Г.Г. Чёрный - Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью (1161624), страница 29
Текст из файла (страница 29)
О другой стороны профиля течение будет прн этом простой волной рзэ)»йсжения. 165 овтвкание твл, влизких к клинг Подставим в это условие согласно выражениям (4.8) из= изео + ... и из = из(1 +ел+ ...), заменим еи и ео по формулам (4.12) и отбросим члены порядка ез. В результате получим еР,(х)+ еР4(х) = е у' (х) М М,'— 1 (4.16) Рис. 4.9. Обтекание профиля, близкогопоформе к клину. функцию Р и получить таким образом одно уравнение для определения функции Р;. ег''з ~ (1 + — ) х~ — Лег' 3 ~(1 — — ) х~ = = е'(дав ~~1+ е ~х~ — е'Х(х) — е"Сх. (4.17) Введем новую переменную 1 = ~1 + — ~х и обозначим фри ги а) 1 —— 18 р 1+' — ' (4.18) Уравнение (4.17) примет после этого вид егтз(1) — Легтз(й$) = е'гп аУ'($) — е"Х.
($) е"'С1, (4.19) Используя эту связь, можно исключить в соотношении (4.14) 166 использования соотношиний нл скачка гплотнвния [гл. щ где 1. (Е) = Х С а Ма~аз зшз а+Ь 1+— Таким образом, задача об обтекании сверхзвуковым потоком тела, близкого к клину, сводится к решению функционального уравнения (4.19), которое распадается на три уравнения вида Гз (Е) — ЛР'з (йЕ) = ~(Е). (4.20) Рз(Е) = Х Л"у(й"Е) и-з (4.21) формально удовлетворяет уравнению (4.20) при любом Е. Если функция г'(Е) кусочно-непрерывна на отрезке [О. Х[ и Е = 0 не есть точка разрыва, то разрывными будет только конечное число первых членов этого ряда.
Остальные члены ряда будут непрерывны и, так как [Лв~(л"Е)[~~[Л[" И, где М= шах [г(Е)[, с>мма их существует 0<а<х и будет также непрерывной функцией на отрезке [О. Х[. Следовательно, ряд (4.21) действительно является решением уравнения (4.20). Так как, помимо этого. функция г"з(Е) должна быть и дважды кусочно-дифференцируемой, то нужно доказать еще и сходимость ряда, полученного двукратным дифференцированием ряда (4.21) по Е Такой ряд сходится. Доказательство аналогично предыдущему.
Для того чтобы доказать, что решение (4.21) является единственным ограниченным на отрезке [О, Х[ решением уравнения (4.20). достаточно показать, что соответствующее однородное уравнение Р(Е) — ЛР(АЕ) =0 не имеет других ограниченных решений, кроме решения гт(Е)=0. Очевидно ! Р(Е) =ЛР(/гЕ) ='... =Л"Р(й"Е). Приступим к решению этого уравнения. Так как и — угол наклона к осн Ох характеристики течения за ударной волной, то а >[1 и согласно формуле (4.18) и > О. Очевидно также, что А ( 1.
Функцию ((Е) будем считать определенной и кусочно-непрерывной на отрезке [О, Х[, причем Х может быть и бесконечно большим. Покажем, что при перечисленных условиях уравнение (4.20) имеет единственное решение, ограниченное на отрезке [О, Х[, и построим это решение. Нетрудно проверить, что рял 1бу 9 4) овтвклнив твл, влизких к клинг Пусть функция Р остается ограниченной при стремлении аргумента к нулю. Так как )Л( ( 1.
то выбирая и достаточно большим, можио правую часть равенства Р (Е) — )вР (ьеЕ) при любом Е сделать как угодно малой по абсолютной величине. Отсюда следует, что левая его часть, не зависящая от л, тождественно равна нулю: Р (Е) =— О. Уравнеиие (4.20) имеет поэтому единственное решение. В самом деле. если предположить, что решений два, то их разность должна удовлетворять однородному уравнению и, в силу предыдущего, равна нулю. Таким образом, доказано, что функция Р,, определенная рядом (4.21), является единственным ограниченным решением уравнения (4.20). Если Я) представлена в виде степенного ряда (или многочлеиа), т. е. г(Е)=~ а„Е", то решение (4.21) примет вид Рз(Е) = )~~ „„Е". Воавращаясь к уравнению (4.19), получаем еРз(Е)=е'1аа ~ Л"у'(й"Е) — е" У, Л'Ч.(А"Е) — е" "гй ' я" и" Е. (4.
22) После определения функции Рз нахождение функций Р,, Р,, Ра, р'. а следовательно. описание всего течения за ударной волной и определение формы ударной волны, ие представляет труда. Найдем формулу для распределения давлений по поверхиости за ударной волной. Для этого преобразуем выражение (4.12) для давления, используя связь (4.16) между функциями Рз и Ра, и вставим в него решемие (4.22). В результате получим тм.", а $й у мп  — з 2Т(т)а ч: Л"с(л х) е' х (4.23) У'М,'— 1(а+в)~М',— 1Гйа) ' 168 использования соотношений нл скачка тплотнвния [гл. ш Пусть, как и прежде, набегающий поток ие возмущен и течение плоскопараллельно. Тогда е"=е"'=0 и формула (4.23) лля распрелеления лавлений запишется следующим образом: рос>= 1 ' (т~ )ча~1тое]. (4с4) в-1 (Несколько иным способом эта формула была получена А.
А. Дородницыиым в 1949 г.) В частности, если функция ут(х) задана в виде степенного ряда (или многочлеиа), т. е. У'(х)= ~е авх", то в-о таа, кч 1+ Л»" — г~т,71 1 Лав в Полученные формулы являются обобщением известной формулы линейной теории для определения лавлення сверхзвукового потока иа обтекаемую им слабо искривленную стенку и перехолят рнс.
4.10. Отражение возмущений от скачка уплотнения и от поверхности тела. в нее при 6=0 (так как прн этом Ма=Ми и Л=О). Из рассмотрения формулы (4.24) вилно, что лавление, действующее на элемент поверхности в точке с абсциссой х, при наличии ударной волны зависит ие только от угла наклона самого элемента, но и от угла наклона поверхности в точках с абциссами йх, лтх и т. д. Можно показать, что л-й член ряда в выражении (4.24) соответствует возмущению, попавшему в точку с абсциссой х после л-кратиого отражения от поверхности ударной волны (рнс. 4.10), 6 4[ !69 овтекание твл, влизкнх к клинг Коэффициент волнового сопротивления одной стороны тела, близкого по форме к клину, можно написать в виде 3 1 с = — /р,з!п(6+6')Их=ив ' ! (1+~р')[яп6+созВ~'У'(х)[Нх= е е 1 = гг +е' ~ ~[р'япВ+созВу'(х)[с!х= с +ос . „., е — — г Здесь д = —, й =! яп 6, с — коэффициент волнового сопротивле- РФ ння прн прямолинейной стенке, Вс — приращение коэффициента волнового сопротивления прн замене прямолинейной стенки близкой ей Рис.
4.11. К объяснению влияния отраженных возиущений на коэффициент сопротивления кли- новидного тела. криволинейной (первая вариация от с ). Считая, что У(0) = г (1) = 0 н используя формулу (4.24) для р'(х, 0), находим 21М Вс = — '5 Лие'У(й"). х Ч $гааг 1 Из того, что первая вариация коэффициента сопротивления при 1 чь 0 отлична от нуля н может быть сделана отрицательной, следует, что в противоположность результату, вытекающему нз линейной теории [9[, прн заданном отношении толщины тела к его длине клин ие является формой тела, прн которой волновое сопротивление минимально.
Легко дать физическое объяснение этому факту. Ограничимся для простоты случаем, когда в выражении для 6с отличен от нуля только первый член ряда; для определенности будем считать, что прн заданных М, н В коэффициент ) положителен. Тогда лля того чтобы Вс было отрицательным, необходимо должно быть 170 использОВАние соотнОшений нА скАчке УплОтнениЯ [Гл. !У У(Ф) ( О.
Уменьшение волнового сопротивления объясняется здесь тем, что разрежение, вызванное местными отрицательными значениями У'(х) влево от точки х = й (рис. 4.11), отражаясь от ударной волны без изменения знака (так как Х > 0), вызывает понижение давления на части поверхности у правого конца тела, тогда как сжатие, вызванное тем, что местные значения У'(х) справа от точки х = и положительны, отразившись от ударной волны, не попадает уже на поверхность тела. Само по себе изменение контура стенки (без учета отражения от ударной волны) влияет на величину волнового сопротивления лишь в пределах следующего приближения. Используем формулу (4.24) для расчета давления на поверхности тонких профилей, близких по форме к клину, при обтекании их потоком с большой сверхзвуковой скоростью.
Представим угол между касательной к контуру тела и направлением набегающего потока в форме 0=6[1 — 9(х)[, 0(0)=0, [Ь(х)[((1. Применяя выражения (4.3), справедливые при малых Ги М,)) 1, после несложных преобразований приведем формулу (4.24) к следующему виду: срМ2' = + (К,' — 1) — 2К т+ т+ К,' х [(( ((2 7 (В(г" )~, (422( где К= М(0. Коэффициент отражения Х и величина 72 определяются в зависимости от параметра подобия К формулами: ),= —, а+б' 1 г М т 1 М2 а — 2 ' (К,— К) 1 — — — (К вЂ” К) т+1 т+1 К', 2т 1 т — 1 Ь=1+Ф(К вЂ” К)' +1 2 + т+1 т+1 К,' 1 — — (К вЂ” К) М2 с М 1+ — '(КА — К) 2 ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ, БЛИЗКИХ К КЛИНУ Зависимости 1.
и л от К при у = 1,4 приведены на рис. 4.12. При обтекании тонких тел с очень большой сверхзвуковой скоростью )л и л стремятся к постоянным: Если пренебречь отражением возмущений от скачка уплотнения, т. е. считать ), = О, то легко убедиться, что формула (4.25)» как и и / г рис.
4.12, Зависнлюсти величин А и Л от параметра подобия К следовало ожидать, совпадает с выведенной в в 2 настоящей главы формулой (4.4), если в последней ограничиться лишь членом„ линей- 0 ным относительно ! — —. 0 Для случая, когда функция Ь (х) представляет собой степенной ряд от х, формула (4.25) была получена без применения общего выражения (4.23) в работе (101 из рассмотрения неустановившихся движений с плоскими волнами и закона плоских сечений; для общего вида функции Ь(х) эта формула таким же путем выведена в работе [11).
Рассмотрим теперь обтекание передней кромки тела вращения, изображенного на рис. 3.25. Предположим. что набегающий поток не возмущен и образующая тела вращения прямолинейна. т. е. 172 использование соотношений на скачке гплотнения 1гл. щ а' =е" =О. Формулы (4.12) н выражение (4.22) показывают, что величины р'", р'", и"', о'л будут в этом случае линейными функциями д ая асллл -4О Рис. 4.13. Градиент давлення у передней кромки тела вра- щения с протоком, 0 з г г Рис.
4.14. Зависимость величины Ф, характеризующей распределение давления вблизи передней кромки тела вращения с протоком, от параметра подобия К от х н у, т. е. мы получаем линейные члены в разложении функцнй рю ра. аа ол в ряды по степеням х н у. В частностГ по пгивлижанный метод 173 формуле (4.23) тМ~оагййэ1иэ р"'(х, 0) — — х. (4.26) УМ' — 1(Ь+агйР УМ,— 1) Это выражение определяет градиент давления у передней кромки. д (рядо) Вычисленные значения ~~~~ для нескольких значений числа М, д (к(го) показаны на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
