Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 36
Текст из файла (страница 36)
е. формулу (2.66). Форму- — сев 1 1>1 ПРИВЛИЖЕННЕ <ВПЕРЕД вЂ” НАЗАД» э' >1. Приближение «вперед — назад» я/2 Х/= — 1 Хии= — и 1 1>21пдсйб+ с + 2 — "' ~ 12 в(п О О = 2я (Х, + 1,), я/2 Я = 1 сов ОХ /й»« = я/2 =2л ~ 1>совдв1пд/Ю+ с (2. 68) Рис. 2,11, Полярная диаграмма для раслределеиия интенсивности излучения в приближении «вверед — нааади. В данном случае поток направлен влево. + 2л ~ 1, сов д в)п д сйб =- ц (1, — 12).
(2. 69) я/2 Отсюда, кстати сказать, наглядно представляется степень анизотропии: Л 1> — 12 сп 2 (1> + 12) = — -+О при 1, ж 12. На границе среды с пустотой, если ось х направлена по внешней о" 1 нормали к поверхности, имеем 12 — — 0 и — =--, т. е. условие (2.66). Чтобы составить уравнение для средних «односторонних» интенсивностей 1, и 12, усредним уравнение переноса для плоского случая: сов д и (1р 1) (2.70) по одной и по другой полусферам. Получим при этом (средний косинус 1 сов д= ~ -): 2). ~ — — — и (1 — 1,); — 2 —,—— к (Хр — 12). ~~11 и .
1 ~~12 (2,71) лы (2.67) имеют ббльшую силу, чем выражение для интенсивности. В атом легко убедиться, если распространить формулу для интенсивностц на точву у границы. «1/ В навравлении отрицательной оси л, нанример, сов я= — 1 и 1 = — ( О, Зя что фиаичесви бессмысленно, Все дело в том, что диффузионная формула для интенсивности годится только ври слабой аниаотровии, когда второй член в скобках много меньше единицы. яе Рассмотрим еще один способ приближенного рассмотрения углового распределения излучения, который иногда применяется в плоских задачах переноса излучения. Этот способ известен как прибли>кение Шварцшильда или прибли>кение «вперед — назад».
Объединим все кванты, движущиеся в сторону положительного направления оси х, под углами д от 0 до я/2 («вперед») в одну группу, а движущиеся в противоположную сторону («назад») под углами д от —" до л — в другую (рис. 2.И). 2 Будем приближенно считать угловые распределения в каждой из двух полусфер изотропными и обозначим интенсивности в направлениях «вперед» и «назад» через Х, и 1, (индекс частоты т для краткости опустим).
Плотность и поток излучения при этом равны иг — Ф/2 432 теплОвое излучение и лучистый теплоовмен в сРеде ргл. 11 Эта пара уравнений и служит для определения средних интенсивностей в обеих полусферах. Складывая и вычитая их, легко перейти к уравнениям для плотности и потока (1» — — с1/р/4я): сЮ, Гс ИУ = х с (1/р (1)~ Я— (2. 72) Первое из уравнений есть точное уравнение непрерывности (2.62), а второе почти совпадает с приближенным уравнением диффузионного приближения (2.65), с той лишь разницей, что здесь «коэффициент диффузии» равен Рс/4 вместо Рс/3.
Рассматривая уравнения (2.74) как линейньге дифференциальные уравнения относительно функций 11 и 1, можно записать их решение в интегральной форме: 1, = ~ Хр ехр [ — 2 (т — т') [ 21/т', 1, = ~ 1р ехр [ — 2 (т' — т) [ 2г/т'. 'О Здесь координата х заменена оптической толщиной по формулам: т = ~ х 1)х. о 1(т = х' «Ь, Складывая и вычитан выражения для 1, и 1» и подставляя 1» = = с//р/4Л, получим приближенные интегральные формулы для плотности и потока'в приближении «вперед — назад»: « (1= — ) (/ре-»1'-ю21(т'+ — ~ 1/ е-з<«-«ч2дт' 1 (2.73) Я = — — ( 1/ре — ('-'>21(т'-[- — ( 1/ре-з< — «72От'. Вообще говоря, диффузионное приближение в случае слабой анизотропии является более обоснованным, чем мало отличающееся от него приближение «вперед — назад».
э 42. Локальное равновесие и приближение лучистой теплопроводноети В бесконечной среде с постоянной температурой в установившемся состоянии излучение термодинамически равновесно. Интенсивность его не зависит от направления и определяется формулой Планка. В какую- нибудь точку пространства приходят кванты, рожденные в окрестности атой точки на расстояниях не более нескольких пробегов; кванты, рожденные вдали, не доходят, поглощаясь по пути.
Следовательно, в создании равновесной интенсивности в данной точке участвует только непосредственная ее окрестность, Даже если температура вдали и отлична от температуры этой окрестности, зто практически не сказывается на интенсивности излучения в рассматриваемой точке. Значит, если в достаточно протяженной, оптически толстой среде температура не постоянна, но меняется достаточно медленно с расстоянием так, что изменения ее малы на расстояниях порядка пробега излучения, интенсивность в какой-либо точке пространства будет очень близка к равновесной, соответствующей температуре данной точки. При этом интенсивность будет тем ближе $«з«РАВнОВесие и пРивлижение лУчистОЙ теплопРОВОднОсти ТЗЗ к равновесной, чем меньше меняется температура на расстояниях порядка пробега.
В частности, излучение будет ближе к равновесному в тех частотах, которые поглощаются сильнее и для которых длина пробега 1,', меньше. Если градиент температуры настолько мал, что изменения температуры малы на расстояниях порядка наибольшего из пробегов 1~ для всех частот, играющих значительную роль в равновесном излучении данной температуры, то излучение будет равновесным практически во всем спектральном интервале, характерном для температуры данной точки. Интенсивность излучения в зависимости от частоты будет описываться при этом функцией Планка с температурой этой точки. 0 таком состоянии, когда излучение в каждой точке среды с переменной температурой весьма близко к равновесному, соответствующему температуре точки, говорят как о локальном термодинамическом равновесии излучения с веществом.
Условие существования локального равновесия — малость градиентов в протяженной, оптически толстой среде — служит В то же время и оправданием диффузионного приближения при рассмотрении переноса излучения. В диффузионном приближении поток излучения пропорционален градиенту плотности излучения. Но если плотность излучения близка к равновесной, то приближенно можно заменить истинную плотность в формуле для потока равновесной плотностью в данной точке.
Таким образом, в условиях локального равновесия спектральный поток приближенно равен 1тз А~ = — — И1тР. 3 (2.74) Полный поток есть СО О 3 31(П' ". о о (2.75) Вынесем из-под знака интеграла некоторое среднее значение длины пробега, которое обозначим через 1. Если учесть, что ~ У,рот = Ур — — 4ат'1с, о то формула (2.75) дает Я= — — Ус«' =- — УТ. 1Р 13О>Т« 3 Р 3 (2.76) Поток энергии излучения в условиях локального равновесия пропорционален градиенту температуры, т.
е, перенос излучения носит характер теплопроводности или, как говорят, лучистой теплопроводности, причем 16О>Т« коэффициент теплопрово)(ности равен и зависит от температуры. Потеря энергии вещества на излучение «7 по формуле (2.56) равна днвергенции потока лучистой теплопроводности точно так «ке, как и в случае обычной молекулярной теплопроводности, и определяется только температурой вещества в данной точке, средней длиной пробега, которая для данного вещества есть функция температуры и плотности, и их производнымя по координатам.
ю ««Ь Сопоставление формул (2.75) и (2.76) дает закон усреднения длины пробега по спектру, приводящий к правцльному значению потока лучистой энергии в условиях, когда лучистый теплообмен имеет характер теплопроводностн. Замечая, что У,р и б>р зависят от координат только 134 теплОВОВ излУчение и лУчистый теплоовмен В сРеде (гл н через зависимость от температуры, получим 1е — Ыт 1и —" Ир лт ~ ет (2. 77) ~(/р Г ир ат зт о Дифференцируя по температуре равновесную плотность излучения, взятую по формуле Планка, и переходя в интеграле к безразмерной переЬр менной интегрирования и = — найдем закон усреднения пробега: = ат ' ЦС(и) Ни, (2.78) где весовой множитель С (и) равен 15 иее —" 4не (1 — е-и)о (2.79) Величина 1, полученная путем усреднения пробега 1; с весовым множителем С (и), называется росселацдовым средним длины пробега или просто росселандовым пробегом.
Ксли выразить длину пробега Ц, исправленную на вынужденное непускание, через козффициент истинного поглощения /» = 1/х'„= 1/х (т — е "), то формулы (2.78), (2.79) можно переписать в виде 15 иее 1= ( — С'(и) ди, С'(и) =— ,) н„' 4не (1 — е и)о о (2.80) й 13. Взаимоотношение диффузионного приближения и приближения лучистой теплопроводности Обычно в астрофизике принято отождествлять понятия диффузионного приближения и лучистой теплопроводности.
Это связано с тем, что в оптически толстых телах с малыми градиентами, каковыми и являются звезды и звездные фотосферы, всегда одновременно выполняются условия, приводящие к слабой анизотроиии поля излучения, т. е. к диффузионной связи потока с градиентом плотности излучения, и к существованию локального равновесия, т. е. возможности замены г/, на (/,р. Росселандов весовой множитель имеет максимум при лт 4/еТ, т.
е. основную роль в переносе знергии играют большие кванты с энергией, в несколько раз большей, чем йТ. Согласно формуле (2.76), поток излучения тем болыпе, чем больше козффицпент теплопроводности, т. е. чем длиннее пробег. Не следует забывать, что зта зависимость справедлива только до тех пор, пока длина пробега не слишком велика, чтобы не нарушалось условие локального равновесия и формула (2.76) имела смысл. Как мы увидим в дальнейшем, в противоположном предельном случае, когда длина пробега излучения больше характерных размербЬ тела, поток излучения, наоборот, уменыпается с увеличением длины пробега. $13) взАимоотношение пРиБлижений РАзличнЫх типОВ 135 Оценка показывает, что вообще при малых градиентах в оптически толстых телах отклонение от локального равновесия даже меньше, чем степень анизотропии, т.
е. если справедливо диффузионное приближение, то локальное равновесие тем более существует. В самом деле, пусть тело имеет размеры порядка х, являющиеся характерным масштабом для градиентов температуры, плотности и потока излучения. Из уравнений диффузионного приближения (2.62), (2.65) следует, что по порядку величины откуда Если степень анизотропии, которая характеризуется отношением диффузионного потока к кинетическому, Я„/гУ, ж 1~/х, мала и 1~/х << 1, то относительное отклонение плотности излучения от равновесной есть величина ц второго порядка малости.
Однако имея в виду задачи с более ге сложными условиями, чем в звездных фотосферах, удобно все же провести четкую грань между приближениями диффузионным и лучистой теплопроводности, под- Рвс. 2.12. Схеиатическвй профиль разумевая под диффузионным приближе- температуры в ударкой волне. нием только способ приближенного описания углового распределения излучения, в котором поток излучения предполагается пропорциональным градиенту истинной плотности, даже если она сильно отличается от равновесной. Это можно рассматривать как прием, позволяющий выяснять особенности явлений переноса сильно неравновесного излучения, не связанные с характером углового распределения квантов, так как строгий учет последнего связан с большими математическими трудностями.
Диффузионное приблигкение, приводя в некоторых случаях к значительным ошибкам, как правило, все же не искажает качественной картины явлений переноса излучения, даже когда распределение по углам сильно анизотропно. Это и позволяет пользоваться им для приближенного решения различных'задач, в которых излучение существенно неравновесно и использование 'приближения лучистой теплопроводности, которое подчиняет соответствующим уравнениям температуру вещества, часто противоречит физическому смыслу. Приведем пример. Предположим, что мы интересуемся полем излучения в теле с резким скачком температуры на поверхности, разделяющей высоконагретую и холодную области, как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
