Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Обтекание тонкого клина с затупленной передней кромкой В качестве простейшего примера обтекания потоком с большой сверхзвуковой скоростью профиля с тупой передней кромкой рассмотрим обтекания тонкого затупленного клина. Для этого случая в эквивалентной задаче о неустановившемся движении газа с плоскими волнами Е Ф О, У = У !д и = сопя!(в — полуугол раствора клина). Это движение не является автомодельным даже тогда, когда начальным давлением газа можно пренебречь по сравнению с давлением за ударной волной. Приближенное решение задачи можно получить с помощью Т вЂ ! метода разложения решения в ряды по степеням 1, кратко излоТ+! женного в применении к задачам рассматриваемого типа в конце 9 1 настоящей главы.
Однако. учитывая, что в общем случае и этот метод является довольно трудоемким, мы произведем дальнейшее его упрощение, позволяющее получать решение элементарным путем с сохранением удовлетворительной точности. Напомним, что центральная идея метода разложения решения Т в ряды по степеням — состоит в том, что при сильном уплотнеТ+! нии газа в ударной волне основная масса газа в возмущенной области сосредоточена в тонком слое, прилегающем к ударной волне. В этом слое происходит и основное изменение давления газа, в остальной же части области (она может и отсутствовать) изменение давления в силу малой плотности газа весьма мало. Для того чтобы получить решение в элементарном виде, примем, что толщина слоя вблизи ударной волны, заключающего всю массу газа, пренебрежимо мала и что изменением давления в возмущенной области вне этого слоя также можно пренебречь.
Тогда, применяя к газу внутри возмущенной области уравнение энергии (5.1), получаем 2 р~ и ~ †,~ †) + Р (о — ио)= е + ~'"~ + ~Р г(пай. (5.8) о Здесь о — оз — объем газа в возмущенной области, ть — объем, вытесненный поршнем. В случае плоских волн и есть расстояние от плоскости взрыва до ударной волны, пз — расстояние до поршня.
Для того чтобы найти из этого уравнения закон распространения ударной волны Йз(г), а вместе с ним и все характеристики движения (согласно формулам (3.42) — (3.43) гл. ШД, можно воспользоваться Т главными членами в разложениях функций Й и р по степеням —,т.е. Т+! полагать Лойо д~ =ыо Р=Ро)~о+ Ра — „° 196 влиянии малого злтьплвння пвгедниго конца талл (гл. ч Однако для того, чтобы придать всей теории злементарный характер, воспользуемся в качестве второго соотношения для определения функций )са(1) и р(1) уравнением импульсов.
Это уравнение имеет следующий вид: с р,п ~ =!+~ (р — Р1)о<». дй дС в где 5 — площадь поверхности ударной волны; в случае плоских волн 8=1. В уравнениях (5.8) и (5.9) величина — представляет собой д)с дг скорость газа, одинаковую для всех частиц. Примем. что во всем слое скорость частиц газа та же, что и в точках, прилегающих к ударной волне, т.
е. будем считать, что ь) (5.10) Соотношения (5.8) — (5.10) позволяют при заданном законе движения поршня оа(1) опрелелить функции гсе(1) и р(1). В случае обтекания клина ое — — Уу. о=)се.5=1. Ограничимся для простоты случаем, когда влиянием начального давления на движение можно пренебречь (учет начального давления не вызывает трудностей). Исключая из уравнений (5.8) и (5.9) давление р, получим одно уравнение для определения закона распространения ударной волны: рл —,' (, ', А)'+ „', Р— и() — „", (р, К вЂ” „', К) = 2 = Š— Ш+ р~Уй )с.
1+1 Оставим пока в стороне случай У=О, рассмотренный в более точной подстановке в 9 2, и введем для измерения длины масштаб Е = (Š— У(/)(р,(Р, для измерения времени — масштаб Е/У и для измерения давлений — масштаб рефР. Написанное выше уравнение примет тогда вид Г) ~ (х1)з) т ) ) рд гсгсг (5 11) Это уравнение имеет единственное решение гс'(1), удовлетворяющее условию Й(0) =0 и существующее при всех г') О. При малых значениях 1 )'9 (1+ 1)т(т — 1)~ Ы, (4 31 — 1 д)г *) Несколько ухудшая точность, можно считать — гга, 'отметим, что дг приведенные выше предположения совпадают друг с другом при бесконечном уплотнении газа в волне, т.
е. прн т-ь1, рх-ьО. $31 овтаклнив клина с злттпленной пввиднвй кгомкой 197 При больших 1 решение Й' стремится к асимптоте Й= — 1+7 — 1 т+1 2 (5. 12) -фъ г г» Ц2 лг» х Рнс. 5.9. Форма головной волны при обтекании затупленного клина. Переходя к переменным, характеризующим стационарное обтекание, находим, что форма скачка определяется формулой (5.13) Для распределения давлений по клину получаем следующее выра- жение: р 3, (4 газ а х ) (5.14) где через 1к'(~) обозначена функция 1 )с"А'. Графики зависимо- 1+1 стей (5.13) и (5.14) приведены на рис.
5.9 и рис. 5.10. На рис. 5.9 изображено также положение скачка при обтекании клина с острой кромкой. являющейся точным решением уравнения (5.11). Так как при г ~ 0 гг'»т'= 0(1»»), то решение гс'(С) соответствует случаю 7=0. При малых вначениях полуугла а при вершине клина величина Ы = 'г гпа мала по сравнению с величиной Е = Х (г' имеет порядок Х нли менее). Это позволяет использовать решение 71' для оценки влияния затупления передней кромки тонкого клина на его обтекание потоком с очень большой сверхзвуковой скоростью.
198 влияния малого злтгплвния паввднаго конца талл [гл. т Как следует из выражений (5.13) н (5.12), при удалении вниз по потоку направление скачка уплотнения, возникающего прн обтекании затупленного клина, стремится к тому же направлению. что и при обтекании острого клина, но скачок смещается дальше от поверхности клина.
Дополнительное смещение обусловлено'появлением вблизи поверхности клина области, занятой газом, прошедшим сквозь интенсивную ударную волну у переднего конца пластины, а потому имеющим Рнс, 5.10. Распределение давления по поверхности затупленного клина. высокую температуру и малую плотность. Согласно формулам (5.13) и (5.12) это смещение равно Т 1 сх 4 айза т. е. может быть значительным для тонких клиньев. Отсутствие опытных данных не позволяет прокзвести подробное сравнение результатов расчета с результатами экспериментов. Рис.
5.11а представляет собой интерферограмму обтекания потоком гелия затупленного клина с углом 10' при М = 12.7 [2[. На рис. 5.116 приведена для качественного сравнения картина течения, полученная расчетным путем по формуле (5.13) при (= /з. В верхней полу- плоскости набегающий поток направлен вдоль поверхности клина. что соответствует значению к= 0 в этой формуле. Используя асим- й 3) овтаклнив клина с злтуплкнной пвгеднвй кРомкой 199 птотическое выражение функции Я' при малых г, найдем, что при и= О Р 1 г 2 (1+1) '(т 1)1 "а/ н ) З Зт — 1 —.
агрз 2 г* ~9 (т+1)х(т — 1)]Ь,(х)д Для того чтобы судить о точности этих выражений, на рис. 5.3 Рнс. 5Л1а. Иитерферограмма обтекания затупаеяного клина потоком гелия при М = 12,7. пунктиром приведены значения первых множителей в их правых частях, соответствующих функциям х(1) н х,(у) в выражениях (5.4) Рнс. 5.11б. Картина обтекания затупленного 7 клина при М = со и; = = . о' и (5.5), полученных при точном решении задачи об обтекании затупленной пластины потоком газа при М =со в рассматриваемой постановке. 200 влняннв малого звтуплвння параднвго конца твлв [гл.
ч Вычислим полное сопротивление Х, клине длиной 1 с аатупленной передней кромкой (напомним, что Х есть половина сопротивления затуплення): Х, = 2Х+ 2 ~ р!д а т[х = 2Х [1+ Ф ( ~ — )~. о Коэффициент сопротивления такого клина выразится формулой с т= — [1+1Р (г)[1йэа. где г= — 1деа —. 4 а с1 ' Оу г,у,„1 с, ст Рис. 5Л2. Коэффициент сопротивления эвтуплен- ного клина: — с учетом влнвнне вступление на распрелелевве павловна по клину; — — -сумма сопротнелевве аатупле- нна н остроте плеве. График этой зависимости прн небольших значениях г приведен сплошной линией на рнс. 5.12. Прн большнх значеннях г верна прнблнженная зависимость овтвканив тонкого злтгплвнного конхса 201 На том же рисунке пунктиром нанесены значения с", соответствующие сумме сопротивления затупления и сопротивления острого клина: Как показывают полученные результаты, для тонких клиньев малое затупление передней кромки приводит к существенному росту коэффициента сопротивления с'-'.
Так, сопротивление затупленного клина с полууглом раскрытия 6 даже при — = 500 превышает а 1 сопротивление острого клина в два раза. При вычислении сопротивления важно учитывать влиямие затупления на распределение давления по остальной части поверхности клина. Для предотвращения значительного увеличения сопротивления крыльев и стабилизирующих органов при больших сверхзвуковых скоростях необходимо, таким образом, весьма тщательно заострять их передние кромки.
Однако, как указывалось в $ 1 настоящей главы, это требование практически едва ли осуществимо. Нужно также отметить, что центр давления профиля с затупленной передней кромкой смешается вперед по сравнению с центром давления такого же профиля с острой кромкой. Это смешение может быть значительным. Так, для профиля в виде пластины с затупленной передней кромкой при очень большой сверхзвуковой скорости центр давления, как следует из формулы (5.4), расположен на '/, длины пластины от передней кромки, а не в середине хорды, как у бесконечно тонкой пластины.
В заключение настоящего параграфа укажем, что изложенное в нем приближенное решение в случае обтекания тонкого острого клина дает 9 — угол наклона скачка уплотнения к направлению набегающего потока) ек = — а, е 1+1 р 1+1 2 2 ' ргУ~ 2 что совпадает с формулами, следующими из точной теории при М =со. ф 4. Обтекание тонкого затуплеииого конуса Рассмотрим в той же приближенной постановке, что и в предыдушем параграфе, задачу об обтекании затупленного конуса. В этом случае в уравнениях энергии и импульса (5.8) и (5.9) нужно полагать о=я/с', о„=к(/зса, 8 =2к/с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
