Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 41
Текст из файла (страница 41)
д. и производя несложные преобразования, найдем 111 ~ [(Ж (2 ) и,) е1"" 1(т] ](Ж (т') и,) е — гв"' с(т'] —, +...; *) Мы благодарны А. С. Конпанейцу аа обсуждеане атого вопроса. з !83 число кВАнтОВ кАк инВАРНАнт клАссического поля 151 к атому интегралу добавляются аналогичные члены с (Хззз), (Нзз,), (.Бн ). Это выражение можно записать как один интеграл: 1з' — ~ ~ ~ ((Х(з') зз,) (Х(з") и,)+ +(Х(з) вз) (Х(з") ззз)] еза( — '>сЬ" гЬ вЂ” „+член с Н. (2.122) Из условий йчХ=О, йчН'=0 следует, что волны поперечные, т. е. величины Еьз= ) (Хззз) е — '"'сЬ и НА, равны нулю (ззз — — й/й — единичный вектор в направлении гс). Значит, формула (2.122) не изменится, если добавить к ней равную нулю величину (Х(з') ззз) (Х(з") ззз) е™О' ") дт дз*' — . , аа Но после добавления такой величины выражение в квадратных скоб- ках (2.122) примет вид скалярного произведения (Х(з') и,) (.Е(з") и,)+...
= Х(з') Х(з"), так как ззи зз„ззз образуют три перпендикулярных направления. В резуль- тате получим )з' ~ ~ ~ Е(з') Е(з")сьгг1т'езь< — и — -(-член с Ы. , ла, Вычисляя интеграл ~ е'ь< — Ч вЂ” „, получим формулу (2.121), что и дока'ь зывает сделанное выше утверждение о том, что выражение (2.121) про- порционально числу квантов в поле. Наиболее интересен тот факт, что зз' написано как двойной инте- грал по объему при данном г = сопз$. При лоренц-преобразовании .Е и Н'меняются; кроме того, нужно перейти к другому объему з' =- сопз$ (к другой гиперповерхности в четырехмерном пространстве Минков- ского).
Непосредственное доказательство того, что выражение У является инвариантом, весьма затруднительно. Поскольку 1 и 1' не совпадают, нужно использовать уравнения Максвелла для того, чтобы перейти от Х и Н' в объеме 1 =- сопзь к Х' и Н' в объеме Г' =сопз$. Однако реля- тивистская инварнантность (2.121) в действительности следует именно из того факта, что полное число квантов — число частиц во всем объеме, очевидно, является релятивистским инвариантом.
Существенно при атом, что рассматривается свободное поле без зарядов, в котором кванты не ро'кдаются и не поглощаются. ГЛАВА !П ТЕРМОДИИАЫИг?ЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ С ГАЗ ИЗ НЕВЗАИМОДЕИСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ в 1. Идеальный газ с постоянной теплоемкостью и неизменным числом частиц Во многих реальных процессах макроскопические параметры, характеризующие состояние газа, скажем, плотность о, и удельная внутренняя энергия е или температура Т меняются достаточно медленно по сравнению со скоростями релаксационных процессов, приводящих к установлению термодииамического равновесия. В таких условиях частица газа в каждый момент времени пребывает в состоянии, очень близком к термодинамически равновесному, соответствующему мгновенным значениям макроскопических параметров.
Исключение составляют лишь очень быстрые процессы, такие, например, как прохождение газа через фронт ударной волны, В этой главе будут рассматриваться только термодинамически равновесные состояния газа. Для описания гидродинамического движения вещества в адиабатическом случае необходимо задать энтропию или удельную внутреннюю энергию как функции плотности и давления: 8 (й, р), е (О, р). В неадиабатическом случае обычно в уравнение энергии в явном виде входит еще и температура (например, при учете теплопроводности или излучения), которую необходимо связать с плотностью и давлением посредством уравнения состояния р = р (Ь Т).
Как известно, все термодинамические функции вещества могут быть получены с помощью одного из обобщенных термодинамических потенциалов, заданных в виде функций соответствующих переменных, а именно: е (Я, о); и (Я, р); г" (Т, д); Ф (Т, р), где г' — свободная энергия, и— энтальпия, а Ф вЂ” термодинамический потенциал (в узком смысле). ?1ри конкретных расчетах термодинамических свойств газов обычно непосредственно вычисляют внутреннюю энергию в зависимости от температуры и плотности или температуры и давления з (Т, о) или з (Т, р). При этом приходится независимо вводить уравнение состояния, которое можно вывести из функции з (Я, й), но нельзя найти из функций е (Т, д) или з (Т, р). Везде, где зто не будет оговорено особо, мы будем рассматривать идеальные газы, в которых, по определению, можно пренебречь взаимодействием между частицами.
Во многих практически важных случаях приближение идеальности выполняется с большой точностью (иеидеаль- 1 11 идеАльный ГАз с пОстОяннОЙ теплоемкостью 153 ность проявляется лишь при достаточно больших плотностях; см. об этом 3 11 — 14). Уравнение состояния идеального газа можно записать в одной из эквивалентных форм: р = п~«Т= М01«Т = — =- — 9Т = А9Т, х'ьт в (3.1) 1» где и — число частиц в 1 слгг, Х вЂ” число частиц в 1 г, Л вЂ” универсаль- ная газовая постоянная *), А — гааовая постоянная, рассчитанная на 1 г, р — средний молекулярный вес, ь' — удельный объем.
При этом число частиц в 1 г Л' или средний молекулярный вес (л могут сами зави- сеть от температуры и плотности вследствие диссоциации, химических реакций или ионизации. Внутренняя энергия газа, а вместе спею и теплоемкость при постоян- ном объеме в общем случае складываются из ряда компонент, соответ- ствующих различным степеням свободы газа: поступательному движению, вращениям и колебаниям молекул, электронному возбуждению атомов и молекул, а также из компонент, соответствующих диссоциации моле- кул, протеканию химических реакций, нонвзации.
В дальнейшем для краткости мы будем эти последние факторы также включать в общее поня- тие «степеней свободы». Как и энергия, по степеням свободы суммируются все остальные термодинамические потенциалы, а также энтропия. Раз- личные степени свободы, за исключением поступательного движения частиц, включаются в термодинамические функции лишь начиная с более нли менее определенных значений температур. Для степеней свободы, связанных с изменением числа частиц (диссоцнации, химических реакций, ионизации) эти температуры зависят от плотности газа.
При очень низких температурах атомы и молекулы не ионизованы и не возбуждены; химический состав соответствует энергетически наи- выгоднейшему состоянию; тепловое движение ограничивается только поступательными перемещениями частиц. Удельная внутренняя энергия, отсчитываемаЯ от нУлЯ темпеРатУРы, Равна пРи этом заоо~ = — М1»Т; 3 ПОСТ 3 удЕЛЬНая тОПЛОЕМКОСтЬ Прн ПОСтОяННОМ ОбЪЕМŠ— Супост = — г«'«С. В одноатомном газе область температур, в которой термодинамиче- ские функции определяются чисто поступательным движением атомов, простирается до весьма высоких значений порядка нескольких тысяч или даже десятка тысяч градусов, пока не начинаются ионизация и воз- буждение электронов в атомах. В молекулярном газе при наиболее низких температурах возбуждают- ся вращения молекул.
Это происходит обычно при нескольких или десятке градусов Кельвкна. Энергии вращательных квантов, выраженные в гра- дусах (т. е. Поделенные на постоянную Больцмана й), весьма малы например, у кислорода 2,1' К, у азота 2,9' К, у окиси азота 2,4' К. Исключение составляет лишь молекула водорода, для которой эта вели- чина равна 85,4,' К. Даже при комнатной температуре 300' К (а тем более при высоких) квантовые эффекты не играют никакой роли. Вра- щательная часть теплоемкости равна своему классическому аначению.
Теплоемкость сггращ = Хй для двухатомных и линейных много- 3 атОМНЫХ МОЛЕКУЛ И Сргращ -— — — 1«'(г дЛя НЕЛИНЕЙНЫХ МНОГОатОМНЫХ *) г« = 8,31. 10» гр*(град. моль = 1,99 аал(град. моль, а = 1,38 10 го арго«рад = = 8,31 даг,г~рад моль. 154 ~гл. Рм ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОИСТВА ГАЗОВ молекул. Соответствующие составляющие внутренней энергии равны з~ щ = Л'ЬТ или --Л/ЬТ. 3 2 Колебания в молекулах возбуждаются при гораздо более высоких температурах порядка нескольких сотен или тысячи градусов, поэтому существует диапазон температур, в котором тепловое движение молекулярного газа складывается только из поступательного и вращательного. Теплоемкость в этом диапазоне постоянна, и для двухатомыого газа 5 (например, воздуха) равна ср =- срао„+ стар,щ — — — Л'й. Соответствующая выутренняя энергия з = — Л/ЬТ.
5 2 Энергии колебательыых квантов, выраженные в градусах, в двух- атомных молекулах обычно порядка ыескольких тысяч градусов. Например, у Оз Ьр/й = 2230' К, у г/з — 3340' К, у ХΠ— 2690' К; у трех- атомных молекул самая низкая частота колебаний обычно меньше, например, у Р/Оз — „= 916', 1960', 2310' К. При температурах, меньших и порядка Ьт/й, колебательыая часть теплоемкости должна вычисляться по квантовым формулам и сама зависит от температуры.
Однако при температурах, больших Ьр/й, колебательная теялоемкость постоянна и равна своему классическому значению й на одну колебательную степень свободы. Двухатомная молекула имеет одну колебательную степень свободы, нелинейыая т-атомная молекула Зт — 6, а линейная Зт — 5 колебательных степеней свободы. Таким образом, при температурах более высоких, чем наибольшее из значений Ьр/й, полная классическая теплоемкость из расчета на 3 одну молекулу ср = сраост+ стар,щ+ сраол равна ср = — Л'й+ /Уй+ + (Зт — 5) Л'й = (Зт — --) Л/й для линейыых т-атомных молекул 5Е 3 3 2) .,3 и с| = — Хй + --Л/й + (Зт — 6) /Уй =- (Зт — 2) /Уй — для ыелинейыых 2 2 7 молекул.
Для двухатомных молекул ср — — — /Уй. Уравнение адиабаты для 2 идеального газа с постоянной теплоемкостью и неизмеыыым числом частиц определяется из общего термодинамического соотношения: Т ЫЛ = Ые+ р Ы$' = с„с/Т+///сТ вЂ”.— = О. Отсюда получается после иытегрирования т- р-"-"-9'-', р- у-'-йт, (3.2) причем коэффициенты пропорциональности зависят только от энтропии. Здесь у = ср/ср — показатель адиабаты; ср = ср + /Уй — удельная теплоемкость при постоянном давлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
