Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Энергия газа в слое единичной ширины, перпендикулярном к направлению полета, возрастает вследствие действия затупления на величину Е=Х ° 1. Равнодействующая сила г' не производит работы, но так же, как и сила Х. сообщает газу импульс. Импульс, сообщаемыЯ затуплением газу в направлении, перпендикулярном к направлению полета, в том же 1 слое единичной ширины равен г' = )' †. 13" 184 влияния малого затгплвния пвввднвго конца тала [гл. ч Воспользуемся теперь установленной в гл.
П эквивалентностью задачи об обтекании тонких тел потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью и задачи о плоском неустановившемся движении газа (закон плоских сечений). В соответствии со сказанным выше, для затупленного впереди тонкого тела эквивалентная задача о не- установившемся движении состоит в следующем. В покоившемся первоначально газе в некоторый момент времени выделяется на плоскости (на прямой) энергия Е (происходит взрыв) и газу сообщается импульс l по нормали к этой плоскости (прямой; энергия Е и импульс 7 отнесены соответственно к единице площади и единице длины заряда).
В этот же момент времени в газе из места взрыва начинает расширяться со скоростью У плоский (круглый цилиндрический) поршень. Требуется определить возникающее движение. Для перехода к сформулированной задаче о неустановившемся движении от задачи об установившемся обтекании тела в направлении оси х со скоростью Г следует полагать Е=Х, 7= У/Ь', У =Ъ' 1уа (а — угол наклона элемента контура профиля или тела вращения к направлению х), а время 1 вводить посредством соотношения х=Ъ7. Для случая, когда влиянием начального давления газа на движение можно пренебречь и 7=0, У=О (сильный взрыв), Л.
И. Седовым было найдено ([9, 10[; см. также [11[) аналитическое решение задачи для течений со сферическими, плоскими и цилиндрическими волнами; для сферического взрыва численное решение было дано также Тэйлором [12[. Впоследствии этн результаты повторялись в ряде работ других авторов [13 — 15[. Возникающее при сильном взрыве движение является автомодельным и соответствует обтеканию потоком с очень большой сверхзвуковой скоростью затупленной пластины (в случае плоского потока) или круглого цилиндра, обтекаемого перпендикулярно к торцевой поверхности (в случае осесимметричного потока).
При более общих условиях в каждом конкретном случае точное решение задач о взрыве с последующим расширением поршня можно получить лишь сложными численными методами, подобными тем. которыми решена задача о точечном сферическом взрыве [16, 17, 18[. Приближенно такие задачи могут быть решены, например. с помощью описанного в 9 7 гл. Ш метода разложения решения в ряды по степеням " . В этом методе формулы (3.42) и (3.43) т+1 ' дают выражения для значений параметров газа в возмущенной области за ударной волной через закон движения ударной волны Яз(Г). В задаче о движении газа, возникающем после взрыва с последующим расширением поршня, для определения функции Яв(Г) следует использовать закон сохранения энергии [19[.
Согласно этому закону полная (кинетическая и внутренняя) энергия движущегося газа в ка>кдый момент времени должна равняться сумме энергии Е, выделив- 'ф 2[ ОэтвкАнни плАстины с ТУЛОЙ передний кромкой 185 шейся при взрыве, начальной энергии газа и работы, совершенной расширяющимся поршнем, т. е. с ~ ~ — '''[" — ") + — ' р[~Р Р =Е+~ ' роао+~р,РО (г) е- ое н о (5.1) Здесь Π— оо — объем, занятый движущимся газом.
Оо — объем, вытесненный поршнем„р — давление газа на поршне. Йспользуя первые два члена разложений (3.38), из уравнения энергии (5.1) полу- чаем о Х~~+",(' — ' — и 1))~~ = =Е+ [ '[ро,+~ р, )ст" 'сРсс+0(ог) о Здесь Е=Ес[2(т — 1)и+8„], йс=1,3с=йо=О. Перейдем в этом уравнении от интегрирования по лс к интегрированию по т и воспользуемся еще тем, что (см.
2 7 гл. Ш) Рс Г аоо Р-' — Р" =Р— ' — — '+О() = — ~1+ —., 1+О(е). Ро Ро Ро Ро таз( ) 1 Тогда для определения функции сто(Р) получаем интегро-дифференциальное уравнение, которое мы вдесь не выписываем из-за его довольно громоздкого вида. При заданной функции ссс(Р) это уравнение может решаться, например, методом последовательных приближений, проще всего путем представления функции сто(Р) в виде ряда по степеням о = — .
т+1 ф 2. Обтекание пластины с тупой передней кромкой и круглого цилиндра, поставленного торцом к набегающему потоку Рассмотрим (рис. 5.2) обтекание потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью плоской пластины толщиной с[ с затупленной передней кромкой (можно рассматривать и бесконечно тонкую пластину, но с конечной силой вязкого трения на малом участке вблизи передней кромки). В этом случае в эквивалентной задаче об одномерном неустановившемся движении с плоскими волнами нужно 14 зон. озо. Г. Г.
черный 186 влиянии малого злтгплания пагаднаго конца талл 1гл. ч полагать Е Ф О, У = О, т. е. нужно рассматривать задачу о движении, возникающем в покоящемся газе при взрыве заряда, распределенного на плоскости. Параметрами, определяющими такое движение, служат начальное давление газа р„начальная плотность ры энергия взрыва Е (отнесенная к единице площади заряда), отношение теплоемкостей газа Т, расстояние г от плоскости взрыва и время Е Так как из этих параметров можно составить лишь три независимые безразмерные комбинации, например Т, †, †, .
то по основной теореме Рзг Рг' Г Е ' рьЕ теории подобия и размерности 1111 все определяемые величины Рис. 5.2. Обтекание пластины конечной толщины, смМз гр 1Т' с„Ма Д ) ' (5.3) после приведения их к безразмерному виду будут функциями только этих трех параметров. Заменив 1 и Е по формулам 1= —, 2Е= к рг ~" = 2Х= с — Н (с — коэффициент сопротивления затупления), получим, что при обтекании плоской затупленной пластины потоком с большой сверхзвуковой скоростью безразмерные определяемые 1 к 1 г величины аависят только от переменных (, —, —, — „—.
Так, с~Ма я' с,Мал'' например, для распределения давления по поверхности пластины, т. е. при г = О, справедлива формула 1~' с Мз У)' (5.2) Из этой формулы слелует, в частности, что протяженность области повышенного давления вблизи передней кромки пластины очень сильно возрастает с увеличением числа М (пропорционально М'). Форма головного скачка уплотнения, возникающего при обтекании затупленной пластины, определяется зависимостью $ 2) ОБтекАние плАстины с тяпой пегедней кгомкой 181 Функции Р и )с могут быть определены путем численного решения задачи о взрыве, требующего применения быстродействующих счетных машин; однако, как упоминалось выше, ло настоящего времени такие вычисления проделаны лишь для случая течений со сферическими волнами (точечный взрыв) при Т= 1,4. При большой интенсивности скачка уплотнения, когда начальное давление газа р, пренебрежимо мало по сравнению с давлением за скачком, оно не может ока- У х, Бывать влияния на движение.
Таким образом, в этом случае паРаметР Рг и вместе с ним 44 бу число М несущественны, так что зависимости (5.2) и (5.3) должны иметь внд = х (Т) с*'( х )- ° (5 4) 2 ЯЯ вЂ” *=х,(Т)с"( — ") . (55) Функции х(Т) и х,(Т) не могут быть определены из одних только соображений сс 14 у теоРии подобна и РазмеРности; Рнс. 58 Ф цнн ( ) н х ( ) Ункцнн х 1 н хг т . их значения можно взять из точного решения задачи о взрыве плоского заряда без учета начального давления (11).
Эти значения представлены на рис. 5.3 сплошными линиями. В помещенной на стр. 188 таблице приведены полученные согласно Р Р г ш этому же решению функции —, —, — в зависимости от — и от —, Р' гх т. ' дающие распределения давления, плотности и поперечной скорости между ударной волной и поверхностью пластины. Правые части выражений (5.4) и (5.5) являются главными членами в представлении величин ар т* 1 н — прн малых значениях л 2 х переменной — „.
Следующие члены в этих представлениях най- с Маи' демы в работах (20, 21] 4). Приближенное решение задачи о взрыве плоского (а также линейного и точечного) заряда методом раз- х) Метод определения зтнх членов был разработан Н. С. Мельниковой (см. (1Ц ), исследовавшей течение со сферическими волнами. 14* 188 влиянии малого зьттплания пагаднвго конца талл 1гл. и 7 — 1 ложения решения в ряды по степеням — с использованием для 1+1 определения функции Йз(1) уравнения (5.1) получено в работе 1191. к=1 7=14 р рь Р Р* Г Сравним результаты излагаемой теории, выраженные формулами (5.2) и (5.3), с более точными расчетами обтекания плоской пластины с тупой передней кромкой [22) и с имеющимися экспериментальными данными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
