Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 93
Текст из файла (страница 93)
И действительно, при этом получается формула, которая практически точно совпадает с выражением (6.102). Такое вычисление коэффициента рекомбинации через вероятности захвата на дискретные уровни было проделано в работе Хиппова н Хиршберга (80). Оно также обладает большой наглядностью, хотя и не отличается строгостью.
Замечательно, что строгая в рамках известных предположений теория, развитая в работах Л. П. Питаевского [88) и А. В. Гуревича и Л. П. Питаевского (89) (о ней речь пойдет в следуюшем параграфе), приводит к формуле «з»1 стгогдя ткогия гккомвипдцин пги тройных столкновкниях 347 ми Ь, по формуле (6.100). Последняя преобладает при условии З «Зэззхз,"З 3 Р 10»тзп» вв '" ты«. град (6.105) е Я Я Как видим, при низких температурах и не чрезмерно малых плотностях всегда главную роль играет рекомбинация в тройных столкновениях. В работе [80) построены приближенные формулы для оценки коэффициентов рекомбинации в тройных столкновениях при более высоких температурах (от 3000 до 10 000'), когда захват происходит на низкие уровни.
(Надо сказать, что формула (6.104) в этой области дает завышенные значения коэффициента рекомбинации, но это завышение не превышает 5 — 10 раз даже при Т = 10 000'.) Приводится также удобный для пользования график суммарного коэффициента рекомбинации Ь + Ь„в зависимости от Л", и Т. Там же описаны результаты экспериментального изучения рекомбинации в гелии, причем получается удовлетворительное согласие теории и эксперимента. й 18.
Более строгая теория рекомбинации кри тройных столкновениях Рассмотрим детальнее, как протекает процесс рекомбинации при тройных столкновениях в низкотемпературной водородной плазме. Предположим, что условия в газе существенно неравновесны: степень ионизации выше равновесной или, что то же самое, температура ниже той, которая соответствует данной степени ионизации, так что в Плазме протекает преимущественная рекомбинация. Выше отлзечалось, что вероятность захвата электрона при тройном столкновении быстро возрастает при увеличении радиуса орбиты и уменьшении энергии связи уровня, так что электроны захватываются в основном на верхние уровни.
Как было показано в $ 13 гл. У, вероятности спонтанных радиационных переходов с верхних уровней резко уменьшаются при увеличении кванто.вого числа и и уменьшении энергии связи Е„(как 1/и» Е»зз). Предположим, что плотность электронов достаточно велика для того, чтобы вероятности радиационных переходов с верхних уровней были гораздо меньше вероятностей ударных переходов. Обратное положение при низких температурах практически не реализуется: если плотности столь малы, что радиационные переходы с верхних уровней происходят быстрее, чем ударные, то вообще преобладает фоторекомбинация и электроны преимущественно захватываются не на верхние, а на нижние уровни. Итак, состояние образовавшегося в результате захвата высоковозбужденного атома изменяется под действием электронных ударов.
При этом наиболее вероятны переходы в ближайшие соседние состояния, причем в области, где расстояния между уровнями ЛЕ„меньше ЬТ, переходы с возбуждением и дезактивацией («вверх» и «вниз») по принципу детального равновесия почти равновероятны (ЛК„( йТ в области йнергий свЯзи Е„( — — и/«Т или Е„< 1н (ЙТ/21н)м», это следУет из соотношений /»Е„ж ~ ЫК„Ып ~ = 21н/и' = 2Е„/и = 21н (Е„/1н)»/з). Таким образом, в этой области уровней энергия атома при каждом ударе меняется малыми порциями, причем «шаги» в ту и другую сторону примерно равновероятны.
Это — типичная картина «диффузии». Можно сказать, что происходит «диффузия связанного электрона в атоме вдоль энергетической оси». 348 СКОРОСтн РЕЛАКСАЦИОКНЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ (гл. У1 Соотношение вероятностей переходов «вверх» и «вниз» изменяется в области низких уровней Е„» )«Т, ЬЕ ' » йТ, где вероятность дезактивации болыпе, чем вероятность возбуждения. Кроме того, в области низких уровней весьма вероятны и радиационные переходы, которые также способствуют дезактивации.
В рамках «диффузионной» модели это означает, что в области низких уровней имеется «сток» и, следовательно, «диффузионный» поток направлен «вниз» вЂ” образовавшийся высоковозбужденный атом стремится прийти к основному состоянию, в чем, собственно, и заключается рекомбинация. Подчеркнем, что направление диффузионного потока определяется состоянием газа. Коли бы условия были таковы, что ионизация бьгла бы ниже равновесной, то преобладали бы акты возбуждения и поток был бы направлен «вверх». Существенно, что вероятность ионизации атома при ударе на не слишком высоких уровнях невелика и меньше вероятности дискретных переходов, так что иониэацией в этой области можно пренебречь. Вероятность ионизации, возрастающая с номером уровня и, велика в области очень больших и, где одновременно велика и вероятность.
захватов. Это приводит к тому, что в области очень малых энергий связи (порядка и меныпе йТ) устанавливается равновесие Саха — Больцмана (6.87) между заселенностью уровней и плотностью свободных электронов. В рамках «диффузионной» модели зто означает, что «источник» частиц в области малых энергий связи таков, что в этой области «автоматически» поддерживается данная плотность частиц. Поток вдоль энергетической оси, который при этом возникает из-за наличия «стока» в области больших энергий, очевидно, и определяет скорость отвода возбул«- денных атомов «вниз» и скорость образования атомов в основном состоянии, т. е., по существу, скорость рекомбинации.
Описанная картина процесса рекомбинации была облечена в математическую форму в работе Л. П. Питаевского [88], где диффузия вдоль энергетической оси рассматривалась на основе чисто классического уравнения Фоккера — Планка в предположении, что основную роль играют верхние состояния, где днскретность энергетических уровней проявляется слабо. Для большей наглядности и для того, чтобы яснее продемонстрировать физический смысл совершаемых приближений и «коэффициента диффузии», мы здесь перейдем к классике, исходя из системы квантовых кинетических уравнений. Пусть Лㄠ— числа атомов в 1 сл»,находящихся на л-х уровнях (числа заполнения или заселенности уровней).
Составим для них кинетические уравнения с учетом только дискретных переходов между ближайгпими соседними уровнями, причем для удобства сгруппируем попарно прямые и обратные процессы: —" = Л', ([~п„, Л'и+1 — ап, и+«оп] — [Рп, п,Л'и — а„,, „Л'„,]). (6.106) Рассмотрим область больших квантовых чисел и» 1 (предполагается, что 1„]йТ» 1). В атой области с дискретными числами л и Лп моя«но обращаться как с непрерывными и дифференцировать функции номера и (имея в виду, что «дифференциал» Ил =1), Производя в (6.106) разложение с учетом членов второго порядка малости, получим )и= пп 1 п~е '+( ': 1)Лп ~ ' (6 107) ,.о, Ьп Преобразуем отношение вероятностей с помогцью принципа детального равновесия и ограничимся рассмотрением области уровней, где расстоя- ч1») стгогля ткогия викомвкплции пги тронных столкновкниях 349 ние между уровнями меньше /«Т: ьк У, -1 ()у с) ( — ))т»т 1 2 ЛЕ о ь „(у») ит +и Теперь —,»"- = — --'„"-; /'.
= — (а-...Л",) Я"-+ (ф — ~ 1Л'„~ . (6.108) Это уравнение имеет типичную форму уравнения диффузии при наличии объемной силы. Величина Р„= (а„ь „Л',) играет роль коэффициента диффузии, ее размерность рек " (поскольку «координата» п безразмерна). От функции распределения возбужденных атомов по п, Л'„, легко перейти к функции распределения по энергии связи ф (Е). Очевидно, Лг„= «Е! д ~«ЕЙ д д = ср (Е) ~ — ' ~ = ср (Е) ЛЕ и — = — ~ — — ~ —.
= — ЛŠ—.. ло ~ дп, лй ~дЕ дЯ Преобразуя уравнение (6.108) и опуская члены высших порядков, получим д~р д/ . дю, Г ) 5 ч ю ' эй * зи (.ьт хй,) (6.109) Р=айг,(ЛЕ)', а ы а„ь„. Коэффициент диффузии по энергетической оси Р имеет размерность лрг'/сев (ЛЕ соответствует «длине пробега», х/»и)т', — среднее время между столкновениями, которые сопровождаются переходами «вверх» и «вниз»). Если сделать еще один шаг и перейти в уравнении (6.109) от функции распределения атомов по энергиям связи ~р (Е) к функции распределения связанных электронов в фазовом пространстве координат и импульсов, получим уравнение Фоккера — Планка в той форме, которая послужила отправным пунктом в работах [88, 89).
Коэффициент диффузии Р в работе [89) вычислен на основе чисто классической теории как средний квадрат изменения энергии связанного электрона в единицу времени при столкновениях со свободными электронами: (6.110) Примечательно, что коэффициент диффузии, выраженный через квантовомеханическую вероятность перехода а„ о „ /У„ Р = ссй/, (ЛЕ)', где а„ ы „ дается формулами $ 14, при условии ЛЕ « ЬТ приводит к точно такому же буквенному выражению, что и классическая теория, и превышает Р„л»сс в 8[/ 3/я 1п Л, ж 4,4 раза (при 1п Л» = 1). Надо полагать, что классическое значение в области тесно расположенных уровней более правильно, чем приближенное квантовомеханическое "). Допустим, что высоковозбуждениый атом, образующийся в результате захвата электрона ионом, дезактивируется и приходит к основному состоянию быстро по сравнению со скоростью изменения плотности электронов и температуры, т.
е. по существу, по сравнению со скоростью рекомбинации. Тогда среди возбужденных атомов устанавливается квази- стационарное распределение по энергиям, которое «следит» за медленным изменением плотности электронов и температуры. Иначе говоря, рассматривая рекомбинацию при данных Л', и Т, мы можем искать стацио- ») Здесь уместно напомнить, что кзазтовомехазвческие вероятности переходов для пяжних уровней давали завышение по сра»незию с опытом., 350 ГГЛ. РР СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ парное решение уравнений (6.108) или (6.109), когда поток постоянен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
