Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В отличие от осциллятора, у которого спектр энергетических состояний не ограничен сверху (и статистический вес всех состояний одинаков), здесь спектр ограничен не только снизу (и = О, Е„= О), но и сверху: Е аз =Л"ят. Статистический вес различных п различен, максимум статистического веса достигается посередине, при п=Ф/2. Этим и объясняется тот факт, что у такой системы поглощение преобладает при и(/з"/2, а индуцированное излучение преобладает при и) Ф/2 ээ).
*) Любоцытно, что с вопросом о роли ангармоничиости мы вотречаемся при рассмотрении излучения электронов в магнитном поле. В нерелятизистском приближении электрон вращается с постоянной частотой. Этому соответствует тот факт, что квантовые уровни энергии поперечного движения злентрона в магнитном поле эквидистантны. Ни при каком распределении по энергии в магнитном поле в этом приближении не могут возникнуть отрицательный коэффициент поглощения и генерация когерентного света. я Учет релятивистских поправок создает отклонения от эквидистантности и одновременно появляется возможность таких энергетических распределений электронов, которые дают генерацию.
**) Укажем работу (9), в которой лазерный эффект рассматривается на основе полукласснческнх представлений и (10), где оопоставляются квантовая и полуклассическан точки арения. 110 теплОВОе излУчение и лУчистый теплоонмен В сведе игл. ы Как говорилось в начале этого параграфа, само понятие индуцированного излучения имеет вполне наглядный классический смысл.
Как и следовало ожидать, индуцированное излучение может быть полностью описано уравнениями Ньютона и Максвелла: недаром формула Рэлея — Джинса (2.12) для спектральной плотности в области низких частот не содержит постоянной Плавка, а ведь для квантового вывода формулы Рэлея — Джинса учет индуцированного излучения необходим, После открытия лазеров, приковавших внимание физиков к явлению индуцированного излучения, оказалось, что в терминах поглощения и индуцированного излучения удобно описывать ряд процессов. Замечательный пример представляет собой рассеяние электронов на стоячей световой волне.
Это явление было предсказано П. Л. Капицей и П. А. М. Дираком И11 более 30 лет назад. Монохроматнческая светован волна, отражаясь от зеркала, создает в пространстве периодически расположенные области, в которых электрическое поле мало (узлы) и в которых оно велико (пучности). Электроны должны рассеиваться под определенными <брэгговскими» углами так же, как электроны рассеиваются периодическим полем кристаллической решетки. Этот эффект удалось наблюдать !12! лишь в самое последнее время благодаря использованию мощного монохроматического светового импульса от лазера. Рассеяние электрона полем стоячей волны можно описать количественно в новых терминах как «индуцированный комптон-эффект». В самом деле, комптан-эффект есть процесс взаимодействия кванта у с электронам е: у+ е = у' + е'. При заданных значениях энергии н импульса кванта и электрона до рассеяния законы сохранения допускают любое направление (в системе центра инерции) кванта у' и электрона е' после рассеяния.
Таким образам, в обычных условиях камптон-эффекта получается статистическое распределение электронов по направлениям. Вернемся к рассеянию электрона на стоячей волне. Стоячая волна представляет собоп супер- позицию падающей у, и отраженной у, волн. Значит, комптоновское рассеяние может происходить: уг+е =э +уг, у, + е = е" + у,. Но при большой мощности светового потока в соответствии с законом индуцированного излучения появляется вероятность излучить квант, совпадающий с уже имеющимися квантами, т.
е. возможны процессы у, + е= ег+уз, уг+ е = ем+ уг которые естественно назвать ивдуцнрованным комптон-эффектом. Поскольку заданы направление и частота обоих квантов, т. е. их энергия и импульс (и до и после рассеяния), то полностью определено изменение направления электрона. Энергия электрона, очевидно, не изменяется. Более того, иа законов сохранения следует, что процесс возможен лишь прн определенном импульсе падающего электрона.
Таким образом, все закономерности дифракционного рассеяния необычайна наглядно получаются из представления об индуцированном комптон-эффекте. з ьз) ВынУждинное излУченин В клАссич. 11 кВАнтОВОЙ твогиях 111 В этом примере реализуется важный общий принцип: всякое воздействие на систему внешней периодической силы в терминах квантовой механики обязательно нужно рассматривать как совокупность процессов поглощения и индуцированного испускания системой соответствующих квантов энергии. Это относится н к аадачам, в которых внешнюю силу можно рассматривать как классическую: мы можем в этом случае игнорировать обратное воздействие системы на силу (в приведенном вьппе примере — воздействие электрона на поле стоячеи волны), Однако и при классическом понимании силы ее действие на квантовую систему надо — или можно — рассматривать как поглощение и испускание квантов е).
Классичность силы означает, что нндуцированное излучение квантов с частотой, заданной внешней силой, гораздо болыпе спонтанного иалучения любых других квантов, отличающихся по частоте, направлению или поляризации. При периодическом внешнем воздействии гамильтониан системы уже нельзя считать не зависящим от времени, однако он обладает свойством периодичности УХ (г) = Л (г + пТ), а значит, должны существовать и такие репгения, которые по истечении каждого периода действующей силы снова превращаются в такие же решения, умноженные на фааовый мнонитель гра (Г+ Т) = ааф (~), ~' ае ~ = 1, аь = е'оа.
Введем понятие квазиэнергии ез. аа = 2яеАТЯ, 4, (8+ лТ) = е'зз з т~ьзР (Г) Это понятие находится в таком же соотношении с энергией, как квази- импульс электрона в пространственно-периодической решетке и импульс электрона в собственном смысле. Таким образом, можно развить стройную теорию систем, находящихся под воздействием периодических внешних сил. Согласно сказанному выгпе это одновременно будет теорпой явлений поглощения и индуцированного испускании.
Второй пример применения понятия об нндуцированном излучении представлнет собой теория гармонического осцпллнтора. Хорошо известно, что гпирина спектральной линии, излучаемой при переходе из состояния А в состояние В, есть сумма ширин ГА и Гв общих этих состояний. Применительно к осциллятору, у которого матричный элемент перехода из и-го в (я — 1)-е состояние пропорционален )Тп, найдем Г„= йп, 'Г„, = й (п — 1). Отсюда следует вывод, что ширина линии, испускаемой при переходе из и-го в (и — '1)-е состояние, пропорциональна (2п — 1). Между телг в классической теории ширина линни, испускаемой гармоническим осцнллятором, не зависит от его амплитуды.
Интенсивность излучения пропорциональна квадрату амплитуды е'), следовательно, энергия осциллнтора убывает зкспоненцнально: Е е-т', *) Отметим работу Л. В. Келдыша (13), в которой используются точные волновые функции электрона в поле классической световой волны. зе) Следовательно, время, нужное для излучения одного кванта энергии, обратно пропорционально энергии самого осциллятора; вывод из величины матричного элемента, относящийся к вероятности излучения, не подвергается сомнению. 112 ткпловок нзлучвник н лтчистыи твплоовмкн в сгкдв (гл. ы амплитУда его колебаний также Убывает экспоненциально: х = асс-тцз )( Х соз 2ятг.
Разложение этого выражения в интеграл Фурье дает лоренцовскую форму линии (см. гл. т') !Ь у)'т 1 (т — то)з+(уоИя)з с шириной, не зависящей от амплитуды. Парадокс, заключающийся в кажущемся несогласии выводов классической и квантовой теорий для больших квантовых чисел, был замечен еще Вайсскопфом и Вигнером, а также Паули на рубеже 30-х годов (см. (14)).
В работе [14) показано, что парадокс связан со специфическим свойством гармонического осциллятора — с зквидистантностью его уровней, т. е. со строгим совпадением частот, излучаемых при переходах между любой парой соседних уровней. В (14) рассматриваются три состояния А, В, С, каскадно испускающие два кванта А ."~' В "ф С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
