Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Поскольку левую часть равенства можно разложить до величин третьего порядка, в разложении давлення достаточно ограничиться членами второго порядка по разности У, — Ко и опустить член, содерх'ащий приращение энтропии, так как он даст в правой части слагаемое, пропорциональное (5',— Яо) (У,— Уо), которое есть величина более высокого порядка малости, чем ($',— Ко)о: Ро=Рот( ду ) ()'1 )'О)+-2-( дуо-) (Уо — Уо)~. Производя сокращения в уравнении адпабаты Гюгонио с подставленными разложениями, получим свяаь приращения энтропии с приращением объема: 7'о (С1 бо) = 12 ( дуе )е (Ро ~"1) (1. 88) 1 Где То (О1 — Оо) = — - о- -д о (Р1 — Ро)е.
(1. 89) Если исходить из уравнения аднабаты Гюгонно, записанного в форме (1.72), где вместо внутренней энергии стонт энтальпия, получим аналогичным путем 63 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ СЛАБОП ИНТЕНСИВНОСТИ $ $81 Взаимное расположение ударной аднабаты Н и обычной Р показано на рис. 1.34. Для ясности отметим, что отрезок СХ) — величина первого порядка малости относительно Ио — г'и ВŠ— второго, а ЕР— третьего. Вернемся к геометрической интерпретации приращения энтропии в ударной волне (рис.
1.35). Как было показано в $ 16, величина Т ЬЯ изображается площадью фигуры АРВСЕА, Разобьем ее прямой АС на две части: сегмент ЛСЕА и треугольник ЛВС. Площадь треугольника АВС Ро Рпс. 1.34. Взаимное расположение удариой гг и обычной Р адиабат. РХ вЂ” касательная к едивбвтви в точке квчвльяого состояяия А. В удвряай волне слябов ивтексивяости отрееок СР— величина первого порядке волости, НŠ— второго, ЕР— третьего. Рпс.
1.35. К геометрической иитерпретации приращения энтропии в ударной волив. равна половине произведения основания ВС на высоту Ио — г О Отрезок ВС прн небольших изменениях всех величин, т. е. в волне слабой интен- сивности, равен ( — ~ сьЯ, т. е. Гдр Ч \, дЮ,)т где Рс億— площадь сегмента АСЕА. Отсюда ПРи малых изменениЯх объема а-ьО и ТЬО -ь Роев„, т. е.
попРавка на площадь треугольника мала. И действительно, она более высокого порядка малости, чем площадь сегмента, которая имеет порядок Т суЯ. Составчяя выражение для площади сегмента Уо ТбВ= "'+Р (г'о — ),) — ~ (р~') Уь и подставляя разложения для слабых Волн, придем, как и следовало ожидать, к формуле (1.88). Таким образом, и из геометрического построения видно, что знак ЛВ зависит от знака площади сегмента, т. е. От того, проходит ли секущая АС 64 РАЗОдинАмпкА и клАссическАя теОРия удАРных Волн ~гл, 1 выше или ниже обычной адпабаты илн, что то же самое, обращена ли адиабата выпуклостью вниз или вверх. Сопоставим скорости ио, и, со скоростями звука с,, с,.
Как мы знаем, отношение ио/со определяется соотношением наклонов прямой АВ (см. рис. 1.28) и касательной к адиабате Пуассона в точке А. Отношение и,/с, определяется соотношением наклонов прямой ЛВ и касательной к здиа- бате Пуассона, проведенной через точку В. Запишем выражения для наклонов всех трех прямых: р,— р, /./р,, 1 здор; — чс — ( —, - ) ($',— У,) — прямая ЛВ, /' др , г др ', — — — — касательная к аднабате в точке А, др яа '~ др 'Бо (- ' =(',--Л-;--' — + ( —, 1 (К, — Уо) — касательная к аднабате в точке В, др.
зв ( дк яо . дРО.'ко Последняя формула следует из того факта, что адиабата,5', = сопзг вплоть до членов третьего порядка относительно $', — У, параллельна адиабате Во =- сопзо„Замечая, что ~ --) ~0 ~ — -) )О, Р, У~о, др ~ г дор х дк зо др .озо видим, что прямая АВ проходит более круто, чем касательная в точке А, но менее круто, чем касательная в точке В, откуда ио ) со, и, ( с,. Это непосредственно видно и из рис.
1.30. Существенна внутренняя связь условий возрастания энтропии и усло- вия механической устойчивости разрыва ио ) со. Оба условия непосред- ственно вытекают из того факта, что адиабаты при уменьшении объема, начиная от А, идут все круче и круче. Итак, из рассмотрения ударных волн слабой интенсивности в веще- стве с произвольными термодинамическнми свойствами мы получили все те следствия из законов сохранения, которые были выше продемонстри- рованы на частном примере идеального газа с постоянной теплоемко- стью. Единственное условие, которое нам при этом потребовалось,— это положительность второй производной (дор/дро)з.
3 19. Ударные волны в веществе с аномальными термодинамическими свойствами Представим себе теперь вещество с аномальными термодинамическими свойствами, такими, что вторая производная (дор/дуч)з хотя бы в некоторой части адиабаты отрицательна. Обычная адиабата для такого вещества в соответствующей области давлений и объемов обращена выпуклостью вверх, как показано на рис. 1.36. Из рассмотрения предыдущего параграфа следует, что при небольших изменениях давления аднабата Гюгонио почти совпадает с адиабатой Пуассона (с точностью до малых третьего порядка по Уо — 'о'о или р, — ро).
В этом случае площадь фигуры АРВМ/о/Л, ограниченной сверху адкабатой Пуассона, болыпе площади трапеции АЕВМЛ'4, ограниченной сверху секущей АЕВ, т. е. энтропия в ударной волне сжатия убывает (это видно и пз формулы (1.88)). В то же время благодаря тому, что наклон секущей меныпе наклона касательной в точке А, скорость распростракения ударной волны по невозмущенному газу меньше скорости звука, а поскольку наклон секущей ЛЕВ больше наклона касательной в точке В, скорость за разрывом сверхзвуковая.
! 1е] Веп[ествО с АномАльными термодинАмическими свопстВАми 65 Наоборот, в ударной волне разрежения энтропия растет (см. формулу (1.88)). Как видно из сопоставления наклонов секущей АС и касательных в точках А и С, скорость перед разрывом сверхзвуковая, а за разрывом — дозву- /х д ковая. Р Таким образом, и в веществе с аномаль- Е ными свойствами условие возрастания энтро- А пии совпадает с условием механической устой1 1 чивости ио м со и условием, допускающим 1 1 причинную связь между внешними факторами 1 и распространением волны: и,(с,.
В аномаль- с ном веществе невозможны ударные волны сжатия, но возможны ударные волны разрежения. Вызванное движением поршня сжатие в таком веществе будет распространяться в виде волны, постепенно расширяющейся хч наподобие волн разрежения в обычном газе. Рис. С36. Лдяабата Пуассона Ударный разрыв вообще не возникнет и дви- ве1цвства о аномальными СвОй- етвамя я геометрическая я«- жение будет аднабатическим. Волна же Раз терпретация ооотяожений дл терпретация соотяожений для режения будет распространяться в виде ударных волн сжатия и равкрутого фронта, который не будет расши- режеяия.
ряться с течением времени и толщина которогоа будет определяться значениями вязкости и теплопроводности. В обычных условиях все вещества — газообразные, твердые и жидкие— обладают нормальными свойствами: адиабатическая сжимаемость их уменьшается с возрастанием давления. АноЯ мального поведения вещества можно ожидать вблизи критической точки жидкость — газ. Действительно, еще задолго до критической / точки изотермы газа имеют перегиб (в крити- ческой точке перегиб становится горизонтальау /х ным).
Для вещества с достаточно большой молекулярной теплоемкостью, у которого показатель адиабаты близок к единице, адиабаты и изотермы отличаются мало, и можно ожидать, что вне области двухфазных состодо яний адиабаты также будут иметь перегиб, аваалоохм а вар яре Рам1 т. е. обладать областью с аномальным знаком второй производной, как это показано на .к рис. 1.37, взятом из книги Я. Б. Зельдо«'й Ф /лх (г Ф /д ',с "" вича (2). Кривая 1 на этом рисунке ограничивает Ряс. 1.37, Лдяабата с «комель- область двухфазной системы, а кривая 11 есть выпгжхостью век деР геометрическое место точек перегиба адиабат стью о1.
=- 4О ьал/враз моль. (д'Р/д]гв)з=0. Она отделяет область, в которой звштрлховв«в оолвоть ««ухо«в«мх (д Р/д)/в)я(0, На рис. 1.37 проведена также ;олж"„' ".,'жю."ж,'а' оо"в"„',л".'"ь"'я одна адиабата, Облада!Ощая аномальностью ау«лоотью вд оет. плод «рххвоэ Кривые рассчитаны с помощью модельного !! ]а*р/ау*>З < О. уравнения состояния Ван-дер-Ваальса для случая теплоемкости су«40 кал/арад моль. Связь знака приращения энтропии и неравенств, касающихся скоростей газа и звука, отвечающая обязательному совпадению условия возрастания энтропии с условием механической устойчивости, может нарушиться 3 Я. К. Зол«до««ч, Ю. П.
Рвавер 66 ГАЗОдинАмикА и клАссическАя теория удАРных волн игл. ! только в том сдучае, если в рассматриваемом интервале изменения давления осуществляются оба знака д'р/дух, так что аднабата Пуассона имеет больше двух точек пересечения с секущей. При этом могут воэнвкать сложные режимы с одновременным существованием и разрывов н примыкающих к ним размытых волн. Еще один случай аномального поведения вещества будет рассмотрен в гл. Х1; аномалии в этом случае связаны с полиморфными превращениями (фазовыми переходами) твердых тел при тех высоких давлениях, которые достигаются в ударных волнах. Там же будут рассмотрены и указанные сложные режимы.
3. ВЯЗКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ГАЗОДИНАМИКЕ 5 20. Уравнения одномерного двшкения газа Днссипативные процессы — вязкость (внутреннее трение) и теплопроводность — связаны с существованием молекулярной структуры вещества. Они создают дополнительный, негидродинамический перенос импульса и энергии и приводят к неадяабагичности движения, к термодинамически необратимому превращению механической энергии в тепдо.
Вязкость и теплопроводность проявляются толь- 4 ко при наличии больших градиентов гидродинамических величин, которые имеют место, например, в пограничном слое при обтекании тел или внутри фронта ударной волны. В этой книге вязкость и теплопроводность нас будут интересовать в основном с точки зрения их влияния на внутреннюю структуру фронта ударных волн в газах. При изучении атой структуры течение можно считать зависящим от одной координаты х (плоским), так как толщина фронта Рпс.
КЗЗ. Схема, поясняющая вывод формулы для молекулярного переноса импульса. ударнои волны всегда намного меныие радиуса кривизны его поверхности. Поэтому мы не будем останавливаться на выводе общего уравнения движения вязкой жидкости (газа), который можно найти, например, в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица (1), и поясним только, как можно получить уравнения для одномерного, плоского случая. Запишем уравнение сохранения импульса для невязкого газа(1.7) в плоском случае, когда все величины зависят только от одной координаты х и скорость имеет только одну х-вую компоненту и д дПхх — (Ои) = — "", П„„= р+ри'. Примем во внимание теперь, что газ состоит нз сталкивающихся друг с другом молекул. Представим себе площадку единичного сечении, перпендикулярную к оси х. Эту площадку с обеих сторон пронизывают молекулы, летящие в определенных направлениях после того, как онп испытали последнее столкновение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
