Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Ландау и Е. М. Лифшица (1)). (гл. Уы 364 СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ Точное аналитическое решение для волны произвольной амплитуды можно найти в одном специальном случае. Это решение, полученное впервые Беккером )2), а впоследствии исследованное Мордуховым и Либби (3), описывает все физические закономерности структуры скачка уплотнения, обладая простотой и наглядностью. Остановимся на нем подробнее. Обычно в газах транспортные коэффициенты — кинематическая вязкость у = )2/с и температуропроводность )( = и/сро — близки друг к другу и к коэффициенту диффузии Ь/3. Положим комбинацию Рг =)гср/к с=- у/)(, называемую числом Прандтля, равной 3/4, В этом случае выражение в скобках в третьем из уравнеиа ний (7.3) превращается в полный дифференциал величины ю -)- —— 2 и уравнение принимает вид (.---"-"-) -3 Ь вЂ”."* (.-Ю ="+7 Написав интеграл этого линейного уравнения, мы увидим, что условию иа конечности величины в+ — при х = + ОЗ можно удовлетворить только, 2 считая ее не зависящей от х: иа /)2 21 + — -=~~+ — — ' 2 2 (7.5) Таким образом, при числе Прандтля Рг = 3/4 соотношение (7,5) выполняется не тольгго за фронтом волны (см.
(7.4)), но и в любой промежуточной точке х. Уравнение (7.5) дает кривую на плоскости р, )г, вдоль которой происходит превращение газа из начального состояния в конечное. Замечая, что в одноатомном газе, который мы будем рассматривать здесь, ю= 5 = — р)г, и переходя к безразмерным скорости или удельному объему йо Ч= Уе й найдем уравнение атой кривой: М2 1+ — (1 — Ч2) р 3 42) 2) 2 .6) ро Ч (4Ч1 — 1) Ч (7. ) Здесь Ч, относится к конечному состоянию за фронтом ударной волны: 1 5 ре 1 3 4сеР 4 4М2 (7.7) М = ///се — число Маха, се — скорость звука в начальном состоянии (сев= —.раг'2).
При выводе формул (7.6), (7.7) были использованы соот- 5 3 ношения, связываютцие величины по обе стороны фронта волны. Ударная адиабата в переменных р,/ре, Ч, имеет вид р, 4 — 2), ро 4Ч2 — 1 На рис. 7.2 изображены ударная адиабата и кривая, вдоль которой меняется состояние частицы в волне (а также характерная прямая, связывающая начальное и конечное состояния). *) Это уравнение аналогично интегралу Бернулли в теории стационарного течении. 365 ВЯЗКИЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ С помощью формулы (7.6) и первых двух уравнений (7.3) запишем дифференциальное уравнение, определяющее профили скорости и объема во фронте волны Ч (х): 5 р АЧ 3 Е«1) — — — Ч вЂ” = — (1 — Ч) (Ч вЂ” Ч1). (7.8) Будем для простоты считать коэффициент вязкости не зависящим от температуры и равным )т = Оо/оро/3 (от плотности коэффициент вязкости не зависит, так как )» Е/, а / 1/Е). Интеграл уравнения (7.8) содержит адднтивную постоянную в соответствии с произволом в выборе начала координат.
Помещая начало координат в точку перегиба профиля скорости (в «центр» волны) и принимая во внимание формулу (7.7), найдем для Ч (х) выражение: — Мт — тх Ч = ~ 1 Чт е м 1 (7 9) ( Ч Ч 1 ) ч 1 ( ) Ч Ч 1 ) Зная профиль скорости и =- /)Ч, уже легко определить профили и всех остальных величин. Так, для температуры по формуле (7.5) змеем т т 3 — =- 1 + — (1 — Ч»); давление выражается через Ч формулой (7.6); энтропия равна: Х вЂ” о — — ср1п — — А 1п — А = — ~ . р т р то,оо 1, Ет)" Из формулы (7.9) видно, что при х-т- — со т) -+- 1, а пРЯ х — ~ +со т) — ~ Чю пРичем приближение к начальному и конечному значениям происходит асимптотически, по зкспоненциальному закону. Все гидродинампческие величины в волне: скорость, плотность, давление, а также температура, монотонно изменяются от своих начальных до конечных аначений и асимптотически приближаются к ним при х — гсо х).
Энтропия же меняется немонотонно и внутри волны достигает максимума (что уже было показано в т 23 гл. 1). В этом легко убедиться, если преобразовать третье, энтропийное, уравнение (7.1) с помощью второго закона термодинамики, «интеграла Бернулли» (7.5) н второго из уравнений (7.1) ЫХ ГИй т Ыр'т Г Аи . Н 4 йи о'и 'т ОпТ вЂ” =- Ои ( — — р — /= Ои. ( — и — — т — — )» — +)тйи — / —— ттх = (, ах,Ь,/= '(, Их гх 3 Ь о'х и 4 Ли 4 Ли =- — и — — р — = — — ри —, «1х 3 Ах 3 их» ' Рнс.
7.2. Ударный переход А — В на р,у-диаграмме. Н вЂ” ударная аднабата. Точна, описывающая состояние внутри фронта волны, пробегает нз А з В по пунктирной кривой. Отсюда видно, что энтропия экстремальна в точке перегиба скорости, т. е. в «центре» волны. Возникновение максимума энтропии н волне связано с существованием теплопроводности.
Один из диссипативных процессов, вязкость, приводит только к возрастанию энтропии, пропорциональному (ити/т/х)». Благодаря же теплопроводности тепло необратимым *) Точки, где различные величины во фронте волны испытывают перегиб, но совпадают. СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ ИГЛ. УН образом перекачивается из более нагретых слоев газа в менее нагретые. При этом приращение энтропии частиц за счет теплопроводности в менее И8 Н2Т нагретых слоях, где — — — - ~ О, положительно, а в более нагретых Пх Нхз ИЯ ФТ слоях, где — — — ) О,— отрицательно.
Нх Пхх Убывание энтропии в более нагретых слоях газа ни в коей мере не противоречит второму закону термодинамики. Энтропия всего газа в целом или же отдельной частицы в результате всего процесса ударного сжатия повышается при переходе через ударный разрыв. Отдельный же слой газа, проходящего через волну, уже не представляет собой изолированной системы.
Энтропия его вначале растет, когда к нему поступает тепло благодаря теплопроводности и работе сил вязкости, а затем уменьшается, когда уход тепла за счет теплопроводности в сторону слоев газа, следующих за рассматриваемым. превышает приток за счет работы сил вязкости.
Определим ширину фронта, как и в з 23 гл. 1, условием Из формулы (7.9) видно, что ширина фронта по порядку величины равна В ударной волне малой амплитуды, когда М вЂ” 1 < 1,6 /э/(М вЂ” 1) в соответствии с результатами 5 23 гл. 1. Ширина волны прн этом может равняться многим пробегам молекул. В случае М = 2, изображенном на рис.
7.3, ширина фронта равна примерно трем пробегам см При М-+.Оэ 6 (э/М вЂ” >О, однако, если учесть переменность коэффициента вязкости во фронте волны (р (у — п/9; при М вЂ” «оэ за фронтом (с — и — й — «Оэ), то в пределе М вЂ” «Оэ ширина фронта оказывается конечной и порядка пробега. Когда ширина фронта становится порядка пробега, гидродннамическая теория теряет смысл, так как в основе ее лежит предположение о малости длины пробега по сравнению с расстояниями, на которых происходят значительные изменения гидродинамических параметров. Поэтому к достаточно сильным волнам теория не применима.
Физически ясно, что толщина скачка уплотнения в волне любой амплитуды не может стать меньше пробега, так как молекулам газа, набегающего на разрыв, необходимо сделать по крайней мере несколько соударений, чтобы рассеялся направленный импульс и кинетическая энергия направленного движения превратилась в кинетическую энергию хаотического движения (в тепло). В то же время толщина скачка уплотнения в случае сильной волны не может составлять много пробегов, так как в каждом соударенин молекулы набегающего потока теряют в среднем значительную долю своего импульса.
Задача о строении сильных скачков уплотнения должна рассматриваться на основе молекулярно-кинетической теории газов, поэтому многочисленные исследования, направленные на уточнение изложенной выше простой теории, учет зависимости транспортных коэффициентов от температуры, выяснение влияния на структуру фронта числа Прандтля и т.
д. (4 — 13) не вносят ничего принципиально нового по сравнению Вязкий склчок уплотнения с рассмотренным частным случаем, и в лучшем случае представляют интерес для волн слабой интенсивности *). И. Е. Тамм [100) и, независимо, Мотт-Смит [16) применили кинетическое уравнение Больцмана к задаче о структуре скачка уплотнения. Приближеняое решение уравнения Больцмана в области скачка строится в виде суперпознции двух максвелловскнх распределений, соответствующих температурам н макроскопнческим скоростям в начальном и конечном У8 и 8 х 4 -8 УУ 8 4 -8 -4 д 4 8 а гз Рнс.
7.3. Распределения: а) скорости; б) давления; з) энтропии в вяакои скачке уплотнения с числом Маха М = 2 в газе с показателем адиабаты у = 7 )5 и коэффициеупоы вязкости, не зависящим от температуры. но оои абенжо отложена иоорлината, иаиереннаи и длинах пробега иолеиул а неаозиуженнои газе Уграеиии азаты иа 13)Ь состояниях. Относительный вес обеих функций меняется на протяжении волны от 0 до 1. Толщина фронта при неограниченном возрастании амплитуды ударной волны стремится к конечному пределу.
По расчетам Сакураи [17 [, который несколько усовершенствовал методику Мотт-Смита, в модели твердых шаров для взаимодействия молекул ширины скачков уплотнения'е), измеренные в длинах свободного пробега при начальных условиях, е) Попытка уточнения гидродинамического приближения путем учета вторых производных в выражениях для членов переноса (так называемое приближение Барнетта), предпринятая Цоллероы [14), несколько уточнлет результаты для слабых воли и, ло существу, лишь указывает пределы применимости гидродинамической теории.
'ПРи амплитУде волны Р,УРо — — 1,5 толщина волны, по ЦоллеРУ, Равна 17 лРобегам, а лри рг)ро — — 4 — 6 пробегам. Ширины фронта слабых ударных волн е одноатомных газах измерялись методом отражения света в работах Хорвига и др. [15) (см. 1 5 гл. 1т'). Ширина оказалась равной 30, 19, 13 пробегам для чисел Маха М = 1,1; 1,5; 2,5 соответственно.
Расчеты Цоллера дают неплохое согласие с этими Результатами. См. также [56), ее) 1Пирива фронта Ь определяется следующим образом. Если Ун и УЭ вЂ” функции распределения молекул н начальном и конечном состояниих, то для функции распределения н промежуточной точке волны х теория дает У = т ( — х) )е + т (х) Уб, причем 1К 2хк т (х) = — ( 1+ 1Ь вЂ” ) . 6 1гл. Ун СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ равны: б/1а = 2,11; 1,68; 1,46; 1,42 при числах Маха, равных М = 2,5; 4; 10; со соответственно. Отметим еще несколько работ, в которых развивается метод МоттСмита н скачок уплотнения рассматривается на основе уравнения Больцмана [52 — 55).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
