Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 99
Текст из файла (страница 99)
й 3. Роли вязкости и теплопроводности в образовании скачка уплотнения Несмотря на то, что транспортные коэффициенты — кинематическая вязкость и температуропроводность, так же как и соответствующие диссипативные члены в уравнении энергии, сравнимы между собой, роли обоих диссипативных процессов в образовании скач- Р ка уплотнения далеко не равноценны.
Физия чески ясно, что принципиальную роль в механизме ударного сжатия играет вязкость, а не теплопроводность, так как именно механизм вязкости приводит к рассеянию направленного А импульса набегающего газового потока и пре- вращению кинетической энергии направлен- ~/ 7=)~6 ного движения молекул в кинетическую энер- гию хаотического движения, т.
е. превращению Рва. 7.4. Прямая ударного механической энергии в тепло. Теплопроводворахадодлявеэяокагагаэа. ность же лишь перекачивает тепловую энер- гию из одних слоев газа в другие и воздействует на превращения механической энергии косвенным образом благодаря перераспределению давления. Чтобы убедиться в этом, полезно рассмотреть задачу об одномерном стационарном движении газа с граничными условиями, соответствующими ударному сжатию невозмущенного потока в предположении, что вязкости вообще нет, и диссипация обязана исключительно теплопроводности. Исследование этого вопроса, впервые проведенное Рэлеем Н8), имеет принципиальное значение, так как выявляет особенности структуры фронта ударной волны в присутствии иных механиамов теплообмена: лучистого переноса энергии или электронной теплопроводности (в плазме).
Если не учитывать вязкости, то первые интегралы уравнений гидро- динамики одномерного стационарного течения (7.3) принимают вид: Ов = Оа.0, Р+ йи' = Ра+Еа1)-, ио я Во ш+ — + — = жо+ 2 ЭоВ 2 Из первых двух уравнений (7.10) следует, что в процессе ударного сжатия в отсутствие вязкости состояние частицы газа должно непрерывным образом меняться вдоль прямой на диаграмме давление — удельный объем (7.11) Р= Ро+за)-~ (1 Ч) Ч =-1 —, Уа Это важное свойство течения невязкого газа иллюстрируется рис. 7.4, на котором изображена ударная адиабата и прямая, связывающая начальное и конечное состояния газа. Попытаемся решить систему уравнений 1 31 ВЯзкОсть и теплопРОВОдность В ОБРАЭОВАнии скАчкА 369 (7.10), для чего, как и раныпе, исключим все переменные, кроме безразмерной скорости или относительного удельного объема Ч.
Для общности, не будем ограничиваться случаем «>дноатомного газа и сохраним произвольную величину показателя адиабаты у, который считаем постоянным. Имея в виду уравнение состояния р=-.— ОТ=ЛОТ, А=— и и (7А 2) Ке Ро (ра — молекулярный вес) и термодинамическую связь «л= — —, выра- У Р у — 16' зим из третьего уравнения (7.10) и уравнения (7А1) негидродинамическнй поток энергии и температуру через Ч: го — — =1+уМв(1 — Ч) ( Ч вЂ” --- ~, (7.13) уМ ' За11а У-Р1 $ г ~ — --'--(1-Ч)(Ч- Ь«) (714) 2 у — 1 Здесь, как и раныпе, величина у — 1 2 1 р Х есть безразмерная скорость в конечном состоянии, а М =- 7)/св — число Маха. Р 7 5 т и е «)аункцин Т (Ч) пРоходит череа макси- кы длл случая, когда воакомум, находящийся в точке жеи непрерывный ударный переход с одной топлопроводностью беа учета вязкости.
2 2вта у Прп рассмотрении ударных волн различной амплитуды могут представиться два случая. Если амплитуда достаточно мала, то Ч, ~ Чю,х. В самом деле, при числе Маха, близком к единице (М вЂ” 1 « 1), Ч,— 4 г = 1 — — (М вЂ” 1), т. е. также близко к еди« у+1 нице, тогда как Чювх ж (У+ 1)/2У ( 1. В этом га случае при монотонном сжатии газа от начального объема до конечного (от Ч = 1 до х Ч = Ч«) температура монотонно воарастает от начального значения Т, до конечного Т„ равного (при всех условиях) / Х а Т«2у (у — 1) «' 1 7о (у+1) — =1+ — — (М вЂ” 1) ( 1+ —,-) . уМ .) Графики Т (Ч) и 3 (Ч) в этом случае имеют вид, изображенный на рис.
7.5. Если исключить Ч из уравнений (7.13), (7.14) и подставить выражение (7.2) для потока О', получим дифференциальное уравнение типа «1Т«дх =- ) (Т), которое имеет непрерывное реп«ение. Профили температуры и энтропии в такой волне схематически изображены на рис. 7.6; они сходны с профилями, найденными в предыдущем параграфе. Как видно из энтропийного уравнения (7.1) с р = О, энтропия мак- ««оТ симальна в точке, где — — к — = О, или, в случае к = сопз1, в точке, ««л «7в где температура в волне Т (х) имеет перегиб: ««аТ(«1ха = О.
24 я. Б. Зечьдоввч, Ю. П. Раааер Рнс. 7.6. Профили температуры н аптрокии в ударной волне с одной теплопроводностью беа учета вяакоотв в случае, когда воаиожек непрерывный переход. !гл. Рп 370 СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ Таким образом, возможно существование слабой ударной волны с непрерывным распределением гндродинамических величин во фронте и в отсутствие вязкости, когда имеется одна лишь теплопроводность. Рассмотрим теперь достаточно сильную ударную волну. В этом случае объем, при котором температура максимальна, заключен между начальным и конечным значениями: т!т ( т!ттат ( 1.
Дей- ствительно, при М » 1 т! Рттт 1/2, от„ь а т!, = (у — 1)/!у + 1) ( 1/4, так как показатель, адиабаты газа не может прес л вышать 5/3. Таким образом, при монотонном нет прерывном сжатии газа от начального т„ объема до конечного температура во Я фронте волны неминуемо должна была С бы пройти через максимум. Графики ут 7 ! ! / " функций Т !т!) и В !Ч) для этого случая ! изображены на рис. 7.7. Посмотрим, г ! возможно ли существование непрерыв! ного решения уравнений !7.13), !7.14) в этом случае. Из формулы !7 14) и рис. 7.7 видно, что поток тепла В, обусловленный теплопроводностью, во всем интерРис.
7.7. Т, т>- и Ю, т!-диаграммы для злу~а ' пзотермического скачка пэв вале изменения относительного объема учете одной теплопроводяостк, по без от т! = 1 до т! = Гн не меняет знака и на, учета вязкости. правлен навстречу потоку газа: В (О. В соответствии с определением потока В = — хт!Т/т1х, температура при изменении объема от начального до конечного может только возрастать: т>Т/ттх ) О.
Следовательно, область за максимумом температуры, где т>Т/т>т! > О, не реализуется. В этой области объем еще не достиг конечного значения и должен уменьшаться т)т!/ттх ( О, температура же падает с уменьшением объема, г, т. е.! т)Г/т>х = /т) Т/ттт!) !т)ч/т!х) ( О, и поток был бы направлен в другую сторону !о ) О), что противоречит формуле !7.14). Таким образом, в случае сильной волны /тт при учете лишь теплопроводности непрерывное распределение температуры и плотности т" т по координате невозможно.
Прийти изначального состояния в конечное, минуя область падения температуры при увеличении ежа- Рпс. 7.8. Профили темпе. тия, можно только, включив в решение ратуры и плотпостп в удар- разрыв: именно, состояние меняется непре- ой ол е с 3 ермпчески скачком. рывным образом от начального !Точка А на рис.
7.7) до точки В, а затем скачком попадает в конечную точку С. Возникновение скачка плотности и свидетельствует о том, что в нем должны проявляться силы вязкости, т. е. сильный разрыв может быть размазан толыто благодаря вязкости, но не теплопроводности. Температура в скачке остается постоянной, меняется лишь ее производная, т. е. поток. Профили температуры и плотности 371 ДИФФУЗИЯ В ВИНАРНОИ СМЕСИ ГАЗОВ в такой волне, называемой «изотермическим» скачком, изображены на рис. 7.8 в).
Легко найти наиболыпую амплитуду, при которой еще возможно непрерывное решение в отсутствие вязкости. Она соответствует случаю, когда максимум функции Т (т)) совпадает с конечным состоянием, т. е. ») вх — — т)О Н Число Маха и отношение давлений по обе стороны фронта при атом равны: х ч~ Зу — 1 р( 7+1. Р у(З вЂ” у)' рс 3:у ' например, при у = 5/3 М' = 1,35, р,'/рс = 2; при у = 7/5 М' = 1,2, р,'/рс — — 1,5.
Если рассмотреть другой крайний случай, когда есть одна лишь вявкость и нет А теплопроводности,получим непрерывное решение для гидродинамических величин в скачке уплотнения, в принципе не отличаю- Рис. 7.9. р,у-диаграмма для щееся от решения предыдущего параграфа, ударной волны с учетом вязс тем лишь исключением, что энтропия в Н вЂ” тдврввв вдвабвта; Х», Гы этОИ случае Возрастает также мОнОтОннО (см. е' — адиабаты пуассона; вдоль третье уравнение (7.1) без члена АВ/«)л).
нтвдтирнве дрввса врон«ходит во- р«ход вв начального свстоаивд в Ход энтропии в обоих крайних случаях конечное. можно уяснить путем рассмотрения диагр аммы р, р' или р, т) (рис. 7.9). В отсутствие вязкости состояние в волне меняется вдоль прямой АВ и энтропия, как видно из сопоставления ударной адиабаты и адиабат Пуассона, вначале растет, достигает максимума в точке касания прямой с адиабатой Пуассона Х', а затем уменьшается.
В отсутствие теплопроводности состояние меняется вдоль пунктирной кривой, проходящей ниже прямой АВ (уравнение этой кривой есть 4 сгы оы р = рс + р»0х (1 — т)) + - -)« — „-, причем — — (О), и она нигде не касается адиабат Пуассона. Положение здесь вполне аналогично тому, которое имеет место в волнах слабой интенснвности, рассмотренных в 9 23 гл. Е з 4. Диффузия в бинарной смеси газов Если в смеси газов имеются градиенты термодинамических величии, то возникает диффузионный поток компонентов смеси, благодаря чему происходит перераспределение их концентраций.
Вообще говоря, диффузия стремится выравнять концентрации компонентов в пространстве. Однако при существовании градиентов давления, температуры вли в поле внешних сил: силы тяжести, центробежной силы во вращающейся смеси, и вообще при наличии ускорений, происходит разделение первоначально равномерной смеси. В частности, такое полон<ение возникает в ударной волне, распространяющейся по смеси газов. Перед и за фронтом волны концентрации ") Заметим, что «изотермнчность» скачка, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
