Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Пользуясь этими интегралами и остальными двумя уравнениями системы (4.9), получаем (Мз 1) дззр д'зр дквп дуз При М,) 1 общее решение этого уравнения для ер и выражения для других искомых функций можно записать в таком виде: ер тЫз [ар 3 (х — 1 Мз — 1.у) ер4 (х+) Мз — 1у)[ еи = ар, (у) — ерз(х — тг' Мз — 1у)+ зР,(к+У Мз — 1у). зо = зг' Мз — 1 [зрз (к — " Мз — 1у) + +зр,(к+3' Мз — 1у)1 — з"'уяп 8, ер =ерз(у)+Ма~[ар (к 'у' М~з — 1у) — ер (х+Ф Мз з— 1у)1. (4.12) а 3] взаимодвйствие возмкщвний со скачком тплотнения 159 160 использовлиив соотиошвиий ил скачке гплотивиия (гл.
Рн зР,+зРз+с(д а (сф а — с1Д) зРз — с1а «(с1и а+с1« ~) еРз+ + 1 — =' ф'сф р=в«1.,— з" хяпв, Рз/ 2з~ ~ + зРг+ (с(й а — с1д Т())з зРз— — (с1а а+с(а'р)ззРз=з«Ез — 2е"'хяпй, зРг+ 1а ~ (с1а' а — с1« ~) зРз + 1д (1 (с1д «+с!я (з) зРз + + — з — 1 зР~1к р=з Е~+з х1Я~рз!по, 1 Рз 1 Ю зРз з зРз= з 1з. (т 1) Мз (4.13) Из этих соотношений путем простых выкладок можно выразить значения функций Р,, Рз, Р . р' иа скачке через значения фуикции Рз.
В частности, нетрудно получить следующую связь между функциями Рз и Рз' зРз ((1 + — )х~+йзРз ((1 — — ) х~ =з"~. (х)+езсСх. (4.14) Здесь — С = — 19' а 1я р 5!п 6, .а — Ь вЂ” а 1« -Г- Ь ' а+ Ь 1-(х) = — ~ ~1+ — М,) — яп К,+ 2(йз$ г т — 1 зз -а+Ь[~ 2 ) Рз + — с1К'6 — (1 — (т — 1) Мз) =' япз 91« — 1+ — Мз) созз ~Ез+ 2 ь + — ''М-~Фз'п В+созе~~(.,1, 2 1Р / Функции Рз(х — РМзз — 1у) и Рз(х+ з' Мз — 1у) описывают возмущения, распростраияющиеся вдоль характеристик двух семейств, идущих соответственно по направлению к скачку уплотиеиия и от него.
Полученное общее решение системы уравнений (4.9) содержит четыре произвольные функции Р,, Р„Р,, Р,. Граничные условия (4.10) связывают значения этих Функций иа скачке уплотнения с велинииой р', характеризующей форму скачка. Подставляя выражение(4.12) в условия иа скачке (4.10) и обозначив у Мз — 1 =с1а'а, получаем, что при у=х16 9 ~ 3) вэаимодвйствив возмзщвний со скачком тплотнвния 161 причем а и Ь выражаются формулами: =г — [1 — 1— ы, ~ Т(= — 111. Ь= 1+= — ТМгэ1п р ~= — 1 Рг !кг р г . г — I рг р, гага Р, (4.
15) Рассмотрим сначала случай, когда набегающий поток не возмущен и течение плоскопараллельно, т. е. ее=э"=О. Тогда из соотношения (4.14) и выражения (4.12) для ер следует, что если эа меру возмущения течения принять соответствующее изменение давления, то величина Х представит собой коэффициент отражения возмущения от ударной волны, т. е. отношение амплитуды возмущения, отраженного от ударной волны (вдоль характеристики х+г Ма — 1у = сонэ!), г к амплитуде возмущения падающего (вдоль характеристики х— — 'г Мг — 1у= сонэ!).
Из использовавшегося уже ранее выражения для отношения плотностей с двух сторон скачка Р1 Т 2 Т+1 (Т+ 1) М', э!яг(Ь+ Е) и из симметрии соотношений на скачке относительно индексов 1 и 2 следует, что Рг Т вЂ” 1+ 2 р, Т+1 (Т+ 1) Маг!и Э Написанные выражения позволяют получить неравенства: 1< Р <Т+1 Т вЂ” 1 — < Мгэ!и р=< 1.
Т+! - а.а Ре 2, Т вЂ” < Маэ!и' р < 1 2Т Т ! Т вЂ” !Т вЂ” ! 1 — — + — >О, 2 2 2Т г.г- l 2 Т вЂ” 1 а.г — ~ ТМгэ!и р — -1 ! — + — Мгэ1п ~) = 1Т+! Т+! Мгэ!и 'р' — = — »О. г . г Т ! Рггйгаг Т + 1 р, гя~ а а!яа => 2гй7 Рг га г Ь= 1 Рэга Ь 2Т + Рг гйаг Т+ ! 1! эеа. 559. Г.
Г. черная Заменяя в правых частях выражений (4.15) каждое слагаемое его минимальным значением, получаем 162 использовании соотношений нл скачке лплотнзния (гл. ш Так как величину ), можно представить в одном из видов а — Ь 2Ь 2л а+Ь п+Ь + а+Ь ' то ясно. что ~Х(< 1. На рисунке 4.7 показаны величины ). в функции от угла 0 отклонения потока, вычисленные при 7=1,4 для различных значений числа М,.
Оьа Рис. 7.4. Коэффициент отражения возмущений от по- верхности скачка уплотнения. Пользуясь выражениями (4.15) при малых значениях угла 0 и не очень больших Мн т. е. когда М,0(~1), путем несложных. но громоздких вычислений можно получить формулу ).=0(м,) 02+0(03), где 0 3] взлимодвйствии возмнщвний со скачком тплотнвния 163 При малых значениях 0 величина ), имеет порядок 0т.
Это, как известно, дает возможность пренебрегать взаимодействием ударной волны и течения за ней при учете малых членов только первого и второго порядка по углу отклонения потока. Отметим, что при ) < ь/я функция 7т(М,) обращается в нуль при двух свеРхзвУковых значениЯх числа Мн а пРи 7 ) % — пРи одном. Лля 7=1,4 значения М,. при которых л(М,) обращается в нуль, равны 1,245 и 2,640. Отражение возмущений от поверхности скачка уплотнения объясняет появление величины агд (см. й 1 настоящей главы), отличающей 03 -йб 0 00 40 00 б' Рис.
4.8. Зависимость коэффициента отражения от величины отношения теплоеняостей при М =со. коэффициент давления за скачком от коэффициента давления в простой волне. В самом деле, при малых значениях 0 главный член в выражении для коэффициента давления, соответствующий отраженному от скачка возмущению, равен )а,0 или ла,бт, причем из соответствующих формул следует, что произведение лат как раз пропорционально коэффициенту амь Кривые на рис.
4.7 имеют ряд интересных особенностей. Из их рассмотрения прежде всего следует, что величина 1).) мала, особенно при небольших значениях числа Мы Лишь при больших значениях числа М,, а также при таких значениях угла отклонения потока 0, при которых число Мт близко к единице, й становится сравнительно большой, причем й=г.(0) при фиксированном Мт имеет резко выраженный максимум. Далее, из рассмотрения кривых следует, что величина ), может быть как положительной, так и отрицательной, т. е.
в одних случаях отражение происходит без изменения знака 11н 164 использоаАние сООтнОшений нА скАчке УплОтнениЯ [гл. УУ возмущения, в других же знак возмущения меняется при отражении на противоположный э). При Т =1,4 и при значениях М, < 1,245 ).=0 только при 8 = О, в диапазоне чисел М, от 1,245 до 2,540 ) обращается в нуль еще при одном значении 8 (кроме 8=0), а при М, > 2,540 — еще при двух. Важно отметить, что коэффициент отражения ), довольно чувствителен к изменению величины Т. Так как при данном Т коэффициент отражения принимает наибольшие по абсолютной величине значения при М, =со, то для оценки влияния на коэффициент ) величины Т ограничимся вычислением ), лишь при М,=Со.
На рис. 4.8 приведены значения ) в зависимости от 8 при М, =Оо для нескольких значений Т. Исключая малую область вблизи значений О, соответствующих дозвуковой скорости за скачком, коэффициент отражения ). возрастает по абсолютной величине при уменьшении Т. Этот рост при уменьшении Т от 1,4 до, например, 1,3 невелик. Однако при дальнейшем уменьшении Т абсолютная величина коэффициента ), начинает резко возрастать и при Т = 1 коэффициент ). обращается в — 1, т. е.
возмущения отражаются, изменяя знак, но сохраняя свою величину. ф 4. Обтекание тел, близких к клину, и тонких профилей под большим углом атаки Рассмотрим обтекание сверхзвуковым потоком тела, близкого по форме к клину, при условии, что скорость газа за присоединенным скачком уплотнения продолжает оставаться сверхзвуковой.
)[ля описания течения между поверхностью тела и головным скачком воспользуемся решением, полученным в предыдущем параграфе, считая, что линия тока у=е'у(х), проходящая через точку О (рис. 4.9), представляет собой контур одной стороны обтекаемого тела э*). На этой линии должно быть выполнено условие обтекания — = э')" (х). иэ ") В силу вкравшейся неточности автор работы [6! пришел к непрэвнльноиу заключению о тои, что при М« — со коэффициент отражения ) стремится к — 1. В работе [8[ неправильно утверждается, что Ос,««.
1, вследствие чего некоторые выводы этой работы, в частности рывол о сохранении знака возмущения при отражении, неверны (см. Р. ж. «Механика», 3, 2457 (1954) ). *э) Таким телом может быть тонкий профиль под большим углом атаки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
