Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 8
Текст из файла (страница 8)
оооо оооо Инварианты Римана У+ и У можно рассматривать как новые функции, описывающие движение газа, взамен старых переменных: скорости газа и и одной из термодинамических величин, например, скорости звука с. Они однозначно связаны с переменными и и с уравнениями (1.43). Разрешая эти уравнения относительно и н с, можно вернуться от функций У~,,г к функциям и н с, например, для идеального газа с постоянной теплоемкостью по формулам (1.44) и= —; с= — (У+ — У ). .г,+.г 2 ' 4 4 61 плоское иззнтРОпическое течение.
инВАРиАнты РимАИА 29 Рассматривая инварианты как функции независимых переменных л и О уравнения характеристик можно записать в форме С,: —,=Р,(У„У ); С: —,=Р (У„У ), где Р«и Р' — известные функции, вид которых определяется только термодинамическими свойствами вещества. В идеальном газе с постоянной теплоемкостью у+1 З-у З-у у+1 Р+ — — У«+ — — У; Р = — У,+ — У. 4 4 ' 4 4 У+(х, 1)=У«(хо О); У (Е, 1)=У (аю 0). Например, для идеального газа с постоянной теплоемкостью, разрешив эти уравнения относительно и и с, можно записать физические переменные в точке Ю в явном виде: ис+ ит 2 сс — са и(л, г)= — — + — — -', 2 у — 1 2 с1+ са у — 1 ис — ит с(х 1) = — -+ —— 2 2 2 с (1.48) где МО сс — значения в точке А (ео 0), а иа, ст — значения в точке В (хж 0).
Нельзя, конечно, утверждать, что состояние газа в точке Ю зависит от задания начальных условий только в двух начальных точках А и В, так как само положение точки В, как места, где пересекаются «) Построить ату сетку можно после того как пайдепо решение задачи. Как видно из уравнений (1.45), характеристики обладают свойством переносить постоянные значения одного из инвариантов.
Поскольку вдоль определенной С+-характеристики У+ = сопз1, изменение наклона характеристики определяется изменением только одной величины — инварианта У . Точно с" .так же вдоль С -характеристики постоянно У и иаменение наклона при переходе от одной точки плоскости х, 1 к дру- Ю/л 41 той определяется изменением нквари.апта У«. су Уравнения, записанные в характеристической форме, делают весьма наглядной причинную свяаь явлений в газовой динамике. Рассмотрим какое-нибудь плоское иззнтропическое течение газа в бесконечном пространстве.
Пусть в начальный момент 1 = 0 заданы распределения газодинамических величин по координате лс и (х, 0), с (е, 0), или же, что эквивалентно, заданы распределения инварпантов У+ (е, 0), У (х,. 0). На плоскости х, 1 (рпс. 1.9) существует сетка С«- и С -характеристик, выходящих из различных точек оси х «). Значения газодинамических величин в какой-нибудь точке В (е, 1) (в координатной точке х в момент времени 1) определяются только значениями величин в начальных точках А (хм О) и В (хт, 0): 30 ГАзодинАмикА и клАссическАя теОРия удАРных Волн [гл, » Рнс.
1.11. Вылрямлелне характернстви на малых участках. С«- и С -характеристики, выходящие нз точек А и В, зависит от пути этих характеристик. Эти пути определяются заданием начальных условий на всем отрезке АВ оси х. Например, наклон С+-характеристики АР в промежуточной точке д[ (см. рис. 1.9) определяется не только инвариантом У+ (А), но и значением инварианты У (М), перенесенного в Ж из промежуточной С точки М отрезка АВ. Р Г« Но состояние газа в В полностью опре- деляется заданием начальных условий на Ю отрезке АВ оси х и совервгенно не зависит от начальных значений величин вне этого отрезка. Если, скажем, немного изменить начальные значения в точке [,[, то это никак не ска- А е ,с жется на состоянии газа в Ю просто потому, что возмущение от этого изменения нэ Рис.
1.1О. л, Ьднаграмма, уСпеет добежать в координатную точку л иллюстрирующая область к моменту 1. Оно придет в эту координаталнлвнл. ную точку позднее (в точку Р вдоль С«.-характеристики [",[Р). Аналогично, начальное состояние газа на отрезке АВ оси х влияет на состояние газа в последующие моменты времени только в тех точках, которые расположены внутри области, ограниченной С -характеристикой АР и С+-характеристикой В(1 (рнс. 1.10).
Оно не влияет на состояние в М, так как «сигналы» от начальных условий на отрезке АВ не успеют добежать до координатной точки хм к моменту гм. Подчеркнем, что изложенные соображения о причинной связи явлений имеют силу лишь при условии, что характеристики одного семейства не пересекаются друг с другом. Например, если бы С+-характеристика из (~ (см.
рис. 1.9) пошла по пунктирному пути ОЕ, то состояние газа в ~ повлияло бы на состояние в В. Но в области непрерыв- ю/х г) ного течения характеристики, принадлежащие одному семейству, действительно никогда не пересекаются. Пересечение привело бы к неоднозначности газодинамических вели- 4[л,е/ БГг,»У . л чин. В самом деле, в точке х, 1 пересечения двух С+-характеристнк инварианты л.» имели бы два различных значения, соответствующих той и другой характеристике. Между тем каждой точке плоскости х, 1 принадлежит только по одному значению «+ и «, которые связаны с единственными значениями скорости газа и скорости звука в этой точке. Как мы увидим ниже, пересечение характеристик одного семейства приводит к нарушению непрерывности течения и возникновению разрывов газодинамических величин, т.
е. ударных волн. Провести линии характеристик на всей плоскости х, г можно, только зная решение газодинамнческой задачи. Если решение неизвестно, то нельзя указать точно положение точки В на рис. 1.9, в которон пересекаются характеристики, выходящие из А и В. Однако приближенно найти место пересечения можне, заменяя истинные криволинейные пути АР и ВВ прямыми линиями, наклоны которых отвечают начальным значениям иы с, и ию с» в точках А и В (нли «'+ (А)„ У (В)) (рис. 1.11).
Выбрав точки А и В достаточно близко друг от друга «71 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ З1 так, чтобы ошибка от замены истинных путей характеристик прямыми линиями была небольшой, находим положение точки пересечения из уравнений х — х,=(и,+с,)«, х — хз=(и«-сг)«. Значения и и с в месте пересечения определяются формулами (1.48). Такая операция, в сущности, представляет собой простейшую схему численного интегрвравания уравнений (1.45). Покрывая плоскость х, СвтКОй трЕуГОЛЬНИКОВ, аНаЛОГИЧНЫХ АЕ«В, МОЖНО ПОСЛЕдОВатЕЛЬНО, ШаГ за шагом„продвигать решение уравнений вперед по времени, исходя из начальных условий и (х, 0), с (х, 0) или У «(х, 0), У (х, 0).
в 7. Плоское изэнтропическое течение газа в ограниченном пространстве Рассмотрим какое-нибудь плоское изэнтроппческое течение газа в ограниченном пространстве. Пусть газ занимает пространство между двумя плоскими поверхностями — парпгнямп, которые движутся па заданным законам х, = $«(г), хз —— =«рз (1), причем в начальный момент хг Гг г = 0 координаты поршней равны хю и хг«. В начальный момент задаются Ю распределения скорости и и термоди- я и намической переменной с по коорди- Е нате х на отрезке х«о(х(хг«: и(х,О), с (х, 0) или же, что эквивалентно, задаются распределения инвариантов У„.
(х, 0), У (х, 0). Проведем на плоскости х, г сетку хз А И Ихгг х характеристик и линии поршней (Рис. 1.12). Точки типа Р, чеРез кото- рпс, «А2. Схема хврактерп к длв рые проходят С+- и С -характери- плоскогопзэптроппческоготечеввя газа стики, выходящие из точек, лежащих между двумя паршпямп. внутри отрезна 0,0«осп х, ничем не отличаются от точек при движении газа в неограниченном пространстве. Как и там, в зти точки переносятся начальные значения инвариантовУ+ иУ Рассмотрим тачку, лежащую на линии поршня, для определенности, точку Й у левого поршня.
В точку й нз «прошлого» переносится только один инвариант У ан переносится вдоль С -характеристики, выходящей из точки А начального отрезка 0«0» так, что У (гЭ) = У (А). Второй инвариант У«не приносится в Р, так как в Ег' не приходит С«-характеристика (из «прошлого»).
С+-характеристика только выходит из В (в «будущее»), унося с собою «образовавшееся» в этой точке значение инвариавта У«.. Состояние газа в точке гг определяется значением привнесенного инвариавта У н второй величиной — скоростью и, которая в силу граничного условия совпадает с известной скоростью поршня в точке Аг' и1 (г'.г). Эта пара величин У («г) =- У (А) и и = и«(Е)) и заменяет теперь пару величин У+, У, приходящих в точки газа, не соприкасающиеся с поршнями. Второй инвариант У+ составляется в Е) из величин У (Е)) и и«(Ег): У, (й) = 2и, (В) — У (У)) и уносится С«-характеристикой.
Например, В точку Е приходит С -характеристика, выходящая из точки В 32 ГАэодинАмикА и клАссическАя теОРия удАРных Волн 1гл, 1 начального отрезка оси х и несущая инвариант Х (В): Х (Е) = Х (В). С+-характеристика приходит с линии поршня, из В, и приносит инвариант Х+, равный Уз (Й): Х„. (Е) = Хз (В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
