется формулой Ньютона р = р [/а пйпзш В общем случае сверхзвукового движения тел нормальная составляющая скорости газа за головной ударной волной выражается формулой [см.
[1.9)) где Π— нормальная скорость распространения головной волны. Если отношение плотностей в скачке неограниченно возрастает, т. е. если для совершенного газа в формуле [!.!8) положить 7 -+1 и М-+со, то головная волна будет совпадать с поверхностью тела, так как краевое условие на поверхности тела О„ = Ъ'„([~„ — нормальная составляющая скорости точек поверхности тела) будет при этом удовлетворено. Однако в общем случае давление на поверхности тела не будет равняться давлению за головной ударной волной, так как при движении частиц га а по криволинейным траекториям следует принимать во внимание центробежную силу, которая должна уравновешиваться разностью давлений между точками за ударной волной и точками на поверхности тела [24). Несмотря на бесконечно малую толщину слоя.
Зта разность имеет конечное значение из-за бесконечно большой плотности газа в слое. Величина разности давлений зависит от распределения скорости и плотности газа по толщине слоя. Примем в соответствии с концепцией о неупругом столкновении и об отсутствии сил трения, что после столкновения с поверхностью скорость частиц остается в дальнейшем неизменной и частицы движутся по геодезическим линиям поверхности. При этом предположении определим разность давлений в слое для случаев плоского и осесимметричного потоков' ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
