Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 38
Текст из файла (страница 38)
е. плотность излучения в каждой точке, равен равновесной величине Ур. Вернее, температура вещества в каждой точке, регулируемая переносом излучения, устанавливается в соответствии с плотностью излучения в данной точке У =- Ур. Даже в упрощенной постановке аадача решения системы (2.85) — (2.87) (так называемая проблема Милна) с математической точки зрения весьма сложна. Приближенное решение ее будет изложено в следующем параграфе. Сейчас же мы выведем эквивалентное этой системе интегральное уравнение, которое послужило основой для нахождения точного решения.
Воспользуемся интегральным выражением для интенсивности типа (2.32), которое в плоском случае можно записать в виде, непосредственно следующем из уравнения (2.85), если рассматривать его как линейное дифференциальное уравнение относительно 1: СО х' — х 1(О ) ~ 1 (хх(т.)) см (2.88) 1(О, т)= — ~ 1Р(Г(тНе о а я~~ 2 о 140 твпловок излтчвнив и лгчистыи твплоовмвн в сэнди (гл. и л интервале — (д С и — второй: 2 л«2 и с11=2я ~ з(пдЮ ~ 1 е "«е- — — — 2я ~ з(пддд сов О о лтв «о-т лт' 1 е сс«о р сов б о Переставляя порядок интегрирования, вводя в первом интеграле новую переменную ю=1)созд, а во втором «л= — 1/созд, принимая во внимание определение интегральных экспонент (2.44) и заменяя 1р = сБр(4я, получим сс 2 ~ 11рЕ«(т т) ««т + 2 ~ 11рЬ«(т т ) ««т'.
(2.90) т о Принимая во внимание условие лучистого равновесия 11 = 11р — Т«, получаем окончательно интегральное уравнение для равновесной плотности Ур или, что то же самое, для Х'. 11р (т) = —, ~ ~Ъ (т') Е (~ ' — ~) ат' о (2.91) Выпишем для справочных целей интегральное выражение для потока в плоском случае, который вычисляется аналогично плотности'): Ю = — ( 11рЕв (т' — т) с(т' — — ~ ~(17,Ев (г — т') с«т'. о 9 15. Решение задачи о плоской фотосфере Найдем решение сформулированной в предыдущем параграфе задачи в диффузионном приближении. Усредняя уравнение диффузионного приближения по спектру и вводя средние коэффициент поглощения х' и длину пробега Г =1/х', запишем эти уравнения в виде лю — = сх' (Ур — 11), Я= — — —, Го л(7 з ь' .
(2.94) или, заменяя координату х оптической толщиной т: «(т= — х'с(х, лю — = с (11 — 11р), Е= з',и' (2.96) (2. 95) *) Для точки т = О эта формула уже была получена вовне, в 1 7 (2,45). Любопытно сравнить точные формулы для плотности и потока в плоском случае (2.90), (2.92) с полученными в лриближепии «влеред — назад« (2.73). Последние отличаются от первых ваменой интегральных экспонент на обычные и численными коэффициентами.
Из уравнения (2.91) видно, что решение 11р(т) определяется с точностью до постоянного множителя. Этот множитель и соответствует произвольной величине потока Я. 141 $1»3 Решение зАЛАчи О плОскОЙ юотосюнре Уравнение (2.95) демонстрирует эквивалентность условий лучистого РавновесиЯ 11 = 11р и постоЯнства потока Я = сопз1. В Данном слУчае условие лучистого равновесия приводит и к строгой эквивалентности диффузионного приближения и приближения лучистой теплопроводности, так как благодаря равенству У = 11р.' Я= — — = — а —. , ж~ 4 ат4 з лт З лт (2. 97) Решая это уравнение и воспользовавшись граничным условием (2.66) для того, чтобы выразить поток Я через температуру поверхности Т,: 2ОТо (2.98) получим распределение температуры и плотности излучения по оптической толщине (2.99) Эффективная температура поверхности по определению Я = ОТо«с равна Тоо = »12То = 1,2То.
Эффективная температура несколько вьппе истинной температуры поверхности То. Это н понятно: кванты, выходящие с поверхности, рождаются в излучающем слое около поверхности толщиной порядка пробега (оптиче- 11т1 1«(1+ус)"' ской толщиной порядка единицы). Температура излучающего слоя несколько выше, 4Р чем температура поверхности (рис. 2.14), 1 поэтому и «температура» выходящего излучения такхое несколько выше. Температура среды совпадает с эффективной температурой излучения на оптической о фо и глубине т = 2!3. Можно сказать, что эта Рис.
2Л4. Риспределеиие темпе- глубина соответствует примерно середине ратуры по оптической коордииате излучающего слоя. в плоской фотосфере в диффузи- Для задачи о лучистом равновесии о"пом приближеиии. фотосферы, рассматриваемой как «серая материя», которая сводится к интегральному уравнению (2.91), было найдено точное аналитическое решение. Задача также решалась различными приближенными методами, более точными, чем диффузионное приближение.
(Зта задача, одна из немногих задач теории переноса излучения, которые удается решить точно, служит обычно эталоном для проверки различных приближенных методов.) В точном решении температура поверхности Т, при том же самом потоке Я, т. е. при той же эффективной температуре Тое, оказывается несколько меньше, чем в диффузионном приближении. А именно, в точном решении Т, = - — ' Тое, Т, = 0,811 Тое, тогда как в диффузионном при- А 1 4 ближении Т, '= -- Т,'и, 'Т, = 0,841 Т,в. Распределения температуры по оптической толщине в точном и диффузионном решениях весьма близки друг к другу (они изображены на рис.
2.15), что свидетельствует о хорошей точности диффузионного приближения. Ошибка, даваемая диффузионным приближением, тем меньше, чем болыпе оптическая толщина, т. е. чем далыпе от гран«щы, что вполне естественно. При т о- оо точное 142 тнпловок излучкнип и лучистыи типлоовмкн в приди (гл.
~г решение игр (т) асимптотически переходит в диффузионное (2.99). В этом можно убедиться и непосредственно на основе интегральных выражений для плотности и потока (2.91), (2.92). Этот вывод полезен тем, что показывает, как диффузионное приближение и приближение лучистой теплопроводности асимптотически заложены в 7,'К точном уравнении. гг ярд Как следует из диффузионного репгения (2.99), относительное изменение равновесной плотности Ур на длине пробега уменьшается при удалении от поверхности: гг'йЮ % Р% 1~~Ъ Ур жбр Ы ~УР Ят 2 ж т з (' ))()уу при т -~ сс. Интегральные экспоненты Е, и Е, 2 у и быстро убывают с возрастанием аргумента, тан что практически в интегралах (2.91), Рис, 2.15. Сопоставление распредслеиг,'й тсмпсратурм в плоской (2.92) игРает Роль лишь область ) т' — т ~ фстссфсре, вмчислеиных в диф- 1 около точки т.
фуаисином приближении (1) и Поэтому интегрирование по т' от точно (~~) нуля до т во вторых интегралах в фор- длЯ спРелелспассгв вфФектавваЯтсм- мулах (2.9()), (2.92) при т р 1 можно Рас=гс ьаа'к (грвФяя ввяг яв яяягя (г)). пространить до — оо или, что то же самое, интегрирование по т — т' от нуля до т > 1 распространить на интервал от 0 до ос. Ошибка от этого будет тем меньше, чем болыпе г. Разложим Ур (т') около точки т: сУР, 1 авУР ~Р(Т) =~Р ('г)+ 1 (Т вЂ” Т)+ 2 я в ('г — Т) +...
Поскольку Ур (т) — медленная функция при т -~. ОО, высшие производные ее становятся все меньше и меньше. Подставляя зто разложение в (2.90), (2.91) и вычисляя интегралы, получим из (2.92) с точностью до членов, пРопоРциональных высшим пРоизводным от игр до т: Я = 3 ах' = — —, а из (2,91): — = О, т. е. уравнения диффузионного прибли- ств женин и лучистой теплопроводности. Тот факт, что интегральная плотность излучения в каждой точке равна равновесной, соответствующей температуре вещества, вовсе ие означает, что то же самое относится и к спектральным плотностям *). Однако чем далыпе от поверхности в глубь фотосферы, тем меньше относительные изменения температуры на расстояниях порядка среднего пробега, а следовательно, и пробегов разных частот. Поэтому вдали от поверхности имеет место локальное равновесие и в каждой частоте и под средним пробегом Г = 1/к' следует понимать росселацдово среднее.
Практически росселандов способ усреднения можно распространить на всю фотосферу вплоть до самой поверхности. Зная распределение температуры по сред*) тсчис так жс из того, что Я = сспзг, не следует, что я = сопят; ~~в ( гр г — Л=-Яг((à Р— У ) фО. у гз) потери энергии ИАгретого телА ИА излучение 143 ней оптической толщине и задаваясь зависящими от частоты коэффициентами поглощения, точнее, их отношениями к среднему х'/и', можно по формулам з 8 найти спектр излучении звезды (см. [1 — 3)). Спектр, вообще говоря, не совпадает с планковским, соответствующим Тзе, но в ряде случаев близок к нему.
5 16. Потери энергии нагретого тела на излучение Рассмотрим потери энергии иа излучение всего тела в целом. При этом мы будем иметь в виду обычные тела конечных размеров, нагретые в общем случае неравномерным образом. Полная потеря энергии всем телом в 1 сел, ф, равна, очевидно, интегралу по объему от потери энергии 1 смз в 1 сек, д. Замечая, что д = йч В, можно записать *): (2 100) где г(г' — элемент объема тела, а г(2 — элемент поверхности; Яо — нормальная составляющая потока излучения на поверхности тела. Ее можно представить в виде Яз = аТ,'в, где Тзе — эффективная температура поверхности тела. Совсем не обязательно, чтобы эффективная температура была близка к средней температуре неравномерно нагретого тела Т. В случае оптически толстого тела, размеры которого х гораздо больше средней длины пробега / (скажем, соответствующей средней температуре), поток по порядку величины равен: Яо — (с — — — оТ « аТ; Т,е — ( — ) Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
