Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Состояние газа в Е зависит от Х (В), и1 (О) и Х (А), т. е. от условий в точках А, В, О. Положение точки Е зависит от условий на отрезках О»В, О,В. Таким образом, при течении в ограниченном пространстве состояние газа в какой-то точке может зависеть не только от начальных, но и от граничных условий. Вообще состояние в произвольной точке плоскости х, 1 определяется заданием значений и и с или У+, У на отрезке произвольной кривой, отсекаемом С+ и С -характеристиками, проходящими через рассматриваемую точку. Например, состояние в Ч определяется состоянием на отрезке М11' кривой ЮЕ (см. рис.
1.12). Аналогично предыдущему, на правый поршень из '»прошлого» вдоль С+-характеристик переносятся инварианты У+, а С -характеристики сами начинаются иэ точек линии поршня и уносят в »будущее» инварианты Х, которые составляются из привнесенных инвариантав Х.л и значений скорости поршня и», с которыми совпадают скорости прилегающего к поршню слоя газа. Давление на поршне однозначно определяется привнесенным одним инвариантом и скоростью поршня.
Рассмотрим для примера точку О на левом поршне. Пусть газ — идеальный с постоянной теплоемкастью. Обозначим через иА, сА начальные скорости газа и ввука в точке А, а через и1Π— скорость поршня в точке О. Имее»1 для скоростей газа и звука в В 2 2 ир — — и,о, Х =ип — — сп — — иА — -с,„ у — 1 у — 1 э откуда сР = сА+ (и1О-ИА) —, или через инвариант у — 1 со — [и1р — У (АЦ вЂ” —. 2 Давление на поршне ро связано со скоростью звука ср чисто термодинамически, рп = сопз1 са»тлт — '>. Изложенные соображения позволяют придать наглядный физический смысл инвариантам Римана. Поставим такой эксперимент. Внесем в определенный момент 1 в точку х параллельную поверхности поршня плоскую пластинку.
Пусть на одной, левой, стороне пластинки имеется индикатор давления, реагирующий на давление газа слева от пластинки. К моменту 1 в х слева на индикатор приносится инвариант Х+ —— = и + ~ Ар/дс = и + ил(р), где и и р — скорость и давление невозмущенного пластинкой газа (ил (р) — функция давления, зависящая только от термодинамических свойств газа и его энтропии). В момент 1 газ тормозится около пластинки и останавливается, поскольку пластинка покоится.
Новое давление слева ат пластинки, соответствующее остановившемуся газу (и = 0), обозначим через р1. Тогда Х.л — — и+й (р) = ил (р ). Индикатор зарегистрирует давление отражения — р1. Поскольку функция и> известна, шкалу индикатора можно проградуировать так, чтобы показание индикатора давало непосредственна величину инварианта Х+ » 8] ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ Аналогично, индикатор давления, помещенный па правой стороне пла. стпнки, измерит инвариант Х, приходящий справа. Если расположить очень тонкую пластинку перпендикулярно к поверхностям поршней, параллельно скорости течения так, чтобы газ свободно обтекал пластинку, пе меняя своей скорости, индикатор зарегистрирует давление невозмущенпога потока р. Будучи проградупрованным так, чтобы давать непосредственно величину ю (р), индикатор измерит комбинацию инварпантов 2 ( 1 з 8.
Простые волны Из формулы (».46) для инвариантов Римана, относящейся к случаю распространения по газу малых возмущений — акустических волн, видно, что если волна распространяется только в одну сторону, то один пз инвариантов постоянен в пространстве и во времени. Так, если волна бежит направо и Ли (х, 1) = Лр (х* 1)!0«с« = 1«(х — (и«+ с«) 1), то постоянен инвариант Х Х = гьп — — +сопев =сова». лр ч«е« Если же волна бежит палево, то постоянен инвариант Х«.
Покажем, что возможность существования воля, бегущих в одну сторону, не ограничивается предположением о малости амплитуды, причем и в общем случае бегущей волны остается постоянным один из инвариантов Римана. Прежде всего укажем, как можно практически осуществить постоянство одного нз нквариантов, например Х . Если гач занимает безграничное пространство, то для этого достаточно задать начальные распределения и (х, О), с (х, О) таким образом, чтобы в начальный момент было Х (х, О) = сопз1. Поскольку зто постоянное значение Х переносится вдоль С -характеристик, выходящих из всех точек оси х, то п в последующие моменты времени инвариант Х останется постоянным: Х (х, 1) = сопз1.
Пусть газ занимает полупространство, ограниченное слева поршнем, дви»кущимся по закону х, =: «р1 (1). Если в начальный момент Х (х, О) = = сопз« во всей области, занимаемой газом, х ) х««(хю — начальная координата поршня), то в последующие моменты Х также останется постояиным во Всем пространстве, ограниченном поршнем х ) х, = = ф, (1). Действительно, левый поршень, как было показано в предыдущем параграфе, «возбуждает» только С.ь-характеристики; С -характеристики приходят к линии поршня из <шрошлого» и на этом «заканчивают свое существование», так что поршень посылает в «будущее» только Хчинварианты, но не Х Значения Х -пнвариантов во всей той части плоскости х, 1, которая соответствует газу (эта часть ограничивается линией поршня х, = ф, (1)), определяются начальнымп значениями Х на оси х, т.
е. постоянны. Наоборот, если газ занимает полупространство, огранвченное справа движущимся поршнем (линия пор«пня х« = фв (1), х«е = ф«(0)), и в начальный момент Хь (х, О) = сопз1 при х ( х«„то во всей физической части плоскости х, 1 (х( хв = фв (1)) постоянен инвариант Х.ь. Итак, вернемся к поставленной задаче и предположим для определенности, что Х (х, 1) = сопз$. 3 я. в. зельдович, Ю. П.
РайзеР 34 РАЗОДинАмикА и клАссическАЯ ткОРия УДАРных ВОлн игл. г Из уравнения характеристик, записанного в форме (1.47), следует, что прп атом С+-характеристики представляют собой семейство прямых линий (рз. — — салаг, тан как ут = сапз1 вдоль характеристики, а у = сопз1 вообще). Интегрируя увавнения для Сз.-характеристик, можем записать х = рт (Уе, У ) г + х (Х„), (1.
49) где ~р (Уз.) — постоянная интегрирования, которую можно рассматривать нак функцию того значения Уь, которое переносится вдоль характеристики. Ояа определяется начальными и граничными условиями задачи. Например, если данная характеристика выходит из начального отрезка оси х, то ~р есть координата той точки оси х, из которой выходит характеристика я на которой задано значение Уз., стоящее в качество аргумента в гр. Формула (1.49) совместно с условием, наложенным на одну из искомых функций, У (х, 1) =сопзь, (1.50) представляет собой общее решеяие уравнений газодинамики для рассматриваемого случая. Она определяет в неявном виде другую искомую функцию Уз.
(х, 1). (Напоминаем, что функция г-'з. известна, поскольку известны термодинамические свойства вещества.) Решение (1.49), (1.50) можно записать в виде формул для обычных газодинамических переменных: скорости газа и скорости звука. Из уравнения (1.50) 1 Ф У =и — ~ — =сопзь ас следует, что скорость звука или какая-нибудь иная термодинамическая переменная, скажем, давление, являются функциями скорости и, не содержащими в явном виде независимых переменных х и й с = с (и), р =р(и). Уравнение (1.49) эквивалентно уравнению х = [и + с (и) [ 1+ ~р (и), (1. 51) где постоянная интегрирования ~р выражена кан функция и. Это уравнение определяет в неявном виде и в зависимости от х и П Из формулы (1.51) видно, что данные значения и и с (и) переносятся по газу вдоль оси х с постоянной скоростью и - — с (и).
Другими словами, решение представляет собой волну, бегущую направо: и =1 [х — [и+ с (и)) е), с = д (х — [и+ с (и)) г), причем вид функций 1 и и определяется начальными и граничными условиями задачи. Однако, в отличие ат бегущей волны малой амплитуды, различные значения скорости газа и термодинамических переменных переносятся с разными скоростями, так что начальные профили и (х, О), с (х, О) искажаются с течением времени. Это является следствием нелинейности уравненпй газодинамики. Полученное решение в виде бегущей волны называется простой Ваппой.
Аналогичным путем можно получить простую волну, бегущую в другую сторону. В ней постоянен инвариант Уз. и прямыми являются С -характеристики. Общее решение в этом случае имеет вид Х»=сопй, х=Р' (У+, 1 ) 8-';лрл(/ ) или Хе=и+ зл — =-сопз1, х=[и — с(и))у+»рл(и) г с»р и = /л (х+ [с (и) — и[»), с = лл (х -[- [с (и) — и[ р). Заметим, что решение для простой волны является особым интегралом уравнений одномерного иаэнтрапического течения.
Можно найти и общий интеграл этих уравнений для иЕЛ»У) произвольного течения (см, [1]). Особое решение не содержится непосредственно в общем. й ро Искажение профилей В бегущей волне конечной аашлитуды Некоторые свойства простьлх волн Воспользуемся полученныы репленллем,~» 'Е. Л» «» [Л» для простой волны и выясним, чта проис- т, ', , '' ! ходит с волной типа акустической, если не ограничиваться первым приближением, как это было сделано в з 3, а исходить иа точных уравнений газодинамики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
