Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Поэтому на протяжении некоторого сравнительно болыпого промежутка времени каждая иэ частиц газа, Втекающих в ударный разрыв, проходит через ту же последовательность состояний, что и предыдущие. Иначе говоря, распределение различных параметров во фронте ударной волны образует как бы застывшую картину, которая в течение этого времени как целое передвигается вместе с фронтом (рис. 7.1). Если скорость фронта обоаначить через Р (Р = ) Р ~ ) О), а координату, нормальную к поверхности фронта в данном месте поверхности, ввкдкнив через х, то можно скаэать, что все параметры состояния гаэа внутри волны зависят от координаты и времени только в комбинации х + Р». В системе координат, связанной с фронтом, процесс стационарен и не зависит от времени.
Это обстоятельство (которое, кстати сказать, уже было использовано при выводе соотношений на раэрыве) чрезвычайно облегчает задачу с математической точки зрения, так как в системе координат, движущейся вместе с волной, все параметры состояния газа являются функциями не двух переменных х и «, а только одной координатьц и процессы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В й 23 гл. 1 при рассмотрении шип! Ю рины фронта ударных волн слабой интенсивности было показано, что ширина скачка уплотнения имеет своим мас- и штабом длину пробега молекул.
При Р« увеличении амплитуды волны ширина уменьшается, и когда превышение давления аа фронтом над начальным становится сравнимым с самим началь- х ным давлением, ширина фронта стано- Ркс. 7Л. Профиль давления н удар- Фиэически ясно, что в сильпых о«рвсяросервнение ударной водим в ударных волнах ширина скачка уплот- ввборвторяой си«вене воордннапб» снв- чан в сне«еие «оординвт, связанной с пения, в котором под действием сил «вяа- фронтои.
кости» происходит ударное сжатие, всегда порядка пробега молекул *). Проще всего это уяснить, если рассмотреть ударную волну в системе координат, в которой гаа эа фронтом покоится (в системе координат, связанной с поршнем) или, что то же самое, рассмотреть торможение высокоскоростного газового потока, набегающего на неподвижную стенку.
Кинетическая энергия направленного движения молекул (кинетическая энергия гидродинамического движения) при торможении превращается в кинетическую энергию хаотического дв»тжения, т. е. в тепло. Для «торможения» быстрых молекул, направленные скорости которых гораздо больше начальных тепловых (что и соответствует высокой амплитуде волны: высокой сверхзвуковой скорости водны), достаточно нескольких гаэокинетических соударений, так как в каждом ударе молекула в среднем меняет направление своего движения на большой угол.
Поэтому после нескольких соударений направленный импульс молекул почти полностью рассеивается и скорости становятся хаотическими. Для распределения энергии по различным .внутренним степеням свободы — возбуждения колебаний в молекулах, диссоциации, иониэации — требуется обычно много соударений. Ширина релаксационного слоя, в котором происходит установление конечного, термодинамически *) Следует подчеркнуть условность понятия «внзкоств» в данном случае.
Когда говорит о нянностн, подразумевают, что кридненты скорости малы и скорости заметно меняются па расстояниях, гораздо бблыпнх длины пробега молекул. Иными словами, низкость, которая нноднтон в гндродкнамину, есть понятие «макро«коническое», Ислн резкое изменение скорости и плотности газе происходит на рвсстоннии длины пробега молекул, то это явление «микроскопического» масштаба следует рассматривать не гидродипвмичеснн, в нн основе молекулярно-кинетической теории газов. Применительно и случаю очень больших грвднептои, но фровте ударной нонны под «внакостью» следует понимать механизм превращении иакранленкой скорости молекул в хаотическую, обусловленный молекулярными столкновениями. 362 СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ ИГЛ. УИ равновесного состояния, гораздо больше ширины перноначального скачка уплотнения.
Весь переходный слой фронта ударной волны можно, следовательно, рааделить на две зоны, существенно различающиеся по своей ширине: очень тонкий, «вязкийа скачок уплотнения и протяженный релаксационный слой. В достаточно сильной ударной волне, в которой газ нагревается до высоких температур, существенную роль играют излучение и лучистый теплообмен. Строение фронта при этом еще более усложняется. Ширина фронта определяется наиболее крупным масштабом, характеризующим переходный процесс, связанный с лучистым теплообменом: длиной пробега излучения, которая обычно во много раз больше газо- кинетических пробегов частиц.
В последующих параграфах будут подробно рассмотрены особенности строения фронта ударных волн. При этом мы начнем с рассмотрения ударных волн сравнительно небольшой интенсивности и будем переходить ко все более и более мощным волнам.
$. СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ 5 2. Вязкий скачок уплотнения волны: — ем=О йх Ли йр Л 4 йи ЛЕ 4 Гзи'~з Лй емт- — =-)," ) — —. ) х З ~, х,) и (7.1) Здесь Х вЂ” удельная энтропия, )а — коэффициент вязкости *), о — негидродинамический поток энергии, равный, в случае обычной теплопроводности, Я= — х —, (7.2) где х — коэффициент теплопроводности. е) В данном случае поннтнн первой н второй аяакостн неразличимы. Поскольку процесс ударного сжатия в скачке уплотнения разыгрывается на расстояниях, соизмеримых с газокинетнческим пробегом молекул, при изучении структуры скачка следовало бы, строго говоря, исходить из представлений молекулярно-кинетической теории газов. Однако в качестве первого шага в этом направлении естественно рассмотреть задачу в рамках гидродинамики реальной жидкости, принимающей во внимание диссипативные процессы: вязкость н теплопроводность, При этом, в отличие от вычислений 4 23 гл.
1, не будем накладывать ограничений на амплитуду ударной волны. В целях связности изложения мы повторим здесь некоторые выводы и выкладки з 23 гл. 1. Чтобы не усложнять рассмотрение несущественными в данном случае деталями, связанными с замедленным возбуждением непоступательных степеней свободы газа, будем считать газ одноатомным и пренебрегать ионизацией. Запишем уравнения одномерного течения вязкого и теплопроводного газа, стационарного в системе координат, связанной с фронтом 363 Вязкий скачок уплОтнения «2) К системе уравнений (7.1) следует присоединить граничные условия, выражающие отсутствие градиентов «перед» и «эа» фронтом волны, и стремление гидродинамических величин к начальным (при х = — оо) и конечным (при х = + со) значениям.
Преобразуя третье уравнение (7.1) с помощью второго закона термодинамики: та~ =- (1е+ р а = (и — — ) р 1 и интегрируя все уравнения (7.1), получим первые интегралы системы: ои= д«П, 4 йи Р+0и« вЂ” 2 и дх — — Ро+а«П, и» 1 Г 4 12и '1 и» ю+ — + — — ('~ — хри — ') =ио+-- 2О«Р(зох)2 (7.3) Константы интегрирования здесь выражены через параметры начального состояния газа, которым приписан индекс «0» и скорость фронта П= и». Если отнести уравнения (7.3) к конечному состоянию (параметрам его припишем индекс «1»), получим уже известные соотношения на разрыве, которые для удобства выпишем еще раз: й1и1 = й«П Р1+ 01и1 = Ро+ О«Ж и» и« Ю1+ 2 юо+ 2 (7.4) Из этих соотношений следует, что скачок энтропии в ударной волне Е1 — Ео = Х (Р1 111) — Е (ро до) совершенно не зависит ни от механизма диссипации, ни от величины коэффициентов вязкости и теплопроводности р и к.
Последние определяют лишь внутреннюю структуру фронта волны и его толщину 6. Толщина вязкого скачка уплотнения Ь пропорциональна коэффициентам (» и к, которые в свою очередь пропорциональны длине пробега молекул 1. В пределе 1-1- О гидродинамика реальной жидкости превращается в областях непрерывного течения в гидродинамику идеальной жидкости.
Что же касается фронта ударной волны, то в пределе ( — » О он превращается в математическую поверхность, так как б 1-1- О. При этом градиенты всех гидродинамических величин во фронте стремятся к бесконечности как 1Л, а скачки величин остаются конечными. Задаваясь коэффициентами вязкости и теплопроводности, а также теРмодинамической свЯзью и (Р, о) (в одноатомном газе ю = срТ = ~, можно численно интегрировать уравнения (7.3), (7.2) с указан- 5 рч 2 ными граничными условиями. Гораздо удобнее, однако, иметь дело с аналитическим решением, так как оно нагляднее демонстрирует все закономерности явления.
К сожалению, в общем случае найти аналитическое решение системы не удается. Проинтегрировать уравнения аналитически можно, если ограничиться волнами слабой интенсивности и разложить решение в ряд по малым изменениям одной из газодинамических величин. Этот метод был использован в $ 23 гл. 1 для оценки ширины фронта (полное решение имеется в книге Л. Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
