Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Черным !7!. Предположим, что вся масса газа, охваченного взрывной волной, собрана в тонкий слой у поверхности фронта, плотность в котором постоянна и равна плотности на фронте О, = — О«. Толщина слоя Аг опре- 7+1 1 т 1 деляется из условия сохранения массы: 4лл» В о«Н у — 1 4яй«Лгр = — З э,— З у+1 Е А = — — = —— Например, при у = 1,3 Ьг/Л = 0,0435.
Поскольку слой очень тонкий, скорость в нем почти не меняется и совпадает со скоростью газа на фронте и,. Положим приближенно, что плотность в слое бесконечно велика, а толщина соответственно бесконечно мала; масса же конечна и равна массе М, первоначально находившейся в сфере радиуса В2М=О»4яЛ«/3. Обозначим давление на внутренней стороне слоя через р,. Пусть оно составляет долю а от давления на фронте волны р.
= ОРО 88 РАЗОДинАмикА и клАссическАЯ теоРиЯ УДАРных ВОлн (гл В Запишем второй закон Ньютона для массы М: л — Ми, = 4ЯЛ»р, = 4Л В'ар,. 32 Масса М = 4КВ«д«/3 сама зависит от времени, так что по времени дифференцируется не скорость, а количество движения Ми,. На массу изнутри действует сила 4КЛ»р„так как ра есть сила, действующая на 1 смз поверхности; сила, действующая извне, равна нулю, так как начальным давлением газа пренебрегаем. Выражая и, и р, через скорость фронта Р = ИВ/41 по формулам (1.111), получим — —,В'Р =ал».
Замечая, что и интегрируя уравнение, найдем Р = аЛ-211-а) где а — постоянная интегрирования. Для определения величин а и а воспользуемся законом сохранения энергии. Кинетическая энергия газа равна Е„„= Мй/2. Внутренняя энергия сосредоточена в «полости», ограниченной нашим бесконечно тонким слоем, давление в которой равно давлению р, (фактически этоозначает, что не строго вся масса заключена в слое, а в «полости» также имеется небольшое количество веще4илз ства). Внутренняя энергия равна Ет= — -' — р,.
Таким образом, — 3 1 4ия» и' Е= — — р,+М вЂ” '. у — 1 3 2 Снова выразив р, = ар, и и, через.0 и подставляя Р, получим Поскольку энергия взрыва Е есть константа, показатель степени у переменной величины Л должен обратиться в нуль. Это дает а = 1/2. Получающееся уравнение определяет постоянную а, 3 (у — 1)(у+1)» 12 ( Е,з 4л (Зу — 1) 1 (П«) Из формулы Р Л-зм-а> с а = 1/2 и формул (1.111) следуют уже известные нам законы: 3 з 2 Р— В з,р,— В з,и,— В 2  — 1». С помощью выражения для а найдем коэффициент пропорциональности в законе В за..
2 2 В (5 )з з Г 75 (У вЂ” 1)(У+1)2 1»(е)ь 3 (е)з $22] О точечном ВЗРыВе с учетом пРОтиводавления 89 Сопоставим полученное приближенное решение с точным. В приближенном решении давление в центре равно половине давления на фронте, независимо от показателя адиабаты. В точном — р, = 0,35р, при у = 1,4; р, = 0,41р, при у = 1,2. Численные коэффициенты $е в законе распространения ударной волны (1 110) в приближенном решении равны: $а — — 1,014 при у = 1,4 и $2 = 0,89 при у = 1,2. В точном решении при тех же значениях у, $2 = 1,033 и 0,89 соответственно.
Как видим, приближенное решение дает неплохие результаты. Соображения, по духу близкие приведенным выше, были испольаованы А. С. Компанейцем [13! для приближенного рассмотрения сильного взрыва в неоднородной атмосфере. См. об этом раздел 5 гл. Х!К т 27. Замечания о точечном взрыве е учетом противодавления На поздней стадии распространения взрывной волны, когда давление во фронте ударной волны становится сравнимым с начальным давлением газа (точнее, когда р2 становится порядка [(у -[- 1)/(у — 1)! ре, см. сноску на стр. 84), автомодельное решение задачи о сильном взрыва теряет силу.
Процесс на этой стадии уже не автомоделен, так как в задаче имеются характерные масштабы длины и времени, которые можно составить иэ величины полной энергии взрыва Е и начальных параметров газа. Масштабом длины служит радиус сферы, начальная энергия которой сравнима с энергией взрыва г, = (Е/ра)02. Масштабом времени — время, за которое звук пробегает это расстояние 2е = ге/сэ, где ее = (уро/де)02. Так, напРимеР, пРи взРыве в возДУхе ноРмальной плотности (Оз = 1,25 Х Х 10-' г/ем', ре — — 1 атм, ее = 330 м/еек) для энергии Е = 102~ эре, соответствующей примерно энергии, выделяющейся при взрыве 20 000 тонн тротила, мас]птабы равны ге — — 1 км, 2е — 3 сек.
Решение задачи о распространении ударной волны точечного взрыва с учетом противодавленил было получено в ряде работ [8 — 10! путем численного интегрирования уравнений газодинамики в частных производных. Все результаты расчетов, подробные таблицы и графики распределений газодинамических величин на разные моменты времени можно найти в указанных работах, а также в четвертом издании книги Л. И. Седова [5!. Мы ограничимся здесь лишь некоторыми замечаниями по поводу качественного характера процесса.
С течением времени амплитуда ударной волны становится все меньше и меньше, давление на фронте асимптотически приближается к начальному давлению газа — атмосферному. Соответственно уменьшаются сжатие газа во фронте волны и скорость ее распространения, которая асимптотически приближается к скорости звука се. Закон распространения ГГ 22]Ь ПОСтЕПЕнно пЕрЕХодит В закОн В = сей Когда давление в центральной области взрывной волны становится близким к атмосферному, расширение газа в атой области прекращается и газ останавливается. Область движения газа выносится вперед, ближе к фронту ударной волны,, которая постепенно превращается в сферическую волну типа акустической. За областью сжатия в такой волне следует область разрежения, после чего воздух приходит к своему конечному состоянию. Конечное состояние слоев, далеких от центра, по которым ударная волна прошла, будучи слабой, мало отличается от начального.
Распределения давления, скорости и плотности по радиусу в какой-то поздний момент Г 90 ГАЗОДинАмикА и клАссическАЯ теОРиЯ УДАРных волн 1гл. 1 имеют вид, изображенный на рис. 1.51. Если проследить за изменением во времени давления на определенном расстоянии от центра взрыва, то получится картина, показанная на рис. 1.52. В момент г„когда к данному месту подходит фронт ударной волны, давление скачком возрасл тает, затем уменьшается, причем падает до величины ниже атмосферного 1положительная и отрицательная фазы давления), а затем возвращается к начальной величине.
Как уже было сказано, конечное состояние гала на больших расстояниях от центра взрыва почти не г, г Рис. 1.52. Зависимость давления от времени в определенной точке на бслыпом расстоянии ст центра в»рива. Рис. 1.51. Профили давления, плотности н скорости на поздней стадии» взрыва, когда ударная волна становится слабой.
отличается от начального. Па малых же расстояниях газ в конечном состоянии оказывается сильно разреженным и высоконагретым. Это связано с тем, что через частицы, находящиеся вблизи центра, ударная волна прошла будучи очень сильной, и энтропия Р этих частиц гораздо выше начальной. Р«Асимптотические распределения конечных плотности и температуры по радиусу вблизи центра можно найти иа условия адиабатического расширения до атмосфер- Т ного давления частиц, нагретых во фронте сильной ударной волны. Повторяя вычисления, сделанные в конце $ 25, но теперь уже без зависимости р, от 1, а полагая р, = рс — — сопе1, найдем те же самые распределения по радиусу при г -ь О, что и в аадаче о сильном взрыве О, г»дт-'>, 7, г-3!(Т-«).
Рнс. 1 53. конечные Распродано конечные распределения О (г) и т' (г) ння плотности н температуры О со) прн сильном варыве (в покаааны на рис. 1.53. В нагретой области предположении адиабатичнссти сосредоточена довольно значительная доля процесса). энергии взрыва,)порядка нескольких десятков процентов (она зависит от у). Это — та энергия, которая пошла на необратимое нагревание газа, свяаанное с необратимостью процесса ударного сжатия. Остальная энергия уносится вперед вместе с ударной волной и рассеивается в пространстве. О судьбе энергии, «застрявшей» в области центра, речь пойдет в гл. 1Х 1воздух в этой области остывает аа счет светового излучения).
Повдняя стадия распространения взрывной волны изучалась теоретически и зкспериментально многими авторами. Предельные заковы $28] АДИАБАТИЧЕСКИЙ РАЗЛЕТ В ПУСТОТУ ГАЗОВОГО ШАРА 91 распространения волны на больших расстояниях были найдены Л. Д. Ландау [11[. Волыпое практическое значение имеет эмпирическая формула М. А. Садовского [12[ для давления на фронте в аависимости от расстояния от центра взрыва. Заметим, что закон подобия р, = / (Ет~»/Л) справедлив и на поздней стадии распространения ударной волны, когда Рт — Ро хб Ро. 3 28.
Адиабатический разлет в пустоту газового шара Познакомимся еще с одной газодинамической задачей, с которой нам придется иметь дело в дальнейшем [в гл. Ъ'111), задачей о разлете газа в пустоту. Представим себе газовый шар, занимающий в начальный момент сферический объем радиуса Ло. Пусть, для определенности, в начальный момент газ покоится и заполняет объем равномерно с плотностью 9« [полная масса газа ЛХ = 9«4яЛ,'/3). Начальное давление газа также считаем постоянным и равным ро, так что полная энергия газа есть Е = — з = — — ро — [газ предполагается идеальным с постоянной теплоемко- 1 4ЗЩ стью).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
