Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 13
Текст из файла (страница 13)
уе у-'; [ х. ,лг няется быстрее, чем «голова»: — ' [о+се) 2 ) се, и профили скорости и плотности »[ Ю имеют вид, иаображенный на рис. 1.23. х Картина физически бессмысленна, ре- шение неоднозначно в области 11. Но полу- Профи"и скорое™ " ченное решение есть единственное непреллотмости» отвечаюшие ЯеЯРеРМ»- рывное ре)пение, которое следует из уравяому решени|о для автомодельной (цеитрирозаякой) волны сжатия. пений газодинамики. Следовательно, и А — голова велкы, Р— хвост волны.
даННОМ СЛуЧаЕ НЕПрЕрЫВНОГО рЕШЕНИя НЕ Решение неоднозначно в физически существует. Эта трудность исторически беесмыелекко. явилась одним из исходных пунктов для построения разрывных ре)пений уравнений газодинамики, т. е. для построения теории ударных волн. Отметим, что если поршень начинает вдвигаться в гаа не с постоянной скоростью, а постепенно, ускоряясь от состояния покоя, то можно найти непрерывное решение для простой (но уже не центрированной) волны сжатия, которое описывает начальную стадию движения.
Положение в зтом случае вполне аналогично тому, которое ,х имеет место в звуковой волне не малой ампли- »7 туды (см. з 7). Характеристики Сф-семейства х (если поршень находится слева от газа) сближаются и стремятся пересечься, крутизна профиля волны сжатия нарастает с течением вре- м мани (как показано на рис. 1.24) и в некоторый л1 момент происходит «перехлестывание», возникает неоднозначность реп)ения, аналогичная описанным в й 7 и в атом параграфе.
На самом деле зто означает, что образуется разрыв— ВВедение В ГАзодинАм11ку понятия ОБ удАРнОИ ВОлне 47 результату. Поскольку задача автомодельна (не содержит никаких характерных масштабов длины и времени), единственные репсения, удовлетворяющие уравнениям гааовой динамики, — это тривиальное решение, в котором все величины и, о, р постоянны, в решение типа центрированной простой волны. Таким образом, остается одна-единственная возможность построить решение, удовлетворяющее граничным условиям задачи— вневоамущенном газе и = О, р = ро, о = оо; в области газа, прилегающей к поршню, скорость газа равна скорости поршня,— это выбросить физически бессмысленную область ХХ и непосредственно сомкнуть области постоянного течения Х и ХХХ, предположив, что в точке смыкания газодинамическне величины ,ла терпят разрыв, как показано на рис.
1.25. Вообще говоря, ааконы сохранения массы, импульса и энергии, которые положены в основу уравнений динамики невязкого и нетепло- с проводного газа, не предусматривают обязательную непрерывность газодинамических величин. С>сТ Эти законы были сформулированы ранее в форме дифференциальных уравнений просто потому, что с самого начала предполагалась непрерывность течения. Но эти же законы мож- аьР но применить и к областям, в которых газодинамические величины испытывают разрыв.
С и=У математической точки зрения разрыв можно л РассматРивать как пРедельный слУчай о ен р 1 о5 проф бОЛЫЛИХ ГРаДИЕНтОВ ГаЗОДИНаМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН, отв и скороортв В упорном когда толщина слоя, в котором происходит волне, конечное изменение этих величин, стремится волна но т оддойо нон норасня, который а начальный к нулю. Поскольку в динамике невязкого и не- нононт ' начал теплопроводного газа, т.
е. при условии, что Йаа ' ""'"""""" '"'р'"'" . мы отвлекаемся от молекулярной структуры ооотоянно. вещества, нет никаких характерных длин, постольку не ограничены возможности существования сколь угодно тонких переходных слоев, в пределе сводящихся к разрыву. Эти разрывы и представляют собой ударные волны.
Найдем неизвестные величины: плотность и давление газа в сжатой области Ос, рс, а такясе скорость распространения разрыва по невозмущенному веществу ХХ, исходя из общих законов сохранения массы, импульса и энергии, выполнение которых не подлежит сомнению. Параметры невоамУЩенного газа Оо, Ро и скоРость поРшнЯ и, с котоРой совпаДает скорость гааа, будем считать известными. К моменту Т в столбе с сечением в 1 сма Движение охватывает массУ газа, РавнУю РоХ)Г. Эта масса занимает объем (Х) — и) Т, т. е, плотность сжатого газа Ос удовлетворяет условию: йс (Х) — и) 1 = йоХ) г.
Масса долг приобретает количество движения ОПТ и, которое по закону Ньютона равно импульсу сил давления. Результирующая сила, действующая на сжатый газ, равна разности давлений со стороны порспня и со стороны невозмущенного вещества, т. е. йЗ ГАзодинАмикА и клАссическАЯ теоРия УдАРных Волн [Гл. ! Наконец, приращение суммы внутренней и кинетической энергий сжатого газа равно работе внешней силы, толкающей поршень р,ик ио ОоРо е1 за-(.—. ) =-Роик 2,) Сокращая в этих равенствах время 1, получим систему трех алгебраических уравнений для определения трех неизвестных величин рь ОО Р через известные и, Оо, Р, (теРмоДинамическаЯ свЯзь з (Р, д), конечно, пРеД- полагается известной).
Преобразуем эти уравнения таким образом, чтобы с правой стороны равенств стояли только величины, относящиеся к области перед разрывом, а с левой — параметры газа за разрывом. Для этого заметим, что если Р— скорость распространения разрыва по неподвижному газу, то ио —— — Р— скорость, с которой невозмущенный газ втекает в разрыв, а Р— и — скорость распространения разрыва относительно движущегося за ним газа, т.
е. и, = — (Р— и) — это скорость, с которой газ вытекает из разрыва. Вводя эти обозначения в уравнения, запишем закон сохранения массы: и Ьи1= чоио. (1.61) Закон сохранения импульса при помощи (1.61) приобретает вид ;) р1+Е и~=ро~-Е .'. (1.62) Закон сохранения энергии при помощи уравнений (1.61) и (1.62) преобразуется к виду е1 + — + —.'- = зо + — + — - . р, и1 ро и1 (1.63) Ш 2 ' йо 2 Вводя удельную энтальпию и~ = е + р/д, можно переписать его иначе: 1 й о (1.
64) Полученные уравнения представляют собой записанные в наиболее общей форме соотношения между газодинамическими величинами на поверхности разрыва, в который газ втекает по направлению, нормальному к самой поверхности. .Замечательно, что они не содержат никаких предположений о свойствах вещества и являются выражением лишь общих законов сохранения массы импульса и энергии.
Уравнения (1.61) — (1.63) можно вывести и непосредственно, рассматривая разрыв в системе координат, в которой он покоится. Поскольку разрыв является бесконечно тонкгьч, внутри него не происходит накопления массы, импульса и энергии. Следовательно, потоки этих величин со стороны невозмущенного газа равны потокам по другую сторону разрыва. Если на разрыв нормально к поверхности набегает газ с плотностью йо и скоРостью ио, то поток массы есть Ооио; он Равен массе, вытекающей через 1 ело в 1 сок с другой стороны разрыва, т.
е. О,ио Таким образом, получаем уравнение (1.61). Втекающая через 1 см' в 1 сек масса Ооио облаДает количеством ДвижениЯ Ооио ио. ПРиРаЩение количества ДвижЕНИЯ ПРИ ПЕРЕХОДЕ ЧЕРЕЗ РаЗРЫВ О,ио, — ООи„'РаВНО ИМПУЛЬСУ СИЛ ДаВЛЕ- ния за 1 сок р, — р, ичн, что то же самое, потоки импульса р -'; Оио по обе стороны разрыва равны друг другу (то, что величина р + йио представляет собой плотность потока импульса при плоском движении, видно из формул (1.7), (1.8)). Так получается уравнение (1.62).
ВВедвник В ГАзодинАмику понятия ОВ удАРнОЙ ВОлне 49 3 131 дэ д — = — — (ди), д« дх д«(~ ) д (Р+~ (1.65) Будем сначала формально рассматривать разрыв как некий тонкий слой с больп«ими градиентами всех величин и проинтегрируем уравнения по атому слою от ке до х,. Например, ха ха Теперь произведем предельный переход, устремив толщину слоя х1 — х» к нулю. Интегралы в левых частях, пропорциональные к1 — хе-~ О, исчезают (что и соответствует отсутствию накопления массы, импульса и энергии в разрыве).
Интегралы же в правых частях дают разности потоков соответствующих величин по обе стороны разрыва, т. е. мы приходим к уравнениям (1.61) — (1.63). Следует подчеркнуть формальный характер последнего вывода соотношений на ударном разрыве (1.61) — (1.63). Он свидетельствует только о том, что выражения для потоков массы, импульса и энергии, стоящие 4 я. в. Зехеаеехч, ю. и. Раэаер Приращение полной (внутренней и кинетической) энергии газа, протекающего в 1 сек чеРез 1 см» повеРхности РазРыва Оеие ( (31+- -')— 2 — ( зе —,'- — '11, равно работе сил давления, совершаемой в 1 сек из 2.~ Л расчета на 1 сэ«3 поверхности. Эта работа равна репе — р«и1.
Для того чтобы пояснить происхождение этой величины, представим себе трубу, по которой течет газ справа налево, протекая через разрыв, находящийся где-то посередине (рис. 1.26). Справа и слева в трубе помещены поршни, которые движутся со скоростями ие и и1 таким образом, чтобы поверхность разрыва покоилась. Правый поршень, к которому при Ркс.
1.26. Опмт, поясняющий ложено давление ре, гонит газ через трубу, совершая работу репе в 1 сек на 1 ем'. Над левым пор«пнем газ совер«кает работу р«и1 (пор«пень «совершает» над газом отрицательную работу — р«и1). Таким образом, полная работа, совершеняая над газом, равна репе — р«и1. Приравнивая ее приращению анергии газа, получим уравнение (1.63). Его можно истолковать / и»р1 и иначе: полные потоки энергии по обе стороны разрыва ои ( з+ — + — ~, Р )' выражение для которых следует из уравнения энергии, записанного в форме (1 10), равны друг другу. Формально соотноп«ения (1.61) — (1.63), свидетельствующие о равенстве потоков массы, импульса и энергии через поверхность разрыва, можно получить и из дифференциальных уравнений (1.2), (1.7), (1.10), которые являются выражением тех же законов.
Запишем эти уравнения для плоского случая: 50 ГАЗОдинАмикА и клАссическАя теОРия удАРных Волн ~гл. 1 под знаками дивергенции в дифференциальных уравнениях, являются совершенно общими, независимо от того, непрерывно течение илн нег. Если считать разрыв не математической поверхностью, а неким тонким слоем конечной толщины, где газодинамические величины меняются очень резко, но непрерывным образом, то применять к этому слою уравнения (1.65), в которых не учтены вязкость и теплопроводность, нельзя. Ни>Не мы увидим, что энтропии газа по обе стороны разрыва различны, тогда как в дифференциальных уравнениях (1.65) заложено условие постоянства энтропии (адиабатичности движения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
