Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 103
Текст из файла (страница 103)
При такой температуре энергия колебаний чрезвычайно мала и показатель адиабаты равен 7!5. Параметры газа за скачком уплотнения можно вычислить с помощью обычных формул для идеального газа с постоянной теплоемкостью, соответствующей участию только поступательных и вращательных степеней свободы молекул и показателем адиабаты у' = 7/5. Выпишем этн формулы, характеризуя амплитуду гу. з 5 ударной волны числом Маха (М = —; с' = — рср,), как зто принято с,' т СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ 1ГЛ. У1» при проведении лабораторных исследований: 6 со 1 1-1-5М р' 7 1 — = — М вЂ”вЂ” Ро 6 6 ' =66(7 — М-о) (М +5).
Параметры конечного состояния за фронтом ударной волны можно вычислить с помощью общих соотношений на фронте, задаваясь функциямк и, (Т,) или з, (Т,) с учетом колебательной энергии. В общем случае конечные параметры газа не выражаются простыми формулами, так как колебательная энергия в квантовой области сложным образом зависит от температуры (см. формулу (ЗА9)). Если рассматривать достаточно сильные ударные волны, в которых температура за фронтом больше энергии колебательных квантов, поделенной на постоянную Больцмана, Т, ) Ьт//«, то колебательная энергия равна своему классическому значению /«Т на молекулу и з = — —, где показатель адиа- Р у — 1 Е ' 7 баты у = 9/7.
В' этом предельном случае е, = — рту„ударная адиа- 2 бата имеет простой внд о): — — илн И 6 — У«/Уо Уо РПР»+ 6 (7.20) Ро ВУ«/Уо — 1 Уо 6РПР»+1 С помощью общего соотношения (1.67), из которого следует, что (7.21) 5 1 У«/Уо можно легко выразить р,/ро, так же как У,/Уо и Т,/Т, = р,У,/роу,„ череа число Маха М. Надо сказать, что область применимости указанной простой формулы для ударной адиабаты двухатомного газа весьма ограничена. Если Т, ( Ьт//о, то колебательная энергия не равна йТ; при температурах же, заметно превышающих Ьт//о, становится существенной диссоциация молекул.
Рассмотрим для примера ударную волну в кислороде с числом М = 7. Пусть начальная температура равна Т = 300' К. Если начальное давление — атмосферное, скорость звука равна со = 350 л«/сен, а скорость ударной волны /7 = 2,45 лм/сон. Параметры газа за скачком уплотнения равны О'/Оо = 5,45, р'/ро = 57, Т'/То = 40,5, Т' = 3150' К. Параметры в конечном состоянии за фронтом волны: 9«/ро —— 7,3, р,/р, = 60, Т,/Т, = 8,2, Т, = 2460'К.
У кислорода йо/й = 2230'К; Т, немного больше этой величины, так что простой формулой для вычисления Т, пользоваться можно (диссоциация кислорода при такой температуре и не слишком малой плотности столь мала, что ее можно не. учитывать).
Нацдем распределение параметров газа в релаксационной зоне и оценим ее ширину. Удельная внутренняя энергия газа в какой-нибудь точке х складывается из энергии поступательных и вращательных степеней свободы, равной — АТ, где Т вЂ” «поступательная» температура в точке х, 5 о) Подчеркнем, что этн формулы но совпадают с формулами длл газа с постоянным показателем т = 9/7, так как н начальном состояннн Т = 7/5 н ео = 5/2роро. ВОЗБУЖДЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ а А — газовая постоянная, рассчитанная на грамм, и неравновесной 5 энергии колебаний, которую обозначим через е: е = — АТ + е„.
Как 2 уже отмечалось выше, удельная энтальпия практически не меняется в релаксационной зоне (в приведенном численном примере изменение ее составляет всего 1%), поэтому 7 и = — АТ+ зе сопз$ ю1 ех гп'. 2 Зта формула связывает неравновесную энергию колебаний с температурой в точке х. Непосредственно за скачком уплотнения колебания еще не возбуждены (в начальном состоянии при Т = Те ж 300' К колебательная энергия очень мала), так что в точке х = 0 за скачком уплотнении е„= О. Затем начинается постепенное возбуждение колебаний, е„растет, а температура падает от Т до конечной величины Т„при которой колебательная энергия достигает равновесного значения, соответствующего этой температуре. Чтобы найти распределение температуры по х, воспользуемся уравнением кинетики возбуждения колебаний (6.9): дее ее (Т) — ее' 79 т„ Здесь е„(Т) — равновесная энергия колебаний, соответствующая поступательной температуре Т, а т„— время релаксации.
Будем для простоты рассматривать только достаточно сильные ударные волны, в которых температура высока и равновесная колебательная энергия выражается классической формулой: е„(Т) = АТ. При этом 7 9 7 е„= и, — — АТ = — АТ9 — —; АТ. Подставляя зти выражения в урав- 2 2 2 пение кинетики и переходя от субстанциональной производной по времени к дифференцированию по координате с учетом стационарности прод д д д цесса: — = — +и — = и —, получим уравнение: Ш д9 дх дх дТ 9 Т,— Т йх 7 итн Время релаксации т„зависит от температуры и плотности (или давления) газа.
Приближенно зту зависимость можно описать формулой (6.17), выведенной в з 4, гл. 9'П совет еее,мтме т„= е С целью выяснения физической стороны дела будем приближенно считать величину ит„в релаксационпой зоне постоянной и соответствующей некоторым средним между Т' и ТО ц и 9, значениям температуры и плотности (и =1799/д). Такое приближение имеет смысл, так как температура и плотность меняются не сильно, Так, в нашем численном примере температура меняется в 1,28 раза, Тее — в 1,08 раза, а плотность и скорость меняются в 1,34 раза. Интегрируя уравнение дчя температуры с начальным условием Т = Т' при х =0 и принимая во внимание, что в силу условия и = юм 9 Т = — Т„получим профиль температуры: 7 9х ех т = т, (1+ 2- ) = Т' ( ч + 2 е ™ех) СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ [ГЛ. У11 Имея в виду, что давление почти постоянно (р дТ сопз(), а температура меняется также не сильно, найдем приближенно распределение плотности: 9х 9х 9 — й — -(9 — 9') е 7"та = 9'+(91 — 9') (1 — е е), (7.22) Таким образом, температура н плотность прн х -+- оо аснмптотическн приближаются к своим конечным значенинм Т„р„причем эффективная 1пирина релаксационной зоны и фронта ударной волны равна примерно 7 1хх = — ит„.
9 (7.23) Формулы (7.22), (7.23) могут служить для экспериментального определения времени колебательной релаксации. Для этой цели обычно интерфорометрнческнм методом измеряют распределение плотности за скачком уплотнении и ширину фронта ударной волны (см. гл. 19'). Для извлечения из опыта более точных данных наложенную простую теорию можно уточнять, учитывая квантовую зависимость колебательной энергии от температуры, переменность скорости и = и (х) и т. д. Качественной картины распределеннй н порядка ширины фронта все эти уточнения, конечно, не изменяют.
Изложенная теория распространяется и на колебательную релаксацию в многоатомных молекулах, если амплитуда ударной волны такова, что возбуждаются только самые низкочастотные колебания е). Расчеты и измерения для газов ООз и Х90 имеются в работе [25). В табл. 7.1 Таблица 7.1 ил т [ 91 ! т 199, — Ах, ем ' ееи 1 [ 99 ееи Кислород 5,95 ( 2,08 2000 ~ 6,3 ! 5 ) 0,165 Азот 7,42 2,43 ' 3000 6,55 ' 30 1,11 9,97 3,26 ~ 5000 7,14 5 0,23 е) В случае нелинейных многоатомных молекул численный коэффициент 9/7 в формулах (7.21), (7.22) нужно заменить на 1119 в соответствии с иной вращательной теплоемкостью (3!29 на молекулу вместо 19).
дается несколько значений ширин фронта ударных волн в кислороде и азоте, определяемых колебательной релаксацией (по данным измерений Блэкмана [26)). Онн приведены к давлению за фронтом р1 —— — 1 аль.н (Лх т 1/р1), начальная температура Тс — — 296". Подробнейший обзор всех теоретических работ, посвященных расчету структуры зоны колебательной релаксации во фронте ударной волны содержится в статье Блайта [57!. Там рассматриваются самые разнообразные приблн1кенные решения, а также приводятся результаты точных 385 диссОциАция двухьтомпых мОлекул решений уравнений, полученных при помощи вычислительных машин (см.
также [58)). Отметим несколько экспериментальных работ, в которых изучается колебательная релаксация во фронте ударной волны и определяются соответствующие времена релаксации и скорости возбуждения колебаний. Кислород изучался в работах [59, 60), окись азота [61), окись углерода [62), двуокись углерода [63, 64). Подробный обзор экспериментальных данных с многочисленными ссылками имеется в книге Е.
В. Отупоченко, С. А. Лосева и А. И. Осипова [90). й 8. Диссоциация двухатомных молекул ео Ро 40 ' То 520 где М вЂ” число Маха. Параметры газа за фронтом ударной волны с учетом диссоциации не выражаются простыми формулами (см. 2 9 гл. 111); онн вычисляются на основе общих соотношений на фронте. Найдем распределение параметров газа в релаксационной зоне. Удельная внутренняя энергия газа с учетом диссоциации молекул равна (см.
формулу (3.21)): е = — (1 — а) АТ+ 2а — АТ+ а(/ = ( — — — ~ А7 + а(/, где 1/ — энергия диссоцнации 1 г газа, а а — степень днссоциации (которая может быть и неравновесной). Поскольку уже непосредственно за скачком уплотнения сжатие газа весьма велико (близко к восьмикратному), изменение давления в релаксационной зоне мало, а изменение знтальпни — ничтожно мало. Отсюда следует, что р = А (1+ а) ОТ сопев = р' = Ао'Т', (7.24) и = ~ — + — ~ А Т+ аб/ = сопв$ == и' = — А Т'. 'ч2 ' 2 / 2 (7.25) 25 Я Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
