Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Это следует из энтропийного уравнения (1.97), которое в отсутствие вязкости принимает вид рит г =-и-„-х —,=х и а (1.103) о" г ат ат лх ' (в слабой волне температура меняется мало, ~к так что коэффициент теплопроводности можно считать постоянным). Оуществоваоа ние максимума энтропии связано с тем, что теплопроводность перекачивает тепло О из области с более высокой температурой в область с более низкой. Поэтому газ, вте- РИС. 1 41 РаСПРЕДЕ Е Я вЂ” кающий в Волну, сначала нагревается за счет псратуры и аптрояии во фронте свабой ударная воняя беа теплопРоволности (с возРастанием энтРопии), учета вяакости.
а затем охлаждается (с убыванием энтропии). Ах — аффентивнан ширина франта. В конечном счете по сраВнению с начальным значением энтропия, конечно, возрастает. Это иллюстрируется рис. 1.41: продвижение вдоль оси х со скоростью и (х) соответствует тому, что мы следим за изменением состояния заданной частицы газа во времени. Оценим теперь ширину фронта волны. Для этого разделим уравнение (1.103) на Т и проинтегрируем его по х от начального состояния А (х = — ОО), где с)Т~с(х = О, до какой-либо точки х в волне (при этом воспользУемсЯ тем, что йи = Оаиа = сопз1): 1 Лат Г 1 Лт Г Лт 1 йеиа(Π— Оо)=х ~ — —;;11х=х'( — — „+ ~ „—,с(Т(~.
(1.104) Ъ Та Применим это уравнение к точке конечного состояния В (х = + са), где с(ТI<1х = О. При этом первый член в фигурных скобках исчезает и т, 1 от йоио (О1 — Оа) = х ~ — — — ЙТ. Та Их та Определим эффективную ширину фронта ударной волны Лх при наличии одной лишь теплопроводности равенством — ".=." =! — ";. !... геометрический смысл которого ясен из рис.
1.41. Полагая для оценки интеграла 11Т1их (Т, — Та'уЛх, найдем (т,— то)а Есис (~ — Оа) — х - — — — —. Та Ах Выражая скачок температуры через скачок давления, получим: Тат Уа 7 о — ( В -) (Р1 Ро) — — (Р1 Рс) 1 зз! СТРУКТУРА И ШИРИНА ФРОНТА СЛАБОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 75 Рве. 1.42. Диаграмма Р,У примекктельяо к задаче о структуре фронта ударной волны без учета теплопрозодвостп. Соогоккке в волке кеккегок вдоль ПУККтяРКОй КРИВОИ АВ. где ср — теплоемкость при постоянном давлении; воспользовавшись формулой (1.89) для скачка энтропии и имея в виду приближенные равенства Гезу Х У, длЯ газов ( — ) — х Оос (со а также то что и,, с„полУчим Зе)з Р из (1.104) оценку ширины фронта: Лх — 1 — — —.
(1.105) Рг — Ро Ширина фронта обратно пропорциональна амплитуде волны, причем масштабом ее служит длина пробега молекул й Из уравнения (1И04) можно оценить и величину максимального приращения энтропии. В точке максимума энтропии дЯЯх = 0 градиент АТЬ максимален. При этом основную роль в фигурной скобке (1.104) играет Р первый член, который пропорционален ЛТ~Лх Лр/Лх (Лр)', тогда как второй член пропорционален (ЛТ)з/Лх (Лр)з. 8, Отсюда видно, что Ком — Яо (Лр)', тогда как Я, — Яо (Лр)з.
Рассматривая внутреннюю структуру фронта ударной волны с учетом одной н лишь тепл опроводности, можно утверждать дг только то, что температура в волне меняется непрерывным образом. Что касается А других величин: плотности, скорости, давления, то они, вообще говоря, могут испытывать разрыв.
И действительно, рассмотрение структуры ударных волн без учета вязкости показывает, что при достаточно большой амплитуде построить непрерывное распределение для всех величин в волне невозможно. Эта трудность была отмечена еще Рэлеем (подробно об этом см. у 3, гл. У11). Она указывает на принципиальную роль вязкости в осуществлении необратимого ударного сжатия веществ» в волне. Рассмотрим теперь второй частный случай. 2) Есть вязкость, а теплопроводности нет: х = О.
При этом следует сохранить Общее уравнение импульса (1.99). На плоскости р, И точка, описывающая состояние в волне, пробегает путь от точки А до точки В уже не вдоль прямой АВ, а вдоль некоторой кривой линии, изображенной на рис. 1.42 пунктиром.
Из энтропийного уравнения без члена теплопроводности (1.106) следует, что энтропия в волне монотонно возрастает от начального значения Яо —— ЯА до конечного Яг — — - Яв, так что пунктирная линия целиком заключена между адиабатами Пуассона Яе и Я, (см. рис. 1.42). ПосколькУ адиабаты обРащены выпУклостью вниз ((дзР/д)гз)в ) О), пунктирная линия лежит целиком кинге прямой АВ *). е) В самом деле, вертикальное расстояние меяОГу адкзбатямк яг в яе пропорцкокальпо Я, — Я~ — (рг — р )', тогда кзк вертикальное расстояние между точкамк А и В есть рг — ро. Поэтому участок прямой ААГ, ка котором пунктирная линия в пряпцппе могла бы пройти выше прямой, есть величина малая по сравнению с оововкой частью прямой ЛА. 76 ГАзодинАмикА и клАссическАЯ теОРия УдАРных ВОлн 1гл.
! Уравнение кривой, вдоль которой происходит переход от точки А в точку В, есть о/ )' ~ 4 ии Р =Ро-'; йои~( 1 — —. /+ — Ч вЂ”. Уо!,/ 3 ох (1А07) Поскольку кривая целиком лежит ниже прямой, во всех точках внутри волны о)и/о/х ( О. Если ось х направлена в сторону движения газа, то и ) О, т. е.
газ в волне только тормозится, а следовательно, монотонно сжимается. Таким образом, и рассмотрение структуры фронта ударной волны ~во с учетом вязкости приводит к тому, что пРи (доР/д)г!)з ) 0 возможно только сжатие — и газа в ударной волне. Профили скорости и плотности в волне имеют вид, изображенный на рис. 1.43. ио Определим эффективную ширину фронта Ьх равенством 1 лх х М вЂ” ай ии ! ') Ьх йх ~шах Рно.
1.43. Профили нлоткостн око оста во *р вте ударной аналогично предыдущему. Геометрический волны; Ьх — эффективная шн- смысл его ясен. рина волны. Максимальнан абсолютная величина градиента ~ ди/дх~о1а, определяется согласно (1.107) максимальным вертикальным отклонением прямой АВ от пунктирной линии, т. е. от адиабат Пуассона Яо или Я!. Это отклонение, как мы уже знаем, соответствует середине отрезка АВ и дается формулой (1.102).
Таким образом, Подставляя это выражение для (о)и/дх(шох в (1.108), замечая, что Ч = рот Оо1Р Оо(со (т — кинематическая вязкость), а также, что ио — ио=-)/(Р! — Ро)(го — )г!) — 1//(Р! — Ро)'~ -- — ' "' с„ Ро придем к формуле (1.105) для ширины фронта: Д„1 У Ж/ ) о — )! Р! — Ро Ширину фронта можно оценить и с помощью энтропийного уравнения (1.106) аналогично тому, как это было сделано в первом случае: о! — со (иа — а!)о РоиоТо — — „-.— — Ч Подставляя сюда выражение (1.89) для скачка энтропии и проделывая простые преобразования, придем к прежней формуле для Ьх.
При построении непрерывного решения с одной только внзкостью никаких ") Ьх навывают иногда шириной фронта по Прандтлю. 77 з 221 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА трудностей, подобных тем, которые появляются при учете одной лишь теплопроводности, не возникает. Это обстоятельство, как уже отмечалось, имеет глубокое физическое основание и свидетельствует о принципиальной роли вязкости в осуществлении ударного сжатия. Именно вязкость является тем механизмом, благодаря которому происходит необратимое превращение в тепло части кинетической энергии набетающето на разрыв потока, т.
е. трансформация энергии направленного движения молекул газа в энергию хаотического движения засчет рассеяния их импульса. Теплопроводность в этом отношении играет косвенную роль, так как она приводит лишь к переносу энертии хаотическото движения молекул из одного места в другое, но не влияет непосредственно на направленное движоние.
Если рассматривать ударные волны не слишком большой амплитуды в обычном газе, в котором транспортные коэффициенты — кинематическая вязкость т и температуропроводность т — примерно одинаковы и определяются одной н той же длиной пробета молекул 1 (Р— т 1с), то мы по-прежнему получим формулу (1.105) для ширины фронта. В этом легко убедиться, рассматривая общее энтропийное уравнение (1.98) с учетом как вязкости, так и теплопроводности. Формула (1.105) показывает, что при скачке давления в волне порядка величины самого давления перед фронтом ширина фронта порядка длинь1 пробега молекул. При дальнейшем увеличении амплитуды волны, если пользоваться той же формулой, ширина становится меньше пробега. Этот результат, конечно, не имеет физического смысла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
