Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Дифферецциальные уравнения содержат четыре закона сохранения: массы, импульса, энергии и энтропии, тогда как в разрыве выполняются только три из них, все, кроме закона сохранения энтропии. К вопросу о толщине фронта ударной волны, который может быть решен лишь при учете молекулярной структуры вещества, т. е. при «микроскопическоъг> рассмотрении процесса ударного сжатия, мы вернемся ниже, в з 23.
Теперь же продолжим «макроскопическое> описание явления ударного сжатия, исходя только из законов сохранения массы, импульса и энергии. й 16. 1'еометрическая интернретация закономерностей ударного сжатия Для лучшего уяснения различных закономерностей в теории ударной волны и свойств ударной адиабаты очень полезны графические построения на диаграмме р, Р. Проведем на плоскости р, >'через точку А начального состояния вещества р«, $'> ударную адиабату НИ (рис. 1.28). Будем 1 1б) интеРпРетАция ЗАНОномеРностей удАРнОГО сжАтия 55 считать, что характер этой кривой аналогичен ударной адиабате идеального газа с постоянной теплоемкостью, т.
е. что кривая везде обращена выпуклостью вниз: вторая производная с(арЫ)та в каждой точке положительна. В целях наглядности мы будем иллюстрировать некоторые положения конкретными вычислениями на примере идеального газа с постоянной теплоемкостью, однако можно показать, что закономерности являются общими и справедливы для веществ с другими термодипамическиип свой- р // ствами. Единственное условие, которое накладывается па этн свойства,— это чтобы ударная адиабата во всех точках была обращена выпуклостью р, - — — свнпз.
Пусть вещество после ударного сжатия из состояния А (р„рс) р ! переходит в состояние В (р<, У<), изображаемое точкой В, лежащей на ударной адиабате. < /( По формуле (1.67) скорость рас- р, — — А — — — -- р 1 пространения ударной волны по не! ( /( Н возмущенному веществу дается вы- $ 3 ражением У и Ата Ва Ут Р< — РО вс оу у Рис. 1.28. Р,у-диаграмма. НН вЂ” аииабата Гюгонио, РР— алиабата Пуассона, КК вЂ” насатсльйая н обоим аниа- ГрафнЧЕСКИ Эта СКОраотЬ ОнрЕдЕЛЯЕт- батаматотнсначальногосостоянии А(Р„Р,>.
ся наклоном прямой АВ, проведенной из начального состояния в конечное ((р, — р,)/(У, — У<) равно тангенсу угла наклона прямой). Из рис. 1.28 видно, что чем выше конечное давление (чем моп(нее ударная волна), тем больше наклон прямой и тем больше скорость волны. (Для иллюстрации на рис. 1.28 проведены две прямые, АВ и АС.) Посмотрим, чем определяется начальный наклон ударной адиабаты в точке А. Вычислим производную др</д)г< с помощью формулы (1.75) для идеального газа с постоянной теплоемкостью: <(Р< (У вЂ” 1) Ро Ро НУ+1) Уо — (У вЂ” 1) У<) (у+1) Ку (у+1) у — (Т вЂ” 1) У КТ+1) у — (у — 1) у )а Взяв производную в точке А, т.
е. положив У< —— Рс, получим (др</ду<)с = — урс/Уо. Но эта величина есть не что иное, как наклон адиабаты. Пуассона р У вЂ” у, проходящей через точку А: (др/ду)з = =- — ур/У. Таким образом, в точке А ударная адиабата касается адиабаты Пуассона, проходящей через эту точку. Обычная адиабата РР, соответствующая начальной энтропии газа Юс = 8 (ро,)'с), также проведена на рис.
1.28. Касание адиабат в начальной точке иллюстрируется и общей формулой (1.67) для скорости ударной волны. В пределе слабой волны, когДа (Р, — Рс)/Рс-ь О, УдаРнаЯ волна не отличаетсЯ от звУковой, изменение энтропии стремится к нулю, и скорость волны 11 совпадает со скоростью звука: Вообще х<е наклон прямой А8 всегда больше наклона касательной к адиабате в точке А, так что всегда )7 = ис > с,. 56 РАзодинАмикА и НЛАссическАН теОРия удАРных волн ~гл. 1 Начальный наклон ударной адиабаты определяется скоростью звука в исходном состоянии. Строго это будет доказано для общего случая произвольного вещества в з 18. Непосредственным вычислением по формулам для идеального газа с постоянной теплоемкостью можно убедиться в том, что в точке А совпадают не только первые, но н вторые производные от адиабат Гюгонио и Пуассона, т.
е. в точке А имеет место касание второго порядка. Это положение также яв(1яется общим (см. д 18). Адиабата Гюгонио везде проходит выше обычной адиабаты, проведенной из начальной точки, как показано на рис. 1.28. В самом деле, пря ударном сжатии от объема Го до объема р1 < р о энтропия повышается, а при адиабатическом — остается неизменной.
Но при одинаковом объеме давление тем выше, чем больше энтропия. Приращение удельной внутренней энергии при ударном сжатии з, — оо от состояния А до состояния В, как видно Ряс. 1.2д. 11 геометрической ив- из выРажениЯ (1.71) ДлЯ УдаРной адиаторпротацвв приращения энергии баты, численно равно площади трапеции в ударной волне. ЛХАВ1у', покрытой на рис. 1.29 горизони — уногнон оннобнто, и — ноно- тальной штриховкой.
бото пуассона. Коли газ сжать адиабатическн из состояния А до того же самого объема $'1 (до состояния Я, то для этого нужно совершить работу, численно равную площади фигуры МА(у11', ограниченной сверху обычной адиабатой Р и заштрихованной вертикально. Эта площадь дает и приращение внутренней энергии газа з' — со= — ~ Р 11)1 Уо (интегрирование ведется при $ = $,). Для того чтобы привести газ в конечное состояние В, необходимо его еще нагреть при постоянном объеме Рн сообщив ему количество тепла, численно равное разности площадей, заштрихованных горизонтально и вертикально, т. е.
равное площади фигуры АВ11'. Эта площадь и определяет возрастание энтропии газа при ударном сжатии. Она равна е1 — е'= 1 Т г($= т($,— $0), где Т вЂ” некоторая средняя температура на отрезке прямой ()В (при Р = $11 — — сопз1). В системе координат, в которой исходный газ покоится, он после сжатия приобретает кинетическую энергию (на 1 г), равну1о, согласно общей формуле (1.69), ("о — "1)о — — — — — (Р1 Ро) (~ о — 91). 2 2 2 1 10) ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЕИ УДАРНОГО СЖАТИЯ 57 Эта энергия численно равна площади треугольника АВС на рис.
1.29, дополняющего трапецию МАВ1у, площадь которой соответствует зг — зе, до прямоугольника МСВ1т'. Площадь этого прямоугольника р, ()гз — Р1) представляет собой полную энергию, сообщенную «поршнем» 1 г первоначально покоящегося газа. В сильной ударной волне, когда Р1 )) Р,„она поровну делится мелгду Л приращениями внутренней и кинетической энергий: площ. МАВХ ж площ.
АВС: и» ( з1 зс 2 2 Р1 (У1 О)' Разберем на диаграмме р,'г' соотношение между скоростями газа и звука в конечном состоянии (рис. 1.30). Проведем через точку В на адиабате Н„, соответствующей начальному состоянию А, новую адиабату Нв, для которой точка В является начальной. Из симметрии уравнения адиабаты относительно перестановки индексов «О» н «1» следует, что если р1 =- Н (Р1 Ро Ко) то 1ое — — Н (Рс, Р1, Р1). Другими словами, адиабата Нв, формально продолженная в сторону давлений, меньших начального, пересекает адиабату НА в точке А.
Взаимное расположение адиабат Н„н Нв таково, как это показано на рис. 1.30, в чем легко убедиться па примере идеального газа с постоянной теплоемкостью *). Скорость распространения волны относительно сжатого газа определяется формулой (1.68) з рз Р1 — Ре Ие — У1 Квадрат скорости звука в сжатом гаае в точке В равен Первая величина пропорциональна тангенсу угла наклона прямой ВА, а вторая — тангенсу угла наклона касательной к ударной адиабате Нв в точке В (ударная адиабата Нв и адиабата Пуассона, проходящая через В, касаются друг друга). Взаимное расположение прямой ВА и адиабаты Нв соответствует тому, что и, « ' с,.
В конце у 1(«было отмечено, что, в отличие от адиабаты Пуассона, адиабата Гюгонио зависит от двух параметров. Благодаря этому нельзя путем сжатия газа несколькими ударными волнами, исходя из данного *) То, что адиабата Лв проходит левее ЛА при давлениях более высоких, чем Рв, можпо пояснить следующим образом. Если точка Л соответствует сжатию газа из состояипя А очень сильной ударной волной, то адиабата ЛА пдоходит пРи р > Рв почти вертикально, отвечая предельному сжатию до объема, равного ((у — 1)~(у+ ()) УА. В то же время, пропуская вторую ударную волну по газу кз состояния Л, мы можем его сжимать вплоть до объема 58 РАЗОдинАмикА и клАссическАя теОРия удАРных Волн ~гл.
1 начального состояния, прийти к тому же самому конечному состоянию, что и путем сжатия одной волной. Так, например, если пропустить по одноатомному газу сильную ударную волну, газ сожмется в четыре раза, а если пропустить одну за другой две сильные волны, оставляя неизмен- Р но ным конечное давление, получим сжало и, тие в 16 раз. Рг В то же время, разбивая аднабатический процесс на сколько угодно С этапов, придем к одной и той же плотности, если задано конечное давление. Это положение иллюстрируется 8 диаграммой р, е' рис. 1.31, где изображены адиабата Пуассона и несколько аднабат Гюгонио, отвечающих сжатию газа последовательными ударными волнами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
