Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Величины, характеризующие излучение и входящие в уравнения (2.112), (2,113), можно расшифровать двояким образом. В электромагнитной, полевой трактовке они выражаются черев напряженности электрического и магнитного полей Х и и, а именно: йл я =я(ЖН) = ста, т„=,--1 — с,с, нл.1 — тс„<с', с1). ~ 1 ( (2.114) Следует только иметь в виду, что излучение представляет собою быстропеременное электромагнитное поле; период электромагнитных колебаний ничтожно мал по сравнению с макроскопическими временами процесса, поэтому подразумевается, что в приведенных выше формулах произведено усреднение по времени за период, большой по сравнению с периодом колебаний поля. В квантовой трактовке макроскопические величины б', 8, Т1ь выражаются через функцию распределения квантов. Если ((т, (с, т, 1)— функция распределения в точке т в момент 1 в зависимости от частоты т и направления движения квантов Й, то, как мы уже знаем (см.
з 1 этой главы), (2. 115) *) Энергия кванта есть Лт, ньшульс ЙЛУ/с, лоток 1-й составляющей импульса Ло в Л-м направлении 111ИЛ вЂ” с, откуда н получается формула для тенеора потока нмлульса Тм 1ое Путем разложения быстропеременных электромагнитных полей в интегралы Фурье поля можно представить в виде суперпозиции гармонических колебаний различных частот. При усреднении по времени членов, квадратичных по составляющим полей, которые содержатся в формулах для ь1, Я1, Ты, произведения величин, относящихся к различным частотам, исчезают, и остаются только квадратичные члены с произведениями компонент Фурье, отвечающих одной и той же частоте.
Поэтому энергия, импульс, потони энергии и импульса излучения представляются в виде линейной суперпозиции членов, соответствующих разным частотам. Это позволяет ввести понятие интенсивности излучения данной частоты 1, (11, т, 1) и выразить макроскопические величины через интегралы 146 теплОВОБ излучение и лучистын теплООБмен в сгеде [Гл. 11 от интенсивности по спектру и направления распространения иэлученияи ьг = — ~ Х, г(1«от, и = 1 иг„~и ь. т„--'(и,и.г„«ии,, ~ (2.116) (У=У', О1 = Я; + И1Б"' + и»Т;», Т, =-Т;.. (2.117) Введем преобразованные величины в уравнения (2.112) и (2.113). При этом заметим, что импульс излучения 61 чрезвычайно мал по сравнению с импульсом вещества рим и им можно пренебречь и).
Записывая в явном виДе тензоР потока пмпУльса веЩества Пгя — — Риьв» + Рбно полУчим (2.118) З (йе+ а'+(~ )+дх (риь(е+- + 2)+Я»+и»Г+в1Т1»~ =О (эти уравнения были получены С. 3. Беленьким [7)). «) В самом деле, если»нергня нзлученвя сравнима с энергией вещества, т. е. с «1 — рии, то импульс пилу«ения, который поряДка о — Гу!с, в — раз меньше импульса и вещества ри: О и С вЂ” — ри.
с с а также перейти к квантовой трактовке интенсивности как произведения энергии кванта на функцию распределения Т, = яусс. Известно, что электромагнитные ноля, частоты и направления распространения электромагнитных волн, а следовательно, и интегральные велвчины (У, Я, Т;» зависят от того, в какой системе координат они измеряются. Интегральные величины, фигурирующие в уравнениях (2.112) и (2.113), относятся к покоящейся, «лабораторной» системе координат, в которой данная частица вещества движется со скоростью т«.
Между тем существу дела скорее отвечают параметры излучения, измеренные в «собственной» системе координат, в которой частица покоится. В самом деле, в состоянии полного термодинамического равновесия именно плотность энергии излучения в покоящемся веществе равна равновесной величине (Ур = 4ОТ«/с; диффузионный характер имеет поток излучения относительно неподви»нного вещества, так как излучение «сносится» вместе с движущимся веществом и полный поток включает в себя этот «снос».
Перейдем в уравнениях (2.112) и (2.113) от величин ьг, Я, Тиь к штрихованным величинам (г', К, Т;ь связанным с движущимися частицами среды. При движении среды с нерелятивистскими скоростями и(с (( 1, когда можно пренебречь членами, пропорциональными и/с, соответствующее преобразование к движущейся системе координат дает (см. (6)): числО КВАнтОВ кАН инВАриАнт клАссическОГО пОля 149 4!8) Рассмотрим случай локального термодинамического равновесия излучения с веществом. Плотность излучения равна при этом равновесной величине У' = 4ОТ')с.
Г!Отек энергии излучения относительно вещества 8А приближенно пропорционален градиенту равновесной плотности излучения, По формуле (2,76) для лучистой теплопроводности сс д Т 4атч '~ 16асТз дТ 3 диа [, с )= 3 дсь- Тензор потока импульса проще всего получить из формулы (2Л16), если заметить, что в условиях локального равновесия поле излучения почти изотропно и интенсивность очень слабо зависит от угла. Найдем ()р 3 ы=рс Цр 4 атс где р = — = — — — давление излучения. 3 3 с Подставляя все эти величины в уравнения (2.118), найдем для случая локального равновесия: ВГ(йи')+д (йиьиь)+д (Р+Р ) =() д д д (2Л19) д, Сиз ~ д с / Сиз, ~ (с дор1 — [ ос+ — — -[-ГТ )-[- — 4 иь [ Оз-[-ГТ + — — , 'р+р, ) — —,— ~ =О, (2Л20) где ГТр — — Зр, = 4аТЧС.
Уравнения импульса и энергии системы принимают замкнутую форму, так как все величины, характеризующие излучение, выражаются через температуру (и оптические свойства вещества). Если излучение не находится в локальном термодинамическом равновесии с веществом, то к уравнениям (2.118) нужно добавить уравнение переноса излучения. Об уравнении переноса излучения в двискущейся среде с учетом членов порядка и/с см.
[8[. $18. Число квантов как инвариант классического электромагнитного поля Поле излучения характеризуется плотностью и потоком энергии (последней пропорциональна плотность импульса); эти величины определяются формулами (2.114). Замечательно, что в классической теории можно ввести еще одну характерную величину, которая (с точностью до произвольного множителя) совпадает с числом квантов в ноле [15). На первый взгляд число квантов по определению есть квантовое понятие и пе играет роли, не может быть определено в классической теории. Напомним, однако, что в классической механике номер квантового состояния осциллятора является адиабатическим инварпантом. Подобно этому число квантов в заданном электромагнитном поле должно быть адиабатическим инвариаитом. Вдобавок к этому оно должно быть величиной, сохраняющейся во времени, и релятивистским инвариантом.
Величина, пропорциональная числу квантов, дается выражением Т (' 8(г) Е(г')+Н(г) ТТ(г') (2Л 21) 150 тепловое излУчение и лУчистый теплоовмен В сгеде 1гл. 11 где интегрирование производится по пространствам т н т' (ггт, с]т' обозначают элементы объемов).
Структуру етого выражения легко понять, если перейти к переменным интегрирования т и о = т' — т. Фиксируем точку т и выпипгем интеграл по объему 2(р в полярньгх координатах с центром в точке 2: .Е(т) ~ Е('+Е) где с]г)р — элемент телесного угла около точки г. Выписанное выражение по порядку величины равно Х' (т) Х, где 3,— то среднее расстояние, на котором сохраняется корреляция между полем в данной точке Х (т) и полем в окрестности этой точки.
Составляя аналогичное выражение с .Н, получим, что по порядку величины Аг ~ (нг 1 222) ), )т ~ гг(т) ),г(т Выведем теперь выражение (2.121) для числа квантов *). Рассмотрим поле в отсутствие зарядов, как свободных, так и связанных. При этом 1]гйу Ж = 0; йу Н = О. Число квантов в данном интервале частот А' равно знергии поля, которая заключена в атом пнтервале, поделенной на Иу. Чтобы определить спектральную знергию, разложим поле в интеграл Фурье по пространству Е (2 ) = ),Ев ега" гг гс, причем в силу уравнений поля при указанных условиях компоненты Фурье Жа зависят от времени как е — 1оаг, где ога — — сй (ога —— 2ята).
Введем для каждого направления волнового вектора гс направления поляризации света пг, пг, перпендикулярные к гс. Компоненты Фурье поля с данной поляризацией равны Е„,= ~ (Жпг) е-1" ггт. Аналогично определяются Еа„Нан Нат Энергия волн (с данной поляризацией), распространяющихся в направлении ус, пропорциональна 221 — ', Е21+ Наг ~', саг — '~ Еаг — Наг)'. Соответствующее число квантон данной частоты пропорционально 221+ 222 221+ 222 а 21 22 ь Полное число квантов в поле пропорционально величине Подставляя выражения для Еа, и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
