Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Молекулы выходят после последнего столкновения пз слоев толпнгной порядка среднего свободного пробега молекул 1, граничащих с площадкой с обеих сторон (рпс. 1.38). Если и — число молекул в 1 см', а и — их средняя тепловая скорость, то в 1 сея площадку пересекает слева направо порядка пг молекул. Кая'дая УРАВНЕНИЯ ОДНОМКРПОГО ДВИН~ВНИЯ Гзэл из них переносит через площадку гидродинамический импульс л»и, где ж— масса молекулы, т.
е. плотность потока гидродннамического импульса слева направо по норядну величины равна пг ти. Лналогично, поток гидродннамического импульса справа налево равен примерно пхгл Х Х (и + Ли), где Ьи — приращение гидродинамической скорости при ди переходе от левого слоя к правому: Ли — й Связанная с молекулярным дх переносом плотность потока х-й компоненты импульса в х-направлении — ди равна разности потоков слева направо и справа налево, т. е.— пиги1= . дх ' Зта величина и соответствует дополнительному переносу импульса за счет внутреннего трения; она должна быть добавлена к плотности потока импУльса Пхх = Р -'- ри». Более строгое рассмотрение, основанное на изучении трехмерного движения, показывает, что в написанное выражение следует ввести численный коэффициент порядка единицы.
А именно, уравнение сохранения импульса с учетом вязкости в плоском случае имеет внд —,;, (йн) = — — д„" —.' П ° = р+9 ' — о', о' =-- ц -',,— ",, (1.90) где ц — коэффициент вязкости, который для газов (при отсутствии релаксационных процессов; см. ниже) по порядку величины равен ц — нсга1 = рА.
Величина о' представляет собой хх-компоненту тензора вязких напряжений. Появление ее в формуле для потока импульса эквивалентно возникновению добавочного «давления», обнзанного силам внутреннего трения. От уравнения (1.90) с помощью уравнения непрерывности легко перейти к уравнению движения е —;, =- — —,.- (р — а'). ди д (1.91) (Ж' — есть сила внутреннего трения, рассчитанная на 1 см газа. з дх При наличии диссипативных процессов дополнительные члены появляются и в уравнении энергии.
С добавочным, «вязким» давлением связан дополнительный поток энергии. К выражению плотности потока энергии, которое стоит под знаком дивергенции в формуле (1.10), надо прибавить величину — а'и, аналогичную ри. Кроме того, в это выражение следует ввести еще и ноток энергии, переносимой механизмом теплапроводности: х= — к дт (1.92) дх где и — коэффициент теплопроводностн. Выражение (1.92) легко получить таким же путем, каким был найден вязкий поток импульса. Прн этом оказывается, что в газах коэффициент теплопроводности по порядку величины равен к дери. С учетом обоих диссипативных членов уравнение энергии (1.10), записанное для плоского случая, приобретает вид д Г Ои« д г ' и» Х вЂ” ( де+ —, ) =- — — — [йи е + — 1+ ри — а'и +У ~ .
(1,93) Преобразуя это уравнение с помощью уравнений непрерывности, движения н термодинамического тождества Т йЯ =- де + р «)У, получим 5" 68 ГАЗОДинАмикА и клАссическАЯ теОРиЯ УДАРных ВОлн 1гл 1 уравнение для скорости изменения энтропии частицы вещества: дд, ди д1 4 Гдикз д Г дТ ОТ вЂ” — —.-а' — — —,— =- -- и ( —,-) + — — ( х — -) . (1.94) дс дх дх 3 ( дх ) дх (, дх ) ' Первый член в правой части этого уравнения представляет собой механическую энергию, диссипируемую в 1 сзсх в 1 сея за счет вязкости. Он всегда положителен, так как г) ) 0 и (ди/дх)' ) 0; следовательно, силы внутреннего трения приводят к локальному. повышению энтропии вещества.
Второй член соответствует нагреванию или охлаждению вещества вследствие теплопроводностп. Он может быть как положительным, так н отрицательным, так как теплопроводность приводит к перекачиванию тепла из более нагретых областей в менее нагретые. Однако энтропия всего вещества в целом вследствие теплопроводности только возрастает. В атом можно убедиться, если поделить уравнение (1.94) на Т и проинтегрировать по всему объему.
Изменение энтропии вещества, занимающего объем, ограниченный поверхностями хс и хз, вследствие теплопроводности равно 2 х1 ! Если вещество теплоизочировано на границах х, и хз. то потоки тепла на границах исчезают и остается только второй член в правой части, который всегда положителен (х ) О). Уравнения газодинамики, записанные с учетом вязкости и теплопроводностп, позволяют судить о том, при каких условиях роль этих диссипативных процессов может оказаться существенной. Сравним инерционные силы в уравнении движения с силами вязкостными. Если // — масштаб скорости движения, а о1 — характерные размеры области, охваченной движением, то масштаб времени порндка 11/1/ и инерционный член 9 с(и/с/с порядка 9(/э/ей Член вязкости в уравнении д Г4 ди~ 2 — — — ~ порядка 1)1//с) и отношение его к инерционному порядка дх(,3 дх~ 1 Ч х 1 с Йе эйд бд сГ Г' Обратная величина этого отиоя1ения носит название числа Рейнольдса (у = г)/9 1Р 1с — кинематкческая вязкость, с п — скорость звука).
Аналогичным путем, сравнивая перенос тепла путем теплопроводности с механическим переносом энергии, найдем, что отношение их порядка 1 х Х 1 с Ёе Эс Ид /79 д 0 ' где Ре — число Пекле, близкое в газах к числу Рейнольдса, так как коэффициент молекулярной температуропроводности у = х/9с„близок к коэффициенту кинематической вязкости у. (Например, в воздухе при нормальных условиях у т 0,15 сзсэ/сек). г * Таким образом, вязкостшо и теплопроводностыо можно пренебречь при Ке Ре )) 1. Если рассматривать движение со скоростями, меньшими или сравнимыми со скоростью звука, размеры системы для этого должны быть гораздо больше длины пробега молекул с/// )~ 1, Это усло- ЗАмкч»пня О втоРОИ вязкости » 213 вне, как мы увидим, не выполняется, в частности, в области фронта ударной волны, толщина которой сравнима с длиной пробега молекул.
Поэтому внутри фронта ударной волны диссипативные процессы оказываются существенными. Именно они и приводят к возрастанию энтропии в ударной волне. й 21. Замечания о второй иязкости При написании уравнений газодинамики и использовании термодинамической связи мея«ду давлением и другими термодинамическими характеристиками вещества молчаливо предполагалось, что давление р, определяющее силы в движущемся газе, не отличается от статического давлении р„, измеренного в покоящемся газе в тех же условиях (т.
е. при таких же составе газа, его плотности, внутренней энергии, температуре). Давление есть величина скалярная, не зависящая от выбора системы координат, от направленнй скорости движения и градиента скорости. Требование скалярности давления, инвариантности его по отношению к преобразованиям координат, допускает предположение более общее, чем предположение о зависимости только от термодииамического состояния вещества. Давление, вообще говоря, может зависеть от скаляра— дивергенцпп скорости. При небольших градиентах, ограничиваясь первыми членами разложения, как и при выводе вязких сил, можно записать общее выражение (1.95) р = р„— ьо1« и, где коэффициент $ характеризует зависимость сил, действующих в веществе, от скаляра «)1«и.
Коэффициент ь называется второй вязкостью. В отличие от нее, коэффициент гь первая вязкость, характеризует силы, зависящие от направлений скорости и ее градиента. Коэффициент первой вязкости в газе связан с поступательным тепловым движением молекул. Если время установления статического давления порядка времени свободного пробега молекул 1/с, то $ имеет такой же порядок, как и «1. В плоском случае оба члена с первой и второй вязкостью при этом объединяются вместе. В некоторых случаях, однако, $ имеет аномально большое 1 ыз значение. Согласно уравнению непрерывности б1«и =- — — —, т.
е. коэфо иу' фициент $ характеризует зависимость давления от скорости изменения плотности. При наличии. внутренних, медленно возбуждающпхся степеней свобоцы в веществе (например, колебаний в молекулах) и быстрых изменений состояния вещества, давление не успевает «следить» за изменением плотности и отличается от термодинамически равновесной величины. Влияние этого эффекта может быть описано с помощью коэффициента второй вязкости (см. [11), причем чем труднее возбуждаются внутренние степени свободы, тем больше «несогласованность» изменений давления и изменений плотности и внутреннего состояния вещества, тем больше вторая вязкость. В очень быстрых процессах, когда эта «несогласованность» (отклонение от термод««намического равновесия) особенно велика, линейная зависимость (1.95) может оказатьсн недостаточной и в уравнения газодинамики приходится вводить в явном виде описание релаксационных процессов —— кинетики возбуждения внутренних степеней свободы.
Мы познакомимся с этим явлением в главах У1, У11, У111 при рассмотрении релаксадионных процессов, их влияния на структуру фронта ударных волн и поглощение ультразвука. уо ГАзодинАмикА и клАссическАя ТИОРия удАРных волн игл. « 5 22. Замечания о поглощении авука В качестве примера влияния вязкости и теплопроводности на гидро- динамическое движение рассмотрим процесс распространения звуковых волн с учетом этих явлений. Наличие вязкости и теплопроводности приводит к диссипации энергии звуковых волн, необратимому превращению ее в тепло, т.
е. поглощению звука и уменьшению его интенсивности. Формально коэффициент поглощения звука можно получить, если искать решение одномерных лияеаризовапных уравнений газодинамики с учетом вязкости и теплопроводности в виде плоской гармонической волны типа ехр [1 [/ск — е«с)), где /с — волновой вектор. При этом для й получается комплексное значенпе, действительная часть которого дает длину волны, а мнимая — коэффициент поглощения: /с = /с« -[- «/с„' ехр [1 [/сс — е«/)) = е А«'ек"«" — ««. Коэффициент поглощения можно оценить и из физических сообрая.ений. Согласно формуле [1.9й«), энергия, диссипируемая в 1 сз«з в 1 сек, складывается из двух частей, отвечающих вязкости и теплопроводности.
В звуковой волне с длиной волнь«Л этя величины — порядка ди'/Л' и кЛТ/Л~. Здесь и — амплитуда скорости, а ЛТ вЂ” амплитуда изменения температуры в волне [последняя пропорциональна и). Энергия звука в 1 сэ«' есть рси«. Доля энергии, которая поглощается в 1 сек, состоит иэ двух слагаемых. Член, связанный с вязкостью, порядка [«[и«/Л«)/оси««[/осЛ' «[ю«/с«9с Но в 1 сек звук проходит расстояние с, так что коэффициент поглощения па единице длины порядка у, «[оР/сзрс. Коэффициент поглощения на к «с« единице длины, связанный с теплопроводностыо, порядка у« с,«сэес [в случае газов это легко понять, если учесть, что к/ср ж «» в силу приближенного равенства кинематической вязкости»« = «[/9 и температуропроводности у =- к/йср, в газах у, ж уз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
