Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 39
Текст из файла (страница 39)
При (//х)'ы « 1, Т,е « Т. Эффективная температура скорее близка к температуре на поверхности. Лишь в случае не слишком толстых (оптически) тел эффективная температура может быты близка к средней температуре тела (температуры Тзе и Т могут быть близки и в том случае, когда в теле каким-то специальным образом поддерживается постоянная температура).
Рассмотрим теперь оптически тонкое тело, размеры которого малы по сравнению с некоторым средним пробегом квантов зз). Если оптическая толщина тела х// мала, кванты, рожденные в любой точке тела, почти беспрепятственно выходят наружу. По пути поглощается только доля квантов порядка х/1 « 1, Плотность излучения в теле составляет долю порядка х// от равновесной, т. е. значительно меньше равновесной (излучение существенно неравновесно). В самом деле, интенсивность излучения в какой-то точке равна согласно формуле (2.32) интегралу по лучу в пределах тела от плотности источников. Поскольку тело оптически тонкое, ~ и.', Ыг х //, << 1, и зкспоненциальный множитель з) о может менять знак нз протяжении тела, т.
е. отдельные объемы могут охлаждаться, з другие — нагреваться излучением. зз) Мм обозначаем средний пробег в случае оптически тонкого тела через 1г для того, чтобы не путать его с росселзндовым средним пробегом Д характерным для оптически толстого тела. Как мы увидим ниже, закон усреднения поглощения по спектру в случае оптически тонкого тела отличается от россзлзндовз. 144 ткпловок излхчкник н лхчистып типлоовмнн в сэнди 1гл. ц в формуле, учитывающий поглощение квантов, близок к единице. Тогда х интенсивность 1, — Х,ю а плотность излучения после интегрирования по углам У вЂ” У,р. Если проинтегрировать У по спектру, введя 1» некоторый средний пробег 1о получим, что У (хЛ,) Гр < Гр.
Количество энергии, поглощаемой в 1 см' в 1 сел, также составляет долю порядка хЛе от энергии, испускаемой в 1 село в 1 сек, так как обе величины относятся как С1Ую что видно из формулы для л1 (2.61). Таким образом, в случае оптически тонкого тела потеря энергии веществом в 1 смо в 1 сех сводится с точностью до малой величины порядка хЛ, к испускаемой энергии, т. е. к интегральной лучеиспускательной способности: У= ~ У,лЬ= с ~ х,У,ре(т. о 'о (2.101) Если вынести за знак интеграла среднее значение коэффициента поглощения, которое обоаначям через хо равное' по определению обратной величине среднего пробега 1„ получим для интегрального испускания: у = х,7'ре = -' ~— (2.102) Сопоставление формул (2.102) и (2.101) дает закон усреднения длины пробега для случая оптически тонкого тела: х' Сер ду хе — --- = =- ~ хил (и) ди. Ф о ) утолт .
о а $5 из М С, (и) =: л ее — 1 ' " = ау (2.10З) или через коэффициент истинного поглощения: 1 х, = — = ( х,С (и) л(и„ =лл —, о С;(и) =(1 — е ") С„(и) =-;е "ио. (2.105) (2 106) (2. 107) В отличие от оптически толстого тела, которое охлаждается излучением «с поверхности», охлаждение оптически тонкого тела имеет суще- Этот способ усреднения, как видим, отличается от росселандова: при росселандовом усреднении по формуле (2.77) усредняется пробег, т. е. обратная величина коэффициента поглощения, причем весовая функция пропорциональна проиаводной от функции Планка по температуре.
Интегральная лучеиспускательная способность характеризуется пробегом, который получается путем усреднения самого коэффициента поглощения с весом, пропорциональным функции Планка. Полная потеря энергии нагретым оптически тонким телом определяется интегралом от лучеиспускательной способности по объему тела: потеРи эне1'гии нАРРетОго телА нА излучении 145 $161 ственно объемный характер. Можно, конечно, и в этом случае ввести понятие потока излучения с поверхности и записать уравнение (2.107» в форме интеграла по поверхности, так как формула д = Йу Э сохраняет силу всегда. Однако в случае объемного охлаждения такая интерпретация потерь имеет чисто формальный характер, тогда как в случае оптически толстого тела вылетающие кванты на самом деле рождаются в поверхностном слое.
В соответствии с этим и спектр излучения оптически толстого тела в какой-то степени близок к планковскому спектру, соответствующему эффективной температуре Тзе или температуре у поверхности. Спектр излучения оптически тонкого тела может существенным образом отличаться от планковского, соответствующего температуре тела, если коэффициент поглощения вещества сильно зависит от частоты. Спектр в этом случае характеризуется частотной функцией х,Пер. Сопоставим лучистые потери энергии, отнесенные к единице объема тела (скорость охлаждения единицы объема), и отнесенные к единице поверхности (поток с поверхности) для случаев оптически толстого и оптически тонкого тела.
Если размеры тела порядка х, поверхность его порядка х', а объем — порядка хз. Для оптически толстого тела скорость охлаждения, отнесенная к поверхности, порядка — Я вЂ” -- ОТ' «ОТА, — «1, (2.108) а скорость охлаждения, отнесенная к ог)ъему, 0 Л $ з Т 3 '1ваТА аТе — — — ---.ОТ' ( — ) — — «вЂ” (,*) (2 109) В случае же оптически тонкого тела — — — ОТ « ОТ при — « 1, 0 Ххз х х ха хз 61 (2.110) 0 ОТА х .Т вЂ” — при — « 1. хз 61 (2.111) Сравним относительные лучистые потери двух тел примерно одинаковой средней температуры, одно из которых имеет болыпие размеры (оптически толстое), а другое — малые (оптически тонкое).
Плотности вещества, так же как и температуры, будем считать близкими, так что средние пробеги 1 и 11, которые есть функции только температуры и плотности вещества,— одного порядка (различие в способах усреднения по спектру, как правило, не вносит очень болыпих численных различий в величины пробегов; ! и 11 обычно различаются не более, чем в несколько раз). Из соотношений (2.108) и (2.110) видно, что в обоих случаях потери, отнесенные к поверхности, т.
е. потоки с поверхности, меныпе ОТ4. Лишь тело, размеры которого порядка пробега (оптическая толщина порядка единицы) х 1 11, испускает с поверхности поток излучения, соответствующий абсолютно черному телу с температурой порядка средней температуры тела. Что же касается потерь, отнесенных к объему, или, что то же самое, к массе, то в случае оптически толстого тела массовая скорость охлаждения гораздо меныпе, чем в случае оптически тонкого, для которого она 10 я Б. зельдович, Ю. П. Райзер 146 тепловое излгчение и лУчнстый теплоовмен в сРеде ггл. 11 порядка средней по объему интегральной лучеиспускательной способности Х СТ«111 и не зависит от размеров (в силу объемного характера излучения).
Физическая причина этого ясна: кванты, испущенные внутри оптически толстого тела, «заперты» в теле и не в состоянии выйти наружу, поглощаясь по пути внутри тела. з 17. Уравнения гидродннамики о учетом энергии н давления излучения и лучистого теплообмена В 3 9 было показано, как следует учитывать взаимодействие излуче- ния с веществом, которое сводится к испусканию и поглощению света. При этом предполагалось, что энергия и давление излучения малы по сравнению с энергией и давлением вещества. При очень высоких температурах или в сильно разреженном газе (но при больших размерах газового тела, ббльших длины пробега излу- чения) пренебрегать энергией и давлением излучения нельзя.
Довольно очевидно, что в случае локального равновесия излучения с веществом, «аТ« о» 4 аТ« когда С1 = ТТ = †- а давление излучения р = — = -- †., в уравс 3 3 с пениях гидродинамики следует везде к внутренней энергии н давле- нию вещества добавить энергшо и давление излучения, а также ввести член лучистой теплопроводности. Покажем, как этот в1«вод следует из общих уравнений, описывающих систему: вещество плюс излучение. Для того чтобы записать в полной форме уравнения, выражающие законы сохранения импульса и энергии системы, состоящей из вещества и излучения (в общем случае неравновесного), удобно исходить ез дивер- гентной формы уравнений, эквивалентных уравнениям «непрерывности» для соответствующих величин.
Для движения идеального газа без учета излучения эти уравнения были сформулированы в гл. 1 (см. формулы (1.7), (1.10)). Уравнения для системы вещество полюс излучение легко записать путем непосредственного обобщения уравнений (1.7), (1.10) (заметем, что мы рассматриваем только нерелятивистскне движения). Именно, к плот- ности импульса вещества добавим плотность импульса излучения «7, а к тензору плотности потока импульса вещества П;» — тензор плотности потока импульса излучения Тна Как нзвестно, последняя велечина эквивалентна тензору максвелловских напряжений электромагннтного поля.
Точно так же к плотности энергии вещества добавим плотность энергии излучения б1, а к плотности потока энергии — поток энергии излучения Я, представляющий собой вектор Пойнтннга (импульс излучения связан с вектором Пойнтинга соотношением 17 = Я(с»). Получим таким образом уравнения импульса и энергии системы 7 (еи1 — , 'С1)+- — (П11-'-Т~») =О, д, д (2.112) д (Я~~ 2 +ТТ)+д ~Я~~( + + 2) ' Я~~ =О. (2.113) Уравнение непрерывности остается, очевидно„неизменным, так как излучение «не обладает» массой *), до д д1 дз» вЂ” + — (еи ) = о. «) Если с1 — е ~( Ос«. 147 учет энеРГии и давления излучения Уравнения (2.112) и (2.113), сформулированные выше путем простого обобщения уравнений гидродинамики и имеющие ясный физический смысл, можно получить и строгим формальным путем, исходя из уравнения сохранения, записанного для четырехмерного тензора энергии— импульса системы вещество полюс излучение, если в слагаемом тензора, относящемся к веществу, перейти к нерелятивистскому приближению (мы не будем здесь проделывать этот весьма элементарный вывод).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
