Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 32
Текст из файла (страница 32)
$6. Интегральные выражения для интенсивности излучения Н1„ — '+ х,'Т, = х' Т„р. Ыг м (2.31) з"' Найдем формальное решение уравнения переноса излучения, рассматривая величины, аависящне только от состояния вещества Т,„(Т), х,', (Т, р), кан известные функции координат и времени. Рассмотрим сначала для простоты стационарный случай, когда распределения температуры »Б и плотности, а также поле излучении » не зависят от времени.
Будем интере- г соваться излучением в точке м тела с направлением распространения 1» (рис. 2,5). Проведем луч через данную точку в данном направлении и обозначим координату вдоль луча через з. Замечая, что днффе- делы интегрирования в формуле ренциальное выражение в левой части (2.32). уравнения переноса (2.28) представляет собой полную производную от интенсивности данного пакета квантов вдоль луча их распространения, перепишем уравнение в виде $16 теплоВое излучение и лучистый ткплооВмен В сгеде игл. н Это уравнение можно рассматривать как обыкновенное линейное урав- нение относительно интенсивности вдоль луча.
Решение его есть: в в в 1,(з) = ~ х',Хтрехр ( — ~ к,'вХ«в ) «(г'+1«,ехр ( — ~ к,'Ыз" ) . (2.32) вв Здесь 1, (з) — интенсивность 1, («, Я), которая рассматривается как функция координаты г вдоль луча. Интегрирование по лучу ведется, вообще говоря, от « — оо», а фактически от границы тела а» (как показано на рис. 2.5).
Через 1,«обозначена константа интегрирования. Выясним физический смысл полученного решения. Иалучение, протекающее в единицу времени через площадку единичного сечения в точке а луча (на единицу телесного угла), складывается из всех квантов, рожденных в трубке единичного сечения вдоль луча. В точке з' на отрезке луча с«а рождается количество излучения Х оа' = к'1вр в»з', которое распространяется вдоль луча 0 в единице телес- в ного угла.
От точки з' до точки» доходит только доля ехр ( — ~ вс,'й»" ) этого излучения; остальное поглощается по пути. Полная интенсивность складывается из квантов, рожденных на всех элементарных отрезках «(з', т. е. равна интегралу по лучу. Если излучающее тело имеет ограниченные размеры, то интегрировать следует фактически от границы тела з«до точки з. Таким образом, получается первое слагаемое в (2.32). Второе слагаемое представляет собой излучение, вошедшее в тело на границе г» извне, от каких-то внешних, посторонних источников. Постоянная интегрирования Х,«есть интенсивность этого входящего в тело излув чения.
Множитель ехр ) — ~ ксгвз" в учитывает ослабление его по пути вв от з» до з вследствие поглощения. Козффициент поглощения х,' и равновесная интенсивность Х,р зависят от точки вдоль луча благодаря зависимости от температуры и плотности вещества, которые каким-то образом распределены вдоль луча. Если зти функции известны, то нахождение интенсивности в любой точке тела сводится, как видно из формульг (2.32), просто к квадратуре — интегрированию вдоль луча.
Обобщим решение (2.32) на нестационарный случай, когда температура и плотность, а следовательно, 1 ю х,' и искомая интенсивность 1 зависят от времени. Очевидно, к моменту ~ в точку з приходят из точки в — в' з' кванты, рожденные в более ранний момент времени г — —. Точно с так же на своем пути они поглощаются веществом в точке г" в соответствие со значением коэффициента поглощения в момент прохождения этой точки г — — — . Поэтому нестационарное решение уравнения переноса можно записать в виде в в 1,(з, О = ~ (х',Х„р), „ехр ~ — ~ (к„') в,-в(а" ~ «(з' — ,' вс с + (1,,), „ехр [ — ~ (к,'),,- с(з" ~, (2.33) с излгчвник плоского слоя причем само значение граничной координаты ао берется в момент — — Легко проверить непосредственной подстановкой, что вырас жение (2.33) действительно удовлетворяет нестационарному уравнению переноса.
Из формул (2.32) или (2.33) видно, что вклад далеких источников в сильно поглощающей среде в интенсивность в данной точке экспоненциально падает с возрастанием расстояния. До точки а доходят кванты, рожденные только в ближайшей окрестности точки на расстояниях не более нескольких пробегов излучения или, точнее, на оптических расстояниях не более нескольких единиц. Это утверждение делается особенно наглядным, если коэффициент поглощения постоянен вдоль луча, Тогда экспоненциальные множители приобретают вид ехр ~ — ~ х, аЪ ~ = ехр[ — к,'(з — з )) = ехр ~ (2.34) гГг1 =к" (1, — 1,) илк его ревгения в форме (2.32).
$ 7. Излучение плоского слоя Вообще говоря, перенос излучения и лучистый теплообмен влияют на состояние вещества, на его движение или на распределение температуры в стационарном состоянии. Это влияние связано с тем, что,испускал и поглощая свет, вещество теряет или приобретает энергию, охлаждается или нагревается. В общем случае состояние вещества описьгвается уравнениями гидродинамики, которые при наличии лучистого теплообмека следует обобщить, учитывая взаимодействие излучения с веществом.
Исключение, в принципе, может составить лишь случай чрезвычайно резкого хода температуры, когда возрастание лучеиспускательной способности 1, = к,'1гр при удалении от точки сказывается сильнее, чем поглощение по пути при увеличении пройденного расстояния. Однако практически это почти никогда не случается, и основной вклад в интегралы (2.32), (2.33) дает отрезок луча около рассматриваемой точки величиной порядка нескольких (двух-трех) пробегов излучения. Но свет проходит такое расстояние за весьма малое время (',lс, которое, как правило, намного меньше характерных времен, в течение которых происходит заметное изменение состояния вещества (температуры и плотности); например, при длине пробега (' = 3 см время /;/с = 10-ш сея. Оно гораздо меньше характерных времен, с которыми приходится иметь дело в обычных гндродинамических течениях.
Это связано с тем, что обычно скорости вещества гораздо меньше, чем скорость света. Отмеченное обстоятельство является весьма существенным. Оно оаначает, что практически во всех случаях поле излучения в каждый момент времени можно рассматривать как квазистационарное, соответствующее мгновенному распределению источников испускании и поглощения, т.
е. распределению температуры и плотности вещества. В уравнении переноса излучения, следовательно, моя~но опустить производную от интенсивности по времени я рассматривать время как параметр, от которого зависят температура и плотность вещества, т. е. 1чр и к,'. В дальнейшем мы всегда будем исходить из такого упрощенного уравнения переноса 118 тепловое излучение и лучистый теплООБмен В сРеде 1Г.1, 1! Поскольку перенос излучения сам зависит от состояния вещества, его температуры и плотности, то в общем случае система уравнений, описывающих вещество и излучение, состоит из соответствующим образом обобщенных уравнений гидродинамики и уравнения переноса излучения. Во многих случаях, однако, «обратное» влияние излучения на состонние вещества невелико, либо же может быть учтено каким-нибудь приближенным способом. Например, при достаточно низких температурах лучистый теплообмен или потери энергии тела на излучение несущественны.
При этом состояние вещества практически не зависит от излучения, задачи нахождения поля излучения н описание состояния вещества разделяются. Состояние вещества описываются, например, уравнениями гидродинамики, а поле излучения можно найти в каждый момент на основании известных распределений температуры и плотности и известных коэффициентов поглощения.
Как правило, практический интерес в этом случае представляет определение не всего полн излучения в среде (поскольку оно все равно не влияет яа состояние среды), а нахождение излучения, выходищего с поверхности тела, т. е. вопрос о свечении нагретого тела, о яркости его поверхности, спектре излучении, распределении потока по углам и т. д. Если известны оптические свойства вещества, т. е.
коэффициент поглощения х» е) как функция частоты, температуры и плотности и распределения температуры и плотности в теле, то ответ на все этн вопросы содержится в интегральной формуле для интенсивности (2.32). Интересуясь излучением, выходящим с поверхности тела, можно;. не нарушая общности, отсчитывать координату вдоль луча з от поверхности в глубь тела и распространить интегрирование по лучу до бесконечности: Ш вЂ” )н е«' 1, (я) = ~ .(„„[Т (а) [ е о х,', (з) «Ь. о (2.
35) бесконечной). В атом случае интенсивность излучения у поверхности тела равна просто 1,» (Т), так как СО 1«(1«) = ~ 1,те 'Йс=7,Р; ~й=х»1(а, я=- ') х,',1(я. о *) Напоминаем, что мы рассматризаем здесь тольно среды с показателем нре. яомления, раняым единице, какоеммн яетяются газы Если тело ограничено, то вне его пределов коэффициент поглощения равен нулю и соответствующий отреаок интегрирования выпадает. Если тело ограничено, но извне с «аадней» стороны в него проникает поток излучении, то, распространяя интегрирование по лучу до бесконечности, мы тем самым включаем в интеграл эти «посторонние» источники света.
Рассмотрим несколько простых примеров, представляющих практический интерес. Пусть тело занимает бесконечное полупространство х » О и ограничено плоской поверхностью. Температура тела постоянна, коэффициент же поглощения может меняться произвольным образом от тонин к точке (но так, чтобы оптическаи толщина тела ) х»дх была о 118 ПЗЛУЧКННК ПЛОСКОГО СЛОЯ '1'ело излучает как абсолютно черное температуры Т.
Интенсивность /„ есть количество лучистой энергии, проходящем в 1 сек в единице телесного угла через единичную площадку, помещенную перпендикулярно к направлению движения квантов ь). Для черного излучателя она не зависит от угла. Количество лучистой энергии, выходящей в 1 сел /) через 1 смз поверхности под углом 6 к нормали, на единицу телесного угла (назовем эту величину испускательной способностью тела 1, зз)) равно 1, = /, (д) сов д.
(2.36) Для черного излучателя 1,=/чрсов11. (2.37) Рнс. 2.б. Схема к задаче об излучения плоского слоя, Рассмотрим излучение плоского слоя конечной толщины г/ с постоянными температурой Т и коэффициентом поглогцения х"- Интенсивность излучения у поверхности в направлении, образуюгцем угол 6 с нормалью (рис. 2.6), равна дьгог Е х'х хч д!гаг Е ч дх — дтч соз б з о (1 е саге) / (1 е созе) (2.38) х'д /ч=/чр — '~ «/чр сов б Интенсивность у поверхности пропорциональна 1/сов 6, а испускательная способность слон при этом не зависит от угла 1ч — /ч сов 6 /чрхч г( ПРИ сов д Р тч (2.40) э) Размерность / есть гигргия/смг ггя гтград.частота =- эрг/гмг гтгрид.
*г) Не следует путать ее с яспускательной снособностые среды / илн Ут Гдо т, = ~ х,'г(х — оптическая толщина слоя в направлении нормали з к поверхности. Из формулы (2.38) видно, что интенсивность излучения слоя конечной толщины всегда меньше равновесной. Спектр отличается от планковского Т,р (Т) множителем 1 — е 'ч~'~'Р. Этот множитель зависит от частоты благодаря частотной зависимости коэффициента поглощения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
