Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Одно таков уравнение уже есть: это — точное уравнение непрерывности (2.29), которое в квазистацнонарном случае гласит: (2.62) 6) т А, = слт (Птр — (1т). Второе соотношение, связывающее поток и плотность излучения и замыкающее систему уравнений, можно получить только приближенно. Уравнение (2.62) было найдено путем интегрирования уравнения переноса по углам. Умножим теперь уравнение переноса (2.34) на единичный вектор направления 44 и снова проинтегрируем по углам.
Замечая, что интеграл от члена л,'1,ю не зависящего от направления, обращается в нуль, и принимая во внимание определение потока (2.3), получим П.4)У1т ~((а = — лФ (2.63) В иаотропном поле излучения поток Ю, = ~ гл1,д(с обращается в нуль. Интеграл в левой части равенства при не зависящей от угла интенсивности 1 легко вычислить *): (2.64) «) Найдем ью компоненту векторного интеграла, заменяя векторный оператор 07 координатным выражением зге д/дал и имея в виду суммирование по дважды встречающимся индексам: аут дут Г дгт 4л 4л д1„с дгГ» 4)~4)а —,— егг:-- — й.
Г)а оГГ = — — ' б.я =-- — — '-' = э, з,~ ' =и*,'з '=з з, за*,' так пан ~ 1 л'Гг .= 4лг = с4Гт; отсюда и следует (2.64). 128 ткпловов излучинил и лучистыя твплоовмзп в с»иди [гл. и Равенство нулю этого выражения свидетельствует о том, что изотропия поля излучения свяаана с постоянством плотности в пространстве. Если поле излучения анизотропно, поток и интеграл (2.63) отличны от нуля. Однако в случае слабой анизотропии в первом приближении интеграл можно, по-прежнему, представить в форме (2.64), полагая слабо зависящую от углов интенсивность постоянной. Это дает приближенную связь потока с плотностью излучения (2.65) где 1,' = )/кт — длина пробега для поглощения излучения (исправленная на вынужденное испускание). Если разделить обе части равенства (2.65) на энергию кванта Ьм, получим связь потока квантов Х данной частоты с их плотностью М„ обычную для процесса диффузии частиц, Коэффициент «диффузии» квантов 1), аналогичен коэффициенту диффузии атомов или молекул; с — скорость «движения» квантов, 1' — их длина пробега.
Однако между диффузией атомов и «днффузией» квантов имеется существенное различие. Атом при столкновении не исчезает, а лишь меняет направление своего движения (произвольиым образом, в случае изотропного рассеяния); длина пробега, входящая в коэффициент диффузии, есть длина пробега по отношению к столкновениям. Квант же, пройдя в среднем расстояние 1,', поглощается веществом, и в условиях термодинамического равновесия вещества его энергия вследствие столкновений атомов, электронов и т.
д. распределяется в веществе в соответствии с законами статистического равновесия. В месте поглощения испускаются новые кванты разных частот и в произвольных направлениях. Рассматривая процесс «диффузии» квантов данной частоты, мы выделяем среди вновь рожденных только кванты той же самой частоты. Процесс идет так, как будто бы квант летел, поглотился, а затем снова «родился», причем после «рождения» с равной вероятностью может лететь в любом направлении, что и соответствует процессу изотропного рассеяния атомов при столкновениях *).
Так же как и при диффузии атомов, условием применимости диффузионного приближения является малость градиента плотности излучения. Последняя должна мало меняться на расстоянии порядка пробега излучения 1;. При небольших градиентах поле излучения почти изотропно, а это условие и было положено в основу вывода диффузионного уравнения (2.65). В самом деле, в данную точку кванты приходят в основном из области с размерами порядка пробега. Если плотность излучения в этой области почти постоянна, то кванты приходят в данную точку *) Если рассматривать перенос излучения с учетом рассеяния квантов, то при слабой аниэотропии по-прежнему получается диффузионное соотношение типа (2.65), в котором стоит длина пробега, сооткетствуэощая полному коэффициенту ослабления, равному сумме коэффициентов поглощения и рассеяния.
Если рассеяние аниэотропно, то так же, кан и при диффузии атомов, вместо коэффициента рассеяния появляется транспортный коэффициент х,(( — соэб), где соей — средшгй косинус угла рассеяния. ДИФФУЗИОННОБ ПРИВЛИЖБНИБ 429 т тат со всех сторон одинаково, что и приводит к изотропии поля излучения в ней. Вблизи же границы среды с пустотой плотность меняется сильно на расстоянии порядка пробега и анизотропия углового распределения квантов велика — кванты преимущественно летят из теда в сторону пустоты, так как из пустоты они не поступают.
Поэтому вблизи границы с пустотой диффузионное приближение может приводить к заметным оптибкам. Градиенты плотности малы и диффузионное з приближение справедливо в случае оптически толстых тел. Ясли х — характерный масштаб, на котором заметно меняется плотность излучения (х— порядка размеров тела), то диффузионный поток по порядку величины равен тгс Я, = — — Р1/ — — с1/,.
2 ч Х Чем болыпе оптическая толщина тела х/1;, тем меньше меняется плотность излучения на длине =4: ', ~ пробега (зто изменение порядка /ууИ вЂ” ' 6т,), х тем меньше поток о'„по сравнению с величиной граммы для распрсделе- 1/,с, и тем точнее диффузионное приближение. Бяя мятвяспвяостя яалуясли оптическая толщина тела порядка еди- чсяяяпоуглупряраавнх ницы, 1У/х 1 и 8 с1/ . В сдучае оптически степевях аякастреямя. тонкого тела 1ч/х 1, и поток, оцененный по величина интенсивности диффузионной формуле, должен был бы стать боль- Гсряатсгся ллйяся»адй~тсаасахара, пРоведенного кв ше, чем сП,. В деиствительности зто невоаможно пскгра.
длкаа стрелки ха- И СВИдЕтЕЛЬСтВуЕт ПрОСтО О НЕПрИМЕНИМОСтИ днф- Р;„","Рр~~~'„;~"~",ЯУ„";„ фУЭИОННОй ФОРМУЛЫ К ОПТИЧЕСКИ ТОНКИМ тЕЛаМ. Яалтчсвка всвссхслтчакх схсматвчаскя спясмввссся Поток о, никогда не может быть больше, равсясгвсм плсщадся,вссх чем с//,. Равенство о',=с(/, соответствует случаю, ФиГУР. когда все кванты летят строго в одном на- правлении, т. е. соответствует наиболее резко выраженной аниэотро- пии.
Величину ст/, иногда называют кинетическим потоком. Отношение потока к кинетическому о',/с//„ которое в рамках диффузионного при- ближения порядка обратной оптической толщины тела 1ч/х, является мерой анизотропии поля иалучения: при полной изотропии о',/с1/, = О, если все кванты летят в одном направлении Юч/сЕ7 = т. Отношение Я /с1/ всегда заключено в пределах 0( — (1. Зависимость потока Ю стт от степени анизотропин углового распределения излучения при данной плотности его схематически иллюстрируется полярной диаграммой для интенсивности (рис.
2.9). Площади всех фигур одинаковы и соответствуют плотности иалуче- ния, а длины стрелок соответствуют потокам. К одному и тому же потоку могут приводить и поля излучения разной плотности. Чем больше плот- ностытри данном потоке, тем меньше о,/с1/„тем изотропнее должно быть поле излучения. Уравнения диффузионного приближения (2.62), (2.65) представляют собой систему двух дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных функций координат: плотности и потока излучения.
К ним нужно присоединить граничные условия на границах сред с различными С я. В. Зельдович, Ю. П. Раваср «3О ТЕИЛОЕОЕ ИзЛУЧЕИИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБИЕН В СркдЕ (гл. ы оптическими свойствами (с различными «коэффициентами диффузии»). Иэ условия непрерывности интенсивности излучения следует непрерывность плотности и потока на границах раздела. Разрыв в плотности в диффузионном приближении (2.65) повлек бы эа собой бесконечность потока, а разрыв в потоке свидетельствовал бы о накоплении излучения, т. е. о нестационарности (см. уравнение (2,29)). Особого рассмотрения требует случай границы раздела среды с пустотой. Поскольку из пустоты кванты не поступают, поле излучения на границе с пустотой сильно анизотропно (все кванты летят только в сторону пустоты) и, строго говоря, диффузионное приближение здесь неприменимо.
Приближенное условие на границе можно написать, д исходя иэ следующего соображения. Предположим (и это для оптически толстых тел не очень далеко от истины), что излучение, выходящее с поверхности тела в полусфере, направленной в сторону пустоты, распределено по углам иэотропно; в другой полусфере интенсивность равна нулю: из пустоРвс. 2ЛО. Полярная двв- ты кванты не приходят (соответствующая полярная грамма для распределе- диаграмма показана на рис. 2.«0).
Получим тогда, ввя ввтевсввлоств ва что на границе с пустотой границе х = О тела с пустотой. сы (2.66) Пустота — слреве, орел»в ч— слева. причем поток направлен по внешней нормали к поверхности. Множитель $/2 появляется как средний косинус угла направлений движения квантов нри их изотропном распределении в полусфере л).
*) В самом деле, лр2 лч= ~ П1ч ~((2' л'ч — — ~ сов дуч (д) 2л в(л длд=2л1че- =л/ч, ( ч 2 ч полусфера 'о во л22 с(1ч= ~ 1чНЯ = ~ 2лшл 6 од|ч=йл1ч, полусфере 'о откуда в следует формула (2.66). Формула (2.66) формально вытекает в вв соотношений двффуввоввого првблвжеивя. Легко проверить, что к двффуввоввым ураввеввям (2.62), (2.65) првводвт следующее выражение для ивтевсвввоств: 1ч(И)= ( (+ — — ч ~= — ( (+Зсовд- — "' где д — угол между ваправленвем (2 в ваправлеввем потока Я .
Располагая ось х в квправлеввв потока, вычислим односторонние пороля в полажвтельвом в отрвцлтельном направлениях осв х. Получим с(1 Я си (2.67) (ввдно, что Еч = о + + Яч, клк в должно быть). Применяя втв формулы в границе тела с вакуумом (ось х плпрвллевл в сторону вакуума) в полагая, что односторонний с(1ч поток вв вакуума л = О, полу«вы Е = о е = — ч, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
