Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В квантовой теории показывается, что полная вероятность испускания данных квантов пропорциональна величине 1 + и, где к — число фотонов с определенным направлением поляризации, находящихся в той же фазовой ячейке, в которую попадает испущенный квант. Это число равно и = сэ/,/2/сэз е). Таким образом, полное количество излучения, испускаемого в 1 сек в 1 см' в интервале с(у с(1с, равно сз /тс(ус((с (1+ „' Ут) = — полное непускание в 1 сек в 1 смз. (2.19) Первое слагаемое в скобках соответствует спонтанному испусканию, а второе — вынужденному.
В состоянии термодинамического равновесия непускание и поглощение квантов данных частоты и направления в точности компенсируют друг друга, так что выражения (2.18) и (2.19) следует приравнять, причем интенсивность излучения 1 ааменить при этом равновесной величиной с' р. Принимая во внимание формулу (2 11) для равновесной интенсивности, найдем, что отношение лучеиспускательной способности любого вещества к его коэффициенту поглощения есть уннверсальгйая функция частоты и температуры: Лв — е /тр 2йэз (2. 20) х сэ сз т+ 2Ь э /.Р Это соотношение представляет собой одну из форм закона Кирхгофа.
Формулу (2.20) удобно переписать в виде /„= 1„эх„(1.— е "' ). Испускательная способность во всех направлениях равна ат ./„= Йл/„= сь/тэх, (1 — е "' ). (2.22) ") Фазовый объем, соответствующий элементу с/т с/П сг, в котором 'находится / от сэс сг квантов, есть с/р ог, где ор — элемеят объема в пространстве импульсов. Поскольку импульс кванта равен р = — /стй/с, ср = рс с/р сэс= Ьзгэ с/т сэс/сэ.
Число фазовых ячеек в элементе фазового пространства ср ог равно стр с/г/Ьэ и, следовательно, число фотонов в одной ячейке равно / ст с/П сг/сэ/с/р с/г =- ст//тэ = сэ/ /Ьт'. Число фотонов с определенным направлением поляризации равно половине этого числа, т. е. сэ/с/2йэз. 107 Вынуждвнное испъсканив Закон Кирхгофа представляет собой выражение общего принципа детального равновесия применительно к процессам испускания и поглощения света. Он позволяет вычислять лучеиспускательную способность вещества, если известен его коэффициент поглощения (и наоборот). Существование процессов вынужденного испускания, т.
е. таких переходов возбужденного атома, вероятность которых зависит от числа «частиц» — фотонов, уже имеющихся в конечном состоянии системы атом плюс фотон, характерно для процессов с участием фотонов — «частиц», подчиняющихся квантовой статистике Бозе. Именно благодаря существованию таких процессов функция распределения фотонного газа отличается от функции распределения газа, подчиняющегося классической статистике Больцмана, где число частиц с энергией е пропорционально е-«/"г, а не (е»!»т — 1)-«, как для фотонов (е =- Ьр).
Чтобы пояснить это положение, рассмотрим простейший случай, когда атом обладает двумя энергетическими уровнями, е, и е» (е» ) е,), и переход из верхнего энергетического состояния в вия«нее сопровождается испусканием кванта Ьр = ез — е„а переход из нижнего в верхнее — поглощением кванта Ьр. Вероятность поглощения, т. е.
х», пропорциональна числу атомов в нижнем энергетическом состоянии, которое по закону Больцмана пропорционально е-«ь ат. Вероятность самопроизвольного испускания 7' пропорциональна числу атомов в верхнем энергетическом состоянии, т. е. е-«Ыат. Предположим, что вынужденного испускания не существует. Тогда в равновесии число актов самопроизвольного испускания квантов Ьр было бы равно числу актов поглощения, т.
е. вместо формул (2.20) или (2.21) имели бы место равенства )» ху — 1»р 1» — 7»рвы (2.23) по 7' — е-«»у"т к е-»»~"т так что «« — «1 »» ~' = 1,р — — сопз$ е "т = сопз$. е»т . к., «»-»« »р «21 =сопзВ е "' =сопз1 е 2йр» откуда и следует формула Плавка для интенсивности у,р (при сопз1= Из проведенного рассуждения следует, что роль вынужденного испускания по сравнению с самопроизвольным в условиях равновесия стремится к нулю при Ьр(ЬТ -~- со, т. е.
в вяновской области спектра. Иначе говоря, для интенсивности равновесного излучения, или, что то же самое, для функции распределения квантов мы получили бы закон Больцмаиа, как и для «обычных» частиц. На самом деле, закон Больцмана справедлив только для больших квантов Ьр » ЬТ в виновской области. Только с учетом процессов вынужденного испускания рассмотрение баланса испускания и поглощения квантов приводит к формуле Планка для функции распределения фотонов.
В нашем примере атома с двумя энергетическими уровнями мы получим при этом 108 теплОВОе излУчение и лУчистый теплоовмен в сгеде игл. ы Это видно и непосредственно из формулы (2.19), если учесть, что при равновесии в пределе ЛУЯТ-~- сс. ьт Тт=Ттр е "т -+О. Наоборот, в рэлей-джинсовской области спектра, где Ьт ~ ЬТ, относительная роль вынужденного испускания велика: в формуле (2.19) 1+ —, Т,э — — 1+ „-1+ —, сз ьт , ьт так что отношение вероятностей вынужденного и спонтанного испусканий равно ЬТ/Ьт » 1.
Следует отметить, что в случае, когда поле излучения неравновесно, нзлонеенные соображения о сравнительной роли самопроизвольного и вынужденного испусканий, вообще говоря, несправедливы, так как вынужденное испускание пропорционально фактической интенсивности излучения, которая в отсутствие равновесия может быть произвольной. 5 4а. Выиужденное излучение е классической и квантовой теориях и лазерный эффект Явление вынужденного излучения в последние годы привлекает большое внимание потому, что оно лежит в основе действия мазеров и лазеров.
Для того чтобы пояснить физический смысл этого явления, остановимся кратно на его классической трактовке. Как известно, в классике излучающий атом представляется упруго связанным электроном— гармоническим осциллятором. Пусть на осциллятор действует вынуждающая сила — электрическое поле световой волны, причем частота волны совпадает с собственной частотой осцнллятора. Коли в начальный момент осциллятор покоился, то под действием поля осциллятор начнет реаонансно раскачиваться, амплитуда колебаний будет возрастать е, а энергия Ее.
Однако если в начальеый момент осциллятор обладал определенной энергией, то сила, действующая с резонансной частотой, может раскачивать осциллятор еще сильнее, а может и, наоборот, гасить его колебания, так что осциллятор будет терять энергию. Это зависит от соотношения фаз колебания и переменной силы. Подчеркнем прн этом, что для отбора энергии от осциллятора резонансный характер силы также необходим, как и для раскачки осциллятора.
В этом, классическом по существу явлении резонансного отбора энергии от осциллятора и лежит основа для понимания индуцированного излучения. Осциллятор, обладающий энергией и помещенный в поле световой волны в соответствующей фазе, будет отдавать свою энергию, которая пойдет именно на усиление проходящей световой волны; такой осциллятор будет увеличивать энергию когерентной волны.
На классическом языке можно сказать, что электрическое поле осциллятора Е, складывается с полем волны Ее. Поле осциллятора соответствующим образом распределено по углам. Но поток энергии пропорционален квадрату поля. Поэтому поток энергии осциллятора в направлении проходящей волны пропорционален Е, Ее н тем больше, чем больше Ее; этот результат соответствует тому, что интенсивность индуцированного иалучения растет с увеличением интенсивности вызывающей его волны.
5 зэ1 вынуждвннов излучении в кллссич. и квлптовон твогиях 109 Однако в этой классической картине есть изъян, который и приводит к неправильному виду формул. В классической теории совокупность осцилляторов с произвольными фазами в среднем всегда больше поглощает энергии, чем индуцировано испускает ее. Правильные результаты дает только квантовомеханическое рассмотрение вопроса. Обратимся к квантовой трактовке воздействия на гармонический осциллятор.
Чрезвычайно важен тот факт, что энергетические уровни гармонического осцнллятора находятся друг от друга на одинаковом расстоянии (равном Ьт, где т — собственная частота). Осциллятор, находящийся на и-м уровне, под действием резонансной силы может перейти и на (и + 1)-й и на (и — 1)-й уровни. Прн этом переход в верхнее (и + 1)-е состояние с поглощением энергии более вероятен, чем переход в нижнее (н — 1)-е состояние с отдачей энергии. Как известно из квантовой механики, отношение вероятностей этих переходов равно (и + 1)/и.
Это и означает, что совокупность гармонических осцилляторов в среднем поглощает свет. Для лазерного действия, т. е. для преобладания индуцированного излучения, решающую роль играет ангармоничность осциллятора, т. е. нарушение эквидистантности уровней, когда энергетические расстояния между соседними уровнями становятся неодинаковыми. Если расстояния между уровнями разные, то существует такан частота, которая является резонансной для перехода и -ь н — 1, но не резонансна для перехода и -ь н + 1.
Тогда ясно, что осциллятор в и-м состоянии под действием света частоты т будет только отдавать энергию, Это и есть та ситуация, когда при инверсной заселенности уровней (заполнен н-й уровень, но не заполнен (и — 1)-й) возникает отдача энергии, или отрицательное поглощение волны, т. е. возникают условия для генерации лазера э). Совокупность Л атомов с двумя уровнями каждый (и не взаимодействующих между собой, например атомов хрома в решетке рубина) тоже можно рассматривать как единую систему с зквидистантными уровяями: энергия Е„= и/зт, где п — число возбужденных атомов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
