Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Если эквндистангности нет: Ея — Ев ~= ~ Ев — Ес, то т, ~ тз и для линии т, получается обычный ответ: ее ширина пропорциональна Гя + Гв. Однако в случае зквидистантности (например, если С есть нижний нулевой,  — первый и А — второй уровни гармонического осцнллнтора) положение осложняется, испускание двух квантов, не отличающихся по частоте, может пойти и по второму каналу: Для вычисления вероятности всего процесса испускания двух квантов нужно слонсить амплитуды по обоим каналам; прн атом меняются ширина и1форма линии. По современной терминологии можно сказать, не различая номера (1-й, 2-й) квантов, что квант, испущенный при переходе А — з-В, вызывает индуцированное излучение при переходе  — э.
С*). Гармонический осциллятор в состоянии с большими квантовыми числами излучает каскад квантов„при этом роль индуцированного излучения по сравнению со спонтанным тем больше, чем больше средний номер состояния п. Здесь речь идет об излучении, индуцнрованном не внешним излучением, а собственным излучением осцнллятора. 'Только такое рассмотрение всего каскада с учетом индуцированного излучения приведет к результатам, согласующимся с классической теорией. В каждый данный момент состояние осцнллятора представляется суперпозицией многих возбужденных уровней.
Существенно такясе, что при индуцированных переходах получаются определенные фазовые соотношения между последовательными уровнями, состонние системы нельзя задать одними вероятностями разных уровней. Зто и естественно: в классической картине электрон локализован. Очевидно, что для описании локализованного электрона нужно взять суперпозицию некоторого числа собственных функций (притом тем большего числа, чем точнее локализация) н обязательно в определенных фазовых соотношениях. Является лн эта ситуация только логически-математическим курьезом, относящимся к идеализированному случаю строго гармонического осцнллятора? Каков критерий применения привычных представлений о дискретных квантовых скачках? Сами дискретные уровни можно рассматривать постольку, поскольку ширина уровня Г„, связанная со спонтанным излучением, с) Эту точку зрения подтверждает н тот факт, что согласно П4) спектр меняется, когда оба кванта нснущонм к одном нанразлоккк.
УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ 2 5) меньше расстояния между уровними, т. е. меньше частоты перехода ~уз зги-1 зоч Уз,а — 1— Л Критерий применимости обычных представлений' о ширине без учета индуцированного излучении имеет иной вид — ширина должна быть меныпе разности частот: ~л — ЕЕа-1+ ~гь-2 Г» ( Уз~ л 1 — Уи-11 о 2 -= — — —— Было бы весьма интересно экспериментально наблюдать эффекты «внутреннего» индуцированного излучения на высоких колебательных уровнях молекул. Приведенные примеры свидетельствуют о том, что понятие индуцированного излучения помогает по-новому интерпретировать многие факты и парадоксы; зто понвтне является неотъемлемой частью интерпретации квантовой механики. й б.
Уравнение переноса излучения Составим кинетическое уравнение для функции распределения квантов данной частоты. Поскольку эта функция с точностью до постоянного множителя Ьтс совпадает с интенсивностью излучения, можно писать уравнение прямо для интенсивности. В такой форме кинетическое уравнение обычно назы- Р вают уравнением переноса излучения.
Будем интересоваться излучением частоты Р в единичном интервале частот, рас- аЮ пространяющимся внутри единичного телесного угла в определенном направлении й, Рассмотрим баланс излучения в элементарном цилиндре с площадью основания до и высо- .8 той 122, расположенном в данной точке пространства таким образом, что направление зз Рис. 2.4.
Н зызодУ УРззнеиии переноса излучения. совпадает с образующеи цилиндра и перпендикулярно к его основаниям (рис. 2.4). За время Ж в левое основание втекает количество излучения, равное 1, (й, и, ~) езо 121. Из правого основания за тот же промежуток времени И вытекает количество излучения (1, + 151,) озо 121. Интенсивность 1, есть функция координат и времени. Приращение интенсивности пучка света прн переходе от левого основания к правому складывается нз локального приращения за время прохождения светом пути е(з и из приращения при переходе от координаты г к координате з + езз в данный момент времени, Изменение интенсивности пучка происходит вследствие испускании и поглощения света с рассматриваемыми характеристиками в нашем цилиндре.
(В соответствии с замечанием, сделанным в конце з 2, рассеянием света мы пренебрегаем.) Количество излучения, испущенного в цилиндре за времи Ю, согласно формуле (2.19) равно 1ч 1 1+ Оьча 1ч) ~з~зза Е~з 3 я. В. Зезьяоаич, ю. и, Райзер 114 тепловое излУчение и лУчястый ткплооьмен в сэедк сг>1 11 Поглощается в нем за то же время количество излучения х,1, сса с/» с/с. Составляя баланс и поделив полученное выражение на произведение дифференпиалов о>О с(» Ж, получим уравнение 1 д/с — ( — т+СЯр1 )=/ ( 1+ —, у1 / — / (2.24) Мы здесь заменили в левой части частную производную вдоль направления д1,/д» эквивалентным векторным выражением Я»1» Комбинация в скобках в левой части представляет собой просто «субстанциональную» производную от интенсивности по времени, т. е, производную по времени от интенсивности данного пакета квантов (ср, с уравнением движения в гидродинамике (1.6)).
Преобразуем правую часть уравнения (2.24), объединив вместе члены, отвечающие поглощению и вынужденному испусканию, поскольку они оба пропорциональны неизвестной функции координат и времени-- интенсивности излучения. Введем при этом в множитель перед 1, в члене вынужденного испускания вместо коэффициента излучения 1, его выражение через коэффициент поглощения (2.21), в которое подставим формулу (2.11) для равновесной интенсивности. Правая часть уравнения примет вид »т ) 1 (2.25) Отсюда видно, что вынул.
денное непускание можно трактовать как некое уменьшение поглощения: часть квантов как бы поглощается и тут ясе испускается снова с той л<е частотой и в том же направлении, причем вероятность этого «переизлучения» равна е — "к~лт. Физически такие акты «переизлучения» никак себя не проявляют и их можно вообще исключить яз рассмотрении, если считать, что коэффициент поглощения имеет несколько меньшую величину: х,', = х„(1 — е (2.26) Взаимодействие излучения с веществом можно представлять так, как будто существуют только спонтанное непускание и эффективное поглощение, описываемое коэффициентом х,'.
исправленным на вынужденное испускание. В новой трактовке закон Кирхгофа (2.21) приобретает форму сс» /» — — х,'1„», х,'=х»(1 — е»г). (2.27) Вводя зто выражение в правую часть уравнения переноса (2.24), запишем уравнение в следующей, окончательной форме: « аг, — — х+иу1, =; (1 — 1,). с дс (2.28) Это уравнение можно рассматривать как уравнение непрерывности для излучения данной частоты. Оно выражает закон сохранения энергии Проинтегрируем уравнение (2.28) по всем направлениям Я (по телесному углу).
Вспоминая определения плотности и потока излучения (2.1), (2.2), получим —,'-(-г(1УМ,=»Х((/>,— (/,).Ъ .,' . (229) »»] инткггальнык выважкння для интннсивности нзлгчвния 115 излучения и вполне аналогично уравнению энергии в гидродинамике, записанному в «дивергентной» форме (1.10). Уравнение переноса излучения (2.28) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных относительно интенсивности, как функции координат, времени и направления Т~ (г, ц Я) и описывает поле неравновесного излучения. Обычно термодинамнческое равновесие в самом веществе устанавливается весьма быстро, так что вещество можно считать термодинамически равновесным в каждой точке пространства и в каждый момент времени.
Состояние вещества при этом характеризуется двумя параметрами, например температурой н плотностью, Уравнение переноса излучения включает в себя величины, зависящие от рода и состояния вещества: коэффнциеят поглощения х', который зависит от свойств вещества, его температуры и плотности, и равновесную интенсивность Т,ю которая есть функция только температуры. Уравнение (2.28) описывает, в частности, и процесс установления равновесия излучения с веществом во времени. Представим себе неограниченную среду с постоянной плотностью, первоначально холодяую, так что излучения нет.
Пусть в начальный момент г = 0 вещество кмгновенно» было нагрето до постоянной температуры Т, которая затем поддерживается неизменной во времени. Посмотрим, как меняется со временем интенсивность излучения. Очевидно, пространственные градиенты в этом случае равны нулю, х' = сопе1, Т„р — — сопз1. Решение уравнения (2.28) в этом случае имеет вид 1 (1)=Х (1 — е ~') (2.30) т. е. интенсивность излучения асимптотически стремится к равновесной, причем время релаксации для установления равновесия излучения с веществом равно гр — — 1/сх~ = Ц/с=1„!(1 — г-ьтг"т) с. Например, при 1, = =.= 1 гм в максимуме планковского спектра йч = 2,8 йТ, ~р — — 3 10»ы сек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
