Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Полный коэффициент поглощения света частоты» тогда равен 248 поглощении и нспускан1«к излучинил в газах игл осцилляторами с частотой то, равно ~ 0 т дусЖо,,/=(/тсЛ/ ~ отсу о о (индекс /с опущен). Поглощение на один атом характеризуется величиной, получаемой путем интегрирования сечения (5.64).
Для одной линии интеграл от сечения по частоте, т. е. площадь линии, равен / ~ атс(т =-- -' — /--. 2,64 10 «/ смт.сен-'. о (5,67) Это есть константа, зависящая только от числа осцилляторов / и не зависящая от ш««рины линии. Поэтому, если линия уп«ирена, например, за счет столкновений, то эффективное сечение теперь будет меньше, чем у линии с естественной шириной. Поглощение света осцилляторов зависит от частоты точно так же, как и излучение (ср. формулы (5.61) и (5.64)). Это находится в соответствии с принципом детального равновесия, выполнение которого легко проверить путем непосредственного вычисления *).
й 10. Квантовая теория спектральных линий. Силы осцилляторов где А„„сея-т — вероятность спонтанного перехода и -ь и', так называемый коэффтщиент Эйнштейна для испускания. Квантовая механика дает для скорости излучения величину 64п« твв о = йт„„Асс. = --." — —,.—, «4 ~'« (5.60) где ~ Ы ~ — матричный элемент дипольного момента.
Выражение (5.69) очень похоже на классическое выражение (5.58); разшща состоит лишь е) тя Нт = Г/,с а то,; это соотношение удовлетвсрнется, если подставить в качестве И" н Г/, термодинамически равновесные значения энергии сскнллятора (трехмерного) я плотности нааучевня, либо по нласснчесной теории: И'= З»Т, Г/, =. = "спттИТ/се, либо по квантовой. Рассмотрим излучение и поглощение света с квантовомеханической точки зрения.
Между результатами квантовой и классической теорий ил«оется глубокий параллелизм. В нулевом приближении квантовои теории атома, соответствующем стационарным состояниям, возможны только строго определенные уровни энергии атома (аналогично постоянству энергии незатухающих колебаний классического осциллятора). В следующем приближении появляется возможность переходов между энергетическими состояниями атома. В силу нестационарности состояний, по принципу неопределенности уровни энергии (кроме основного) оказываются размытыми на величпну ЛЕ й/ЛС где Лг — «время жизни» атома в рассматриваемом состоянии, равное обратной величине вероятности спонтанных переходов на более низкие уровни.
Но размытие уровней приводит и к размытию линий на величину порядка ЛУ Л/7//«1/ЛС т. е. порядка постоянной «затухания» 1/Лт, как и в классической теории. Ширина и-го энергетического уровня равна, в соответствии со сказанным,. сумме вероятностей переходов на все более низкие уровни, Ри = Х Асс ~ (5.68) 1 гег квантовая ткория спвктгяльных линий. силы осцилляторов 249 в замене среднего квадрата дипольного момента удвоенным квадратом матричного элоиента того же момента.
Численные значения вероятности излучения Ая„имеют такой же порядок, что и классическая «вероятность», т. е. постоянная затухания у. Матричный злемевт ~ б1, вычисляется для перехода между двумя вполне определенными квантовыми состояниями. В случае вырождения энергетических уровней можно интересоваться средней вероятностью перехода с одного уровня на другой. Для этого ~б2~т следует просуммировать Я 4 Зе,у Е, ' — ( б б чисел), соответствующих уровням я, и', то в общем случае вероятность перехода между уровнями ость гбсб (5. 69') где д„— статистический вес я-го уровня. Можно ге интересоваться переходами между определенными группами состояний, принадлежащих данным Ркс. 5.9. Схема уровней уровням; например, в случае атома водорода — — атома водорода. вероятностями переходов и, г — и я', г' (г — орбитальное квантовое число).
В этом случае суммировать в (5.69') следует только по магнитньгм числам т, т' (соответственно и яя заменяется на д„г). Таблица 53 Вероятности переходов в атоме водорода в единицах 10е сек г Время >ииеии, !О-б бек Коисяиоо. состояние Исяояяое состояиие Сумма 0,16 0,21 16 0,54 1,56 1,02 6,25 4,69 2б ! 2р 2 ! 0 6,25 4,69 0,063 1.86 0,64 0,98 яр гк Среднее яр яб яр Среднее 0,063 0,22 0,64 0,43 Зе Зр Збг 3 1,64 0,55 ") Этв данные взяты аа книги Бете и Солпвтера [5], В таблице 5.3 приведены вероятности некоторых переходов в атоме водорода *) (схему уровней см.
па рис. 2.2 и 5.9). Зная коэффициенты вероятности А„„, легко подсчитать интенсивности соответствующих ливий испускания. Именно, если гтг„— число атомов в 1 саге, пребывающих в п-м возбужденном состоянии, которое можно вычислять по формуле Вольцмана, то энергия, излучаемая в линии э„„в 1 сме в 1 сек, равна Л'„А„„йу„„. Принцип детального равновесия устанавливает связь между вероятностями поглощения и испускания света для данного перехода п ~ ~гг . Знергия, поглощаемая в 1 сек в 1 слге атомами, находящимися в состоянии 250 ПОГЛОЩКНИК И ИСПУСКАНИИ ИЗЛУЧИНИЯ В ГАЗАХ 1ГЛ. Ч л' с переходом их в и-е состояние, равна (7«с»(т отп'а-да' = )иа'(7»с ~ стаса»т = )па'(7»сйтаа Ва'а~ где о,„„— эффективное сечение поглощении частоты т в пределах данного перехода и'-» п, а В„„— коэффициент„характеризующий полное поглощение в данной линии (так называемый коэффициент Эйнштейна для поглощения).
Он пропорционален «площадка линии 1 В„„= — 1 от„„дт. (5. 70) Умножая скорость поглотцения на (1 — е-ат~ат) для того, чтобы учесть вынужденное непускание (см. 8 4 гл. 11), приравнивая полученное выражение скорости испускания и подставляя плотность излучения 5тт по формуле Планка, а число атомов Л'„— по формуле Больцмана, получим связь коэффициентов Эннштейна: аа Вас=, — Аае. зньтва Ла Обычно принято характеризовать поглощательную способность атома в данной линии т„„, определяемую площадью линии ~ о,„ас(т, числом классических осцилляторов с собственной частотой т„„, которые дали бы такой же эффект, что и рассматриваемый атом. Это число 1пос„„„ называется силой осциллятора для поглощения и теперь уже не является целым. Сравнивая площади линии по формулам (5.70) и (5.67) и имея в виду (5.60), найдем связь между силой осциллятора и коэффициентом Эйнштейна, которая, в сущности, является определением попятив силы осциллятора: тс » нота а'а — э»»таа'Ва'а.
я«е (5. 72) Наряду с (аетл„„вводится отрицательная сила осциллятора для излучения (переход и — »- л') по формуле Ь'а .4аа. *) »кзл аа' = »посла'а = аа а« (последнее равенство получено из (5.72) с помощью (5.71)). Силы осциллятора можно выразить непосредственно через матричные элементы дипольного момента. При помощи (5.73), (5.69') и (5.60) найдем 8язттаа, йе.~ „„„„„= — д„)кзл„а = 8 а~,"" »ч (и', а')«й)п, а)«.
(5.7Т) а,а' Как видим, величины д„(„„, где первый индекс у ) соответствует начальному уровню, для излучения и поглощения одинаковы и, следовательно, симметричны относительно перестановки чисел, характеризующих начальный и конечный уровни. *) Заметим, что число 1 представляет собой среднюю силу осниллятора, рассчитанную на одну степень свободы электрона. Полная сила оснпллятора втрое больше и сооткетстаин с тем, что электрон е атоме обладает тремя степенями свободы. Полная сила осциллятора для иалучения 13)а а ~ = А„сс у предстаеляет собою отношение квантовой «постоянной затухания» (т.
е. вероятности перехода с1„„) . к классической т. 4 10] НВАнтОВАЯ теОРиЯ спектРАльных линий. силы ОсциллЯтОРОВ 251 В дальнейшем мы всегда будем пользоваться положительными силами осциллятора для поглощения, опуская при этом знак апогл» и обозначая первым индексом начальное состояние. Что касается распределения поглощения по частоте в пределах линии, то квантовая теория приводит к такой же зависимости вероятности поглощения кванта от частоты, что и классическая формула для сечения о,.
Нормируя соответствующим образом эту вероятность, можно записать квантовую формулу для сечения поглощения в виде, аналогичном классической формуле (5.64) (переставим индексы п и и', т. е. будем обозначать нижнее состояние, из которого совершается переход с поглощением кванта, через и: /„„, и-»- п', Е„) Е„): ,2 Гии.
(5.74) 4л Если подставить сюда значение /„„по формуле (5.73), воспользовавшись выражением для у, и учесть, что с/ч = Х, сечение можно записать и виде 22 Гии, отии' б 2 ' и'и +(, 4л (Гии,/4л]2 тии' и'ах -(4 — х ]2.~. (Г /4л)2 где сечение в центре линии: 22 йи Аи,и Пхии' а~ах = 2л Г„, Гии, Ширина линии (естественная) в квантовой теории складывается из суммарных вероятностей переходов (5.68): Г„„= Г, + Г„*).
В соответствии с определениями силы осциллятора и коэффициента Эйнштейна В„„(5.72), (5.70), площадь линии равна о,ии с/ч = — '"'' /ии = 2,65.10 '/ии см'.сек '. Она совершенно не зависит от ширины нинин Г„„, в которую при наличии столкновений включается и член 2/тою Это представляется весьма естественным, так как площадь линии принципом детального равновесия однозначно связывается с вероятностью спонтанного испускания, которая, разумеется, не может зависеть от таких внешних причин, как столкновения атомов, и определяется только строением самого атома. Обычно в реальном газе существует ряд причин, по которым спектральные линии расширяются: столкновения частиц, доплеровский эффект, штарк-эффект. Так, уширение за счет столкновений добавляет к естественной ширине линии у величину, равную удвоенной вероятности столкновений у„= 2/тою Доплеровское уширение равно примерно Гхт = чг/с, где Р— скорость теплового движения.
Мы здесь на этом вопросе останавливаться Ре будем; см. ИО, 53, 54!. ") В ширины уровней Г„, Г, вкчючаются также вероятности, соответствующие вынужденному испусканию. Эти члены пропорциональны плотности излучения и существенны только при достаточно больших плотностях. 252 [гл, х. ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ $11. Спектр поглощения водородоподобных атомов. Замечания о влиянии линий на росселандов пробег 'Щ(Щел- и=« л-д а=в Пусть на газ из водородоподобных атомов (в частности, на атомарный водород) падает извне свет с непрерывным спектром, в котором представлены все частоты. Рассмотрим, какие из этих частот будут поглощаться атомами, пребывающими в определенном, и-м, состоянии, и какова интенсивность поглощения. Атомы селективно поглощают частоты у„„, соответствующие переходам электрона с и-го уровня на более высокие возбужденные уровни и' ) и. Имея в виду формулу (5.25) для энергии уровня, найдем снязь этих частот с квантовыми числами и и и', так называемую сериальную формулу Бальмерас ГНЕ» « -г-(, -' е а — — (5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
