Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Здесь иснольвовано приближенное граничное условие, согласно которому можно считать, что в точке в = О, где имеется вязкий скачок уплотнения, плотность легкого компонента равна своему конечному значению О 11. Посмотрим, что происходит, когда по бинарной смеси газов распространяется ударная волна. Во фронте ударной волны имеются большие градиенты термодинамических величин и, следовательно, возникают благоприятные условия длл диффузии. Физически ясно, что во фронте ударной волны происходит концентрироваР1 ние легкого компонента.
В самом деле, Ра Р в нагретом газе за фронтом ударной волны молекулы легкого компонента обладают ббльшей тепловой скоростью, чем молеку,ла лы тяхсслого (Р )/Т/т). Поэтому молекулы легкого газа «вырываются впереда и несколько опережают молекулы тяжелого (в лабораторной сиаа1а г"я стеме координат, где исходная смесь покоится). Пусть в тяжелом газе имеется неболь- шая примесь четкого газа. Тогда распре«в, аса деление плотностей основного, тяжелого и легкого газов (О, и О1) в сильной ударной волне имеет вид, показанный на рис. 7ЛО. Там же изображен профиль концентрации легкого компонента: а = О1/(рз + О1). Ширина зоны, в которой имеется повышенная концентрация легкого компонента, по поРЯДкУ величины Равна 1ьх А)/ие, где/) — коэффициент диффузии, а через ио обозначена здесь скорость ударной волны*).
Коэффициент диффузии .() порядка Й1, где Р1 — тепловая скорость нагретого в ударной волне легкого газа, а 1 — длина пробега молекул. Скорость фронта ие порядка тепловой скорости нагретого тяжелого газа и, — вю Но Р1/Р, — )/т,/т1, так что 1ах )/та/т1 й Ширина вязкого скачка уплотнения порядка й Следовательно, ширина зоны концентрирования легкой компоненты в ')/тт/т1 раз больше ширины скачка уплотнения. Наиболее резко разделяются компоненты при сильном различии масс частиц (тт/т«.Р 1).
Этот эффект должен бы быть особенно ярко выраженным в случае плазмы ввиду огромного различил масс электронов и ионов. Однако в плазме существенную роль играет электростатическое взаимодействие 375 ДИФФУЗИЯ В УДАРНОЙ ВОЛНЕ о ы электронов и ионов, которое чрезвычайно сильно ограничивает диффузионный процесс (см. об этом в з 13). Наряду с вязкостью и теплопроводностью диффузия влияет на структуру фронта ударной волны. Чтобы описать эту структуру, следует составить уравнения плоского стационарного режима, подобно тому как зто было сделано в з 2, при рассмотрении вязкого скачка уплотнения.
Уравнения сохранения массы и импульса, первое и второе из уравнений (7.3), остаются, очевидно, без изменений (под [5 теперь следует понимать коэффициент вязкости смеси). В уравнение сохранения энергии (третье из уравнений (7.3)) нужно добавить молекулярный поток тепла, связанный с диффузией, и вместо молекулярного потока, обусловленного теплопроводностью Я, писать сумму Я + д. В систему уравнений теперь войдет диффузионный поток 1, которому пропорционален поток тепла О, т. е.
войдет новая неизвестная функция, концентрация а. Поэтому к системе должно быть добавлено еще одно уравнение. Это — уравнение непрерывности (сохранения массы) одного из компонентов (при наличии уравнения непрерывности для всей массы газа сохранение второго компонента обеспечивается автоматически). Условие постоянства потока массы легкого компонента в плоском стационарном случае имеет вид *) о Рак+ 5 = сопз1 = Роооио (перед волной диффузионный поток исчезает). Отсюда, кстати сказать, видно, что за волной, где диффузионный поток также исчезает, концентрация равна исходной а, = а, (так как О,и, = р,и,). Систему уравнений одномерного стационарного течения в бинарной смеси в принципе можно решать так же, как и для однокомпонентного газа (см.
$2). Решение даст распределение всех величин во фронте волны. Такая задача рассматривалась С. П. Дьяковым [20[ для случая ударной волны слабой интенсивности, когда можно произвести разложение всех Величин (см. з 23 гл. 1) *«). Как бьгло показано в з 18, 23 гл. 1, если рассматривать изменение давления в слабой ударной волне Лр = рг — р, как величину первого порядка малости, то изменения объема и температуры также представляют собой малые первого порядка. Полное изменение энтрошги при переходе газа из начального состояния в конечное Х, — Хо есть величина третьего порядка малости, а изменение энтропии внутри фронта волны, скажем, Хые„— Хо — величина второго порядка малости.
Ширина фронта ударяой волны по порядку величины равна Лх 1ро/Лр, где 1 — длина пробега молекул. Из уравнения сохранения потока одного компонента, которое можно переписать в форме 1 а — ао= — —, Юоао и выражения для диффузионного потока видно, что изменение концентра- ции в волне Ла и поток 5 есть величины второго порядка малости (дей- ствительно, а — ао — 1 — г[р(г[х — Лр(Лх — (Лр)'). «) Общее ураннеиие непрерывности длн одного иэ компонентов имеет вид !1[ аоа — +йт(~ ы+1)=О. 555 ««) См. также работу Шермана [21[, ЕГЛ.
УЫ 376 СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ Следовательно, членом, содержащим градиент концентрации в выражении длн диффузионного потока, можно пренебречь (ИаЯх Ла/Лх (Лр)', тогда как г)р(г)х (Лр)'). В работе С. П. Дьякова )20) получено аналитическое решение для распределения концентрации во фронте ударной волны слабой интенсив- ности. Мы не будем здесь приводить его (расе пределение имеет вид, показанный на рис.
7.11), а оценим измеяение концентрации по порядку величины. Если пренебречь термодиффузией, которая обычно играет меньшую роль, чем бародиффузия (так как величина (ст обычно меньше, чем йр), то можно записать х ~1~ В "р ЛР Ли=а — ав — —" — — — —- Ос~в ~в Р Рнс. 7ЛП Профили плотности н концентрации э ударной эол- Козффициент диффузии 1) Й, прине слабой интенсивности, рэспрострвняющейси по бинарной чем тепловая скорость молекул р порядка смеси газов.
скорости звука,т.е.порядка ив. Замечая, что. Лх - (р! Нр) 1, найдем Ла — (с» (ггр )р)в. Избыточное количество легкого компонента, собрайного ударнон волной (на 1 свв поверхности фронта), порядка М=р ~ ( —,)с)х — Ей йх — Ей АР Р В достаточно сильной ударной волне, где Лр р, Ла )ср, ЛХ ° рйрй Если разность масс молекул сравнительно велика ()ср (тв — т,)), то изменение концентрации в сильной волне порядка самой концентрации и избыточная масса компонента порядка самой массы компонента в слое толщиной в длину пробега молекул.
Выше отмечалось, что диффузия подобно вязкости и теплопроводности приводит к диссипации механической анергии и повышению энтропии газа (см. об атом в [1)) *). Мы внаем, что если исключить из рассмотрения диссипативные процессы, то в рамках гидродинамики идеальной. жидкости ударная волна представляет собой математический разрыв. Разрыв размывается и превращается в слой конечной толщины с непрерывным распределением величин только при учете диссипативных процессов. При этом одна теплопроводность может обеспечить непрерывный переход в ударной волне только в том случае, если амплитуда волны не слишком велика (см.
2 3). Интересно посмотреть, может ли диссипация диффузионного происхождения без учета вязкости и теплопроводности обеспечить непрерывный переход в ударной волне, распространяющейся по бинарной смеси. Этот вопрос исследовался Каулингом !22) (Каулинг пренебрегал термодиффузией). Оказывается, что, как и в случае действия одной лишь теплопроводности, непрерывное решение возможно только при амплитудах удар- э) Подобно теплопроэолностн днффувнн может приводить н н локальному умевьшеяию энтропии (см. 1 2).
Благодаря диффузии повышается энтропия всей системы в целом, либо же энтропия частицы ээ все время процессе, скажем, нрн переходе нв начального состояния э конечное з ударной волне. В отличие от теплопроводностн и днффуэнн, вязкость лрнводнт к локальному повышению энтропии, т. е. ээ счет вязкости энтропия частицы может только возрастать. $ е) УДАРные Волны В ГАзе с БАмеДленным ВОЗБУЖДением 377 ной волны, не превышающих определенного предела, который зависит от разности масс молекул и концентрации компонентов. В предельных случаях, когда концентрация одного нз компонентов стремится к нулю (а -+. 0 пли а -ь 1), т.
е. когда газ превращается в однокомпонектный, или же когда относительная разность масс стремится к нулю, верхнее значение возможной амплитуды ударной волны также стремится к нулю. При большом различии масс молекул и сравнимых числах молекул обоих сортов диффузия обеспечивает непрерывность перехода вплоть до довольно больших амплитуд ударньгх волн, будучи в этом отношении более эффективной, чем теплопроводность. Так, например, в смеси водорода и кислорода (пь,/тз = — 1/8) нрн молярной концентрации кислорода, (Л'з/Лг), равной 10»/е, возможно непрерывное сжатие смеси в ударной волне до 4,78 раза (предельное сжатие при значении Ч =- 7/5, которое было принято в расчете, равно 6).
Одна теплопроводность может обеспезу — г чить непрерывное сжатие не более, чем в — —,- =- — раза. )+1 з 2. РЕЛАКСАЦИОННЫЙ СЛОЙ й 6. Ударные волны н газе с замедленным возбуждением некоторых степеней свободы Для возбуждения некоторых степеней свободы газа ") часто требуется много соударений молекул, причем необходимые числа соударений, т. е.
времена релаксации, для разных степеней свободы могут сильно различаться. Время установления полного термодинамического равновесия во фронте ударной волны, а следовательно, и ширина фронта определяются наиболее медленным нз релаксационных процессов. При этом, конечно, следует принимать во внимание только те процессы, которые приводят к возбуждению степеней свободы, дающих заметный вклад в теплоемкость при конечных параметрах газа.
Если т,„— наибольшее время релаксации, а и, — скорость движения газа за фронтом относительно самого фронта, то ширина фронта порядка Ах и«т „= Р (ре/р«) тт»х *е) Быстрее всего в газе «возбуждаются» поступательные степени свободы частиц. Поэтому механическая энергия потока газа, набегающего на разрыв, прежде всего превращается в энергию поступательного теплового движения атомов и молекул газа. Как было показано в $ 2, ширина вязкого скачка уплотнения в сильных ударных волнах порядка одного или нескольких газокннетических пробегов. Прн комнатных температурах врагцения в молекулах возбуждаются также быстро, в результате небольшого числа соударений; колебания же при этих температурах обычно не играют роли. Следовательно, ширина фронта слабых ударных волн, распространяющихся по молекулярному газу, нагретому до комнатной температуры, порядка нескольких газо- кинетических пробегов ""*).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
