Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 37
Текст из файла (страница 37)
2.12 (случай, типичный для ударной волны). В области с высокой температурой плотность излучения //,.Белина и порядка равновесной Ур~ — — 4ПТ;/г. В области низкой температуры кванты практически не испускаются и плоткость излучения в ней определяется потоком, выходящим с поверхности нагретой области, т. е. плотность излучения также пропорциональна //~ и гораздо больше равновесной Ура — — 4ПТ„'/с, так как Т~ >> Т,. Случай, как мы видим, чрезвычайно далекий от локального равновесия и лучистой теплопроводности. Между тем диффузионное приближение для описания углового распределения приводит к качественно правильному результату, 136 теплОВОе излУчение и лУчистыи теплоовмен В сРеде 1гл.
11 который состоит в том, что если холодная среда поглощает свет, то плотность и поток излучения падают по мере удаления от нагретой поверхности в глубь холодной среды, причем масштабом расстояния для заметного ослабления этих величин является длина пробега для поглощения квантов в холодной среде. Так, в данном случае диффузионные уравнения в холодной среде, не испускающей квантов, принимают вид х» у 1» ЕП Я Лх 1 3 хх или, в терминах оптической толщины, отсчитываемой от скачка темпех ратуры т» = ~ к»Ых, о Ю» е Ж~ дт — »™ 3 дт» '= — СТТ Я = — — — '.
Вти уравнения дают решения для плотности и потока: оо'» — уз» Я = — — е » качественно правильно отражающие спадание этих величин. Точный учет углового распределения, возможный в данном простейшем случае, приводит к несколько иному закону спадания потока и плотности излучения в холодной области, содержащему не обычные, а интегральные экспоненты (см.
работу 15!): Ез (т») Т~» — Ез Ь»). На оптических расстояниях от скачка температуры порядка одной или нескольких единиц точные формулы дают величины того же порядка, что и диффузионные. Если бы мы в рассматриваемой задаче воспользовались приближением лучистой теплопроводности, то у нас, в частности, размазался бы скачок температуры вещества, так как при скачке температуры поток Я 1ТТ~г1х оказывается бесконечным. Вообще диффузионное приближение всегда дает качественно разумные результаты. Например, в таком крайне «недиффузионном» случае, когда имеется предельно выраженная аниэотропия углового распределения квантов, и все кванты движутся в холодной среде в одном направлении, поток равен О„= еУ,.
Из точного уравнения непрерывности (2.62) получается при атом, что поток, как и при диффузии, пропорционален о11» градиенту плотности Я„= — Цс —" (ось х направлена вдоль светового луча) с коэффициентом пропорциональности, втрое большим обычного коэффициента диффузии. Этот случай чистого поглощения параллельного пучка света в неизлучающей среде имеет точное решение: х О»=ос'» е ", т»= ~ к»лх, о отличаю1цееся от решения в диффузионном приближении только численным коэффициентом $'"3 в показателе экспоненты и коэффициентом 1/)ГЗ в связи потока с плотностью. Конечно, количественное различие при больших т, » 1 огромно, но качественно диффузионное приближение дает правильный физический результат, а при т, 1 и численная о1пибка не столь велика.
ЛУЧИСТОЕ РАВНОВЕСИЕ В ЗВЕЗДНЫХ ФОТОСФЕРАХ 137 1 ы) 5 14. Лучистое равновесие в Звездных фотосферах Изучение распределений температуры и поля излучения в периферийных слоях (фотосферах) стационарных звезд с целью вычисления светимости звезд нвилось классической задачей, на основе которой была построена теория переноса излучения и разработаны методы решения уравнения переноса э). Для нас эта задача интересна не только как классический объект применения теории переноса излучения, но и как модель, к которой, как это будет показано в гл.
[Х, в какой-то мере сводится задача об охлаждении большого объема нагретого воздуха путем излучения. Стационарные звезды представляют собой огромные газовые массы, нагретые до высоких температур, изменяющихся от десятка тысяч градусов на поверхности до миллионов и десятков миллионов градусов в центральных областях. Механическое равновесие газа достигается благодаря уравновешиванию сил давления, стремящихся привести к разлету газового шара, гравитацнонньгми силами, препятствующими разлету.
Нагретый газовый шар — звезда — излучает с поверхности. Потеря энергии восполняется энерговыделением за счет ядерных реакций, которые протекают в центральных областях звезды. Вещество в стационарных звездах неподвижно, никакого гидродинамического движения нет. Выделяющаяся в центре энергия переносится к периферии звезды только излучением и уходит в пространство в виде излучения. Поскольку в периферийных слоях ядерных реакций и энерговыделения нет, стационарность в них достигается благодаря полной компенсации испускании и поглощения света в каждом элементе объема: потеря энергии вещества на излучение д равна нулю и температура в каждой точке неизменна во времени **).
О равенстве испускания и поглощении света и отсутствии потерь на излучение говорят как о лучистом равновесии звезды. Иэ условия лучистого равновесия д = О следует, что дивергенция потока излучения с[1РУ Я также равна нулю. Полный поток излучения через сферическую поверхность любого радиуса г, 4кгзЯ, постоянен и равен количеству энергии, выделягощейся в центре в единицу времени [Я 1дэ). Распределение температуры и плотности газа по радиусу звезды определяется путем совместного рассмотрения механического равновесия и переноса излучения. Однако при рассмотрении распределений в фотосфере задача в какой-то степени разделяется на два этапа. Распределение температуры по оптической координате можно найти только из рассмотрении переноса излучения, не зная распределения плотности по радиусу. Затем в случае необходимости монгно перейти к распределению температуры по радиусу, привлекая условия механического равновесия и коэффициент поглощения света как функцию температуры и плотности.
е) Подробное изложение этих вопросов н ссылки на литературу см. в книгах В. А. Амбарцумяна [1[ и Унзольда [2). **) Стационарность звезды и неизменность во времени распределений температуры и других величин по радиусу не означает,что звезды пе эволюционируют. Когда говорят о стационарности применительно к задаче о переносе иалучения, то имеют в виду неизменность состояния за время порядка времени теплопередачн от центра звезды к поверхности.
Заметим, что условие лучистого равновесия е = О заменяет в данной конкретной задаче энергетическое уравнение гидродинамики [2.57). 138 ткпловок излрчкник и лрчистын ткплоовмкн в сркдк [гл. и Сформулируем аадачу о распределении температуры и переносе излучения в фотосфере звезды. Интересуясь поверхностными слоями, толщина которых много меньше радиуса звезды, можно пренебречь их кривизной и считать фотосферу плоской. Направим ось х по внешней нормали к поверхности звезды (рис. 2.13) и запишем уравнение переноса излучения для плоского случая: (2.81) созд — „" » мч'(1,р — 1,), где д — угол между направлением распространения излучения и осью х. К этому уравнению добавляется условие лучистого равновесия: ОЗ ч» д= ~ Йч ~ ИЫч(1чр — 1ч) =с ~ «(чхч(11чр — 11ч) =О, (2.82) о о а также граничное условие на поверхности, прн х = О, которое заключается в том, что из пустоты кванты не поступают: (2.83) 1ч( =О, О) =О р — ~О ~л.
Если коэффициент поглощения разных частот кч (Т, в) зависит от плотности газа одинаковым обрааом, т. е. может быть представлен в виде кч (Т, о) = ~р (р, Т) 1 (о), что обычно и имеет место в действительности, то путем введения вместо х новой координаты, дифференциал ,з которой есть Йу = дх 1 (О) и которая Ф соответствует оптической координате, можно исключить из задачи вопрос о распределении плотности газа по х и искать распределения темРнс. 2.13.
К задаче о переносе излучения в звездных фотосферах. пературы и интенсивности излучения по этой, новой, оптической координате у. Система (2.81) — (2.83) полностью описывает эти распределения. Задача обладает одним произвольным параметром — потоком излучения,Я, который в плоском случае со' постоянен ( д = о1ч Я= — =О ~. Поток Я равен потоку энергии, пода- на / ваемому из бесконечности х = — оо, изнутри звезды, и фактически определяется энерговыделением в центре звезды. В то же время поток Я представляет собой поток энергии излучения, выходящий с поверхности звезды, т.
е. интегральную яркость поверхности. Сформулированная задача в общем случае представляет очень большие математические трудности. Основная из',них состоит в том, что уравнение переноса записывается для спектральной интенсивности 1„тогда как условие лучистого'равновесия имеет интегральный по спектру характер. Для упрощения задачи введем в рассмотрение некоторый средний по спектру коэффициент поглощения к' (что эквивалентно предположению «о серости» среды) и проинтегрируем по спектру уравнение переноса ЛУЧНСТОЕ РАВНОВЕСИЕ В ЗВЕЗДНЫХ ФОТОСФЕРАХ 439 (2.81). Получим для интегральной интенсивности 1 = ~ 1, дч уравнение о Ъ соэ д — = х' (1р — 1), 1р — — ~ 1,рсЬ = — = — . (2.84) о Переходя к оптической координате, отсчитываемой от поверхности в глубь фотосферы: х 11т= — к'дз, т= — ~ к'О1х, о получим созд — =1 — 1 (Т).
е1 лт (2.85) Граничное условие (2.83) теперь принимает вид 1(т=О, д)=О при — <6<я, (2.86) (2.89) Первая формула дает интенсивность излучения, распространяющегося в сторону поверхности. Интегрирование ведется от т = ОО, поскольку фотосфера предполагается полубесконечной. Вторая формула соответствует излучению, идущему вглубь; при атом учтеко, что из пустоты кванты не приходят.
1 Г Вычислим плотность излучения У = — з1 1 1(Я, воспользовавшись при интегрировании' по д от 0 до а)з первой формулой, а в а условие лучистого равновесия (2.82) 1 1,(Я = ~ 1р1(Я У = Ур = (2.87) (постоянный поток Я равен 8 = ~ соз 61 Ой). Несмотря на анизотропвю излучения; интеграл от интенсивности по углам, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
