Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В момент х = О убирается заслонка, сдерживающая газ, и последний начинает беспрепятственно расширяться в пустоту. После удаления заслонки происходит распад разрыва и по газу к центру распространяется волна разрежения. Передние слои газа рас2 ширяются в пустоту с максимальнои скоростью истечения им„х = — со. у — 1 Когда волна разрежения доходит до центра, движение — разлет— охватывает все вещество. В процессе адиабатического разлета благодаря совершаемой газом работе расширения вещество разгоняется н его начальная внутренняя энергия Е постепенно переходит в кинетическую энергию радиального движения. Можно показать [см.
[15[), что при изэнтропическом разлете (а наша задача изэнтропична, так как в начальный момент в силу постоянства давления и плотности по радиусу энтропии всех частиц одинаковы), возмущения из внутренних областей шара не достигают передней границы, так что она движется с постоянной 2 скоростью и, = со. Закон движения границы газового шара есть пах — у 1 2 Л = соз -[- Ло.
Найти точное аналитическое решение поставленной у — 1 задачи не удается, так как задача не автомодельна и необходимо решать систему дифференциальных уравнений в частных производных, что удается сделать аяалитически лишь в очень редких случаях. В том, что задача не автомодельна, легко убедиться, замечая, что имеется характерный масштаб длины — начальный радиус шара Ло. Однако эта задача обладает той особенностью, что с течением времени движение асимптотически переходит в автомодельное. В самом деле, в стадии большого растпирения при Л »' Ло роль начального параметра длины Ло становится все менее и менее существенной, так как масштаб длины Л, становится очень малым по сравнению с характерным масштабом течения — фактическим радиусом шара Л.
Движение газа с течением времени как бы «забывает» о начальном радиусе Ло. Все же движение не полностью «забывает» о начальных условиях, и в этом проявляется существенная неавтомодельность, залотттенная в рассматриваемом процессе. 92 ГАЗодинАмикА и клАссическАя теоРия удАРных волн 1гл. 1 Рассмотрим асимптотическое поведение решения при 1 — и со. Сила, действующая на единицу массы газа, при этом стремится к нулю. В самом деле, эта сила — — — по порядку величины равна — —, 1 ди Р З дг РВ ' где р и о — некоторые средние по массе давление и плотность в момент 1. Но среднее давление р пропорционально отношению тепловой энергии всего газа к его объему р Е„„/Л' и во всяком случае меньше, чем Е/Вз.
Средняя плотность 9 1/Лз, поэтому сила стремится к нулю во всяком случае не медленнее, чем 1/В. На самом деле сила убывает при В -и оо быстрее, чем 1/Л, так как тепловая часть энергии уменьШаЕтоя,рн аднабатИЧЕСКОМ раСШИрЕНИИ: Е„и Мз М вЂ”" дт-1 е Л-з1т-11. Отсюда р Е„,/В' В-зт, и сила убывает как Л-зг1-з = = Л-1-Ит-Ы. УраВНЕНИЕ дннжэпня В ПрздЕЛЕ 1 — и со, Л -+- оо ПрИОбрЕ- тает асимптотический вид: ди ди ди 1 др 1 — =- — + и — = — —— — +О, (1 114) д1 д1 дг о дг и1+З(т-1> т. е. скорости всех частиц стремятся к постоянным значениям, причем и = г/1.
При /-~ оо разлет приобретает инерционный характер. Это следует и непосредственно из условия сохранения полной энергии газа Е. Полная энергия складывается из тепловой и кинетической, ио тепловая часть энергии при расширении асимптотпческн стремится к нулю, следовательно, кинетическая энергия стремится к Е, и средняя скорость газовой массы асимитотически стремится к постоянному предельному значению и = )г2Е/М, которое находится в определенном отношении со скоростью границй1 2 2 г' Ро 2 .г иших =- со= — — ои 1 у — = ) у(у — 1)е= (например, в одноатомном газе у = 5/3 и и,„= 2,9 и ). Подставляя асимптотическое решение для скорости и = г/1 в уравнение непрерывности, мы убеждаемся в том, что ему удовлетворяет следующая функция плотности: (1.115) где / — совершенно произвольная функция г//.
Поскольку радиус границы шара равен Л .= иии„8, зту формулу можно переписать в виде ч (./Е) яд Асимптотическое распределение плотности по радиусу не меняется с течением времени; оно лишь растягивается в соответствие с возраста- вием Л, оставаясь подобным самому себе, автомодельным. Действительно, если в газе не действуют никакие сйлы и каждая частица летит с постоянной скоростью по инерции, то никакого перераспределения массы не происходит, и профиль плотности остается неизменным. Однако внутренняя неавтомодельность задачи сказывается в том, что зто асимптотическое распределение плотности не может быть найдено 9 29] АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ РАЗЛЕТА ШАРА В ПУСТОТУ 93 иэ уравнений асимптотического движения, которые допускают любое распределение.
Распределение плотности складывается в ранней стадии, когда в газе действуют силы давления. Ко времени, когда газ сильно расшкряотся, оно как бы «застывает». Распределение плотности зависит от начальных условий и может быть найдено лишь на основе полного решения задачи. Как уже отмечалось, точное решение задачи с начальными условиями О«(г) = сопэг, р« (г) = сопэ1, и = О нельзя найти в аналитическом виде. Приближенное решение можно сконструировать, исходя из рассмотрения аналогичной плоской задачи о разлете в пустоту газового слоя конечной массы с постоянными начальными распределениями, которую можно решить.
Это приближенное решение приведено в книге К. П. Станюковича [15); оно имеет вид: А »2 '~а 3 — у 9=--Л» 1 — ДЕ /, а= 2 В=вшах/ './ причем решение справедливо только для Пелочисленных значений а = = О, 1, 2, 3,..., которые соответствуют следующему ряду значений показателя аднабаты у = 3, 5/3, 7/5, 9/7 ... Константу Л можно определить из условия сохранения массы, если проинтегрировать функцию плотности по всему объему шара.
Соответствующая формула приведена в [15[. В 29. Лвтомодельные режимы разлета шара в пустоту и=гг (~) Л ' (1 116) где функция времени Г (1) выражена через скорость границы шара Л = «И/«[2. Подставляя эту формулу в уравнение движения, получим соотношение — = — ог (г" -[- г'), (1.117) которому должны удовлетворять распределения р и 9 по радиусу в течение всего процесса, в том числе и в начальный момент времени. Только прн этом условии решение будет принадлежать к рассматриваемому классу. Рассмотрим два конкретных примера таких решений.
1. Пусть плотность 9 постоянна по всему объему и не зависит от радиуса М «кн»/3 (1. 118) Существует класс решений задачи о разлете газового шара в пустоту, в котором распределения всех газодинамических величин строго автомодельны, т. е. с самого начала зависят от радиуса г в виде отношения г к радиусу границы шара /7 и не содержат какой-либо иной зависимости от г. К этим решениям приводят не любые начальные распределения величин по радиусу, а только такие, которые удовлетворяют определенному соотношению.
Указанный класс решений характеризуется линейным распределением скорости по радиусу (такие решения были исследованы Л. И. Седовым !5[): 94 ГАЗОДинАмикА и клАссическАЯ теОРиЯ УДАРных Волн ?гл т Легко проверить, что задание функций плотности и скорости в виде (1.118), (1.116) автоматически удовлетворяет уравнению непрерывности при про- извольной зависимости Л(~). Подставляя (1.118) в (1.117) и интегрируя, получим параболическое распределение давления по радиусу Р =Ра(С) (1 — дз ) (1А19) которое должно быть задано с самого начала для того, чтобы выполнялось условие (1.117). Как видим, задача не изэнтропична, так как плотности у всех частиц одинаковые, а давления разные. Подстановка р и 9 в энтропийное уравнение дает связь между неизвестными функциями: давлением в центре рэ(С) и радиусом шара Л(г): ро (с) = Айт = А ( — ) :ЗМ ~т 1 (, 4л )-пзт ' (1.120) (1 А 21) где и по-прежнему определяется как корень пз среднего по массе квадрата скорости и =)у' и' = $''2Е/М.
2. Пусть энтропии всех частиц одинаковы (изэнтропическое движение), т. е. 8 (г, Г) = сопзС, р/Ст = 1 = сопзС (А — энтропийная константа). Подстановка р = Арт в соотношение (1.117) приводит к следующим профилям давления и плотности: (1А22) р = А9~ (1 — — —,) (1.123) которые, естественно, должны быть заданы с самого начала. Плотность в центре д, можно определить, интегрируя плотность по объему и приравнивая интеграл массе: это дает, как обычно, д, М/Лэ, с численным коэффициентом пропорциональности, зависящим от у.
Соотношение (1.117) приводит после подстановки (1А22), (1.1?3) к уравнению второго порядка для Л (?). Предельное значение скорости границы и, где А — константа, зависящая от начальной энтропии з центре шара. ??одставляя, наконец, (1.118), (1.119), (1:120) в уравнение движения (1.117), получим дифференциальное уравнение ' второго порядка для закона движения границы шара Л(з).
Решая его с начальным условием С=О, Л=Лэ, Л=Лю найдем и полное решение задачи. В частности, можно считать, что в начальный момент газ покоится: Лэ=О. Если интересоваться асимптотикой ~ — + со, можно сразу положить Л = сопзС = им где и, — предельная скорость границы шара (решение дифференциального уравнения, естественно, дает Л вЂ” ь сопзС при С вЂ” ~ оэ). Величину и, можно с помощью радиальных распределений 9 и и вычислить из условия сохранения энергии, имея в виду, что при 1-+ со вся энергия превращается в кинетическую. Получим таким образом: 1 29) Автомодельиые Режимы РАзлетА ШАРА В пустоту 96 можно получить из условия сохранения энергии: Я Е= ~ -2 — 4пг Ыг, Г Окз о если подставить в интеграл р по формуле (1.122) и и = и,г/Л. Это дает связь и, с и = '1/2Е(М, причем коэффициент пропорциональности также зависит от у.
Оба коэффициента выражаются определенными интегралами, которые вычисляются при цомоп(и гамма-функций. Приведем численные результаты. Приу = з/9 О,= 3,4р, и, = 1,64 и при у= /з р, = 6,6(), и, = 1,92 и, где о = М/(4ЛЛ'/3) — плотность, средняя по объему. В пределе при 1-+- со В и,(е). Отметим работу В. С. Имшениика (16), в которой рассматривается задача об изотермическом разлете газа в пустоту, и работы И. В.
Немчинова (18), исследовавшего разлет в пустоту газа, н котором происходит постепенное выделение энергии. Отметим также работу И. В. Немчинова [19), в которой рассматривается разлет в пустоту трехосного фазового зллипсоида. *) В работе (17) сообщаются некоторые результаты численного решения уравнений гааодинамики для задачи об изэатропическом раалете шара в пустоту при однород- 5 ных начальных условиях н Т = —, (при г= О газ в сфере покоится, плотность и давле- 3 ние его постоянны по радиусу). К сожалению, в работе не приводится асимптотический профиль плотности, но дается график О, (1). Видно, что с течением времени зависимость стремится к О, — 1/19, причем козффйциент в этом предельном ааконе оказывается всего в 1,2Е раза больше, чем в описанном здесь автомодельном решении.
ГЛАВА П , ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ з 1. Введение и основные понятия До недавнего времени высокими температурами порядка десятков и сотен тысяч или миллионов градусов интересовались главным образом астрофизики. Теория переноса излучения и лучистого теплообмена создавалась и развивалась как необходимый элемент для понимания процессов, протекающих в авеадах, и объяснения наблюдаемого свечения звезд. В значительной мере эта теория переносится и на другие высокотемпературные объекты, с которыми имеет дело физика и техника сегодняшнего дня. В этой главе мы познакомимся с основами теорий теплового излучения, лучистого переноса энергии, теории свечения нагретых тел и сформулируем уравнения, описывающие гидродинамическое движение вощества в условиях интенсивного излучения. В изложении этих вопросов мы будем ориентироваться на «земные» приложения, останавливаясь на некоторых момонтах, не столь важных для астрофизики и даже не возникающих в этой области *).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
