Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Прн этом задача о волне раэреження перестает быть аэтомодельной1 математнчеокн это следует нэ формулы (1.51): если ф (и) чя О, то и эаэнонт от я н 1 в отдельностя. Однако еслн скорость поршня с течением временй стаяоектся постоянной, как в примере, рассмотренном е предыдущем параграфе, то истинное решение аеньштотпческн стремятся к автомодельному. Прн 1;Р т (1/т -~- оэ) функцию ~р (и) — т в решеннн можно опустить. Фнэнчеокн это соотвегстэует тому, что прн 1 )) т параметр т становится малым по срэвненяю с характерным временем задачи 1 н роль его стаяоэвтся все менее и лгенее существенной. Подробнее об асвмптотнческом стремления ноткиных решений к аэтомодельяым см.
в гл. Х н Х11. 1 11) цвнтгиРОВАннвя ВОлнА РАЗРВВ1ения производных, а обыкновенными дифференциальными уравнениями, что в огромной степени упрощает задачу с математической точки зрения. Ввиду принципиальной важности автомодельного течения, представляющего собой центрированную простую волну, мы еще раз найдем решение задачи о поршне, исходя из общих уравнений газодинамики и воспользовавптись изложенными сообран1ениями об уменьшении числа независимых переменных. Преобразуем зйлеровы уравнения газодинамики к новой независимой переменной $=х/1. Если /(х, 1) — некоторая функция х и 1, зависящая только от комбинации этих величин $=-х/1, то путем непосредственного вычисления получим д/ 1 д/ дх ' 1 2$ ' д/ «/ $ 1/ д1 12 д$ 1 д5 и/ д/ д/ и — 5 й/ — = — — +и — = нп д1 дх 1 Преобразуем с помощью этих формул уравнения непрерывности, движения и адиабатичности, записанные для плоского случая: дй ди ис ди 91 дх --,= -Π—.— (и-$) — = -Š—, дй ' о — =- — — -+ (и — $) о — = — —, де др ди 'др ш д У5 д5 (1.
57) (Ы дг д — = Π— + (и — $) . -- = О. дй Как и следовало ожидать, сами величины х и 1 исключались из уравнений. Напнсанные уравнения допускают прежде всего тривиальное ре1пение и = сопИ р = сопзЬ, о = сопз1, Я = сопзЬ, соответствующее движению однородного газа как целого. Для получения нетривиального решения исключим из первой нары уравнений 11и/е(5, и заметим, что третье уравнение дает Л=сопзь*), т. е. что автомодельное движение иззнтропично. Заменяя во втором из уравнений (1.57) производную от давления на производную от плотности, Йр/йй= (Йр/1)д)(т(д/и$) = се ЙО/11$ (поскольку движение иззнтРопично ЫР/т/9 = (дР/дй)з = св), полУчим 2 [(и — $)' — ст) — О = О, дэ откуда (1.58) и — $= ~- с, э= — =и -)- с. Подставляя это соотношение в уравнения (1.57), найдем е)и ~ с — = 17и ~ — = О дй "Р Ос или Ух — — и ~ ~ — Р— =сопзс.
(1.59) Ое Мы пришли, таким образом, к уже найденному в предыдущем параграфе решению задачи о центрированной волне разрежения. Для волны, е) Предположение о том, что не дд/д5 = О, а и — $ = О, противоречат первому нв уравнений (1,57). 44 РАЗОДииАмикА и клАсспчнскАЯ тноРия УДАРных Во 1~ 1гл. бегущей вправо, следует взять нижний знак в формулах (1.58), (1.59)„ для волны, бегущен влево — верхний. Как и раньше, всю картину течения можно сконструировать с помощью решений (1.58), (1.59) и тривиальных решений и =- сопэ1, с = — сопз1, также удовлетворяюпшх автомодельным уравнениям. При этом комбинировать эти решения следует так, чтобы удовлетворялось граничное условие и =- и у поршня.
Остановимся на некоторых особенностях волны разрежения. Характер рентения свидетельствует о том, что для его справедливости не обязательно, чтобы газ простирался от поршня до бесконечности. До тех пор, пока голова волны разрежения, которая бежит по невозмущенному газу вправо со скоростью звука сс, не доходит до правой границы газа, х =- х, ) О, т. е. Л7 21 до момента 1, = х1,1с„наличие границы никак не сказывается на движении «). Поэтому полученное решение всегда описывает начальную стадию движения газа при выдвижении порптня, даже если газ занимает конечную область. г l Проследим за судьбой определенной у частицы газа, начальная координата кото- рой была х,. До момента 1= 1« =хо~с», 0 х, х, х пока к ней не подойдет голова волны разрежения, частица покоится. Затем она Рнс. 1.21.
Пути частиц на х,«-дяаграмчс для центрнроаанной вол- начинает двигаться влево, с ускорением, яы разреження; ОА — голова ноя- и при этом расширяется. Когда плотность ны, 021 — хвост волны. в ней упадет до конечного значения от, а скорость станет равной скорости поршня н1, дальнейшее ускорение и расширение прекратятся, а частица начнет двигаться с постоянной скоростью и1. Пути нескольких част»щ на плоскости х, 1 изображены на рис. 1.21.
Уравнения этих линий в области разрежения П легко получить, интегрируя уравнение для линии тона «1х 2 ' хч х — —.= и = — - ~ сс — — ) с начальным условием х = ха прн 1 =-1« .= —. И~ у — 1, С 1' "с Посмотрим теперь, что происходит, если переходить к движениям со все ббльшими и ббльшими абсолютными скоростями поршня ~ н1~. Из формул (1.53) — (1.56) видно, что чем болыпе ~ н1, тем ниже скорость звука, плотность, давление и температура (Т у' с) гааа в конечном состоянии (с, = с (нт), о1 = о (ю) и т. д.). наконец, при некоторой ско- 2 рости поршня ~ ш ~,„= — — с„конечные значения с„д„рт обращаются в нуль.
Если поршень выдвигается еще быстрее, то формально решения (1.53) — (1.56) становятся бессмысленными, так как при ' и! ) ' ю 'ж с„отрицательно, а рл и р, комплексны. Фактически это означает, что при ~ и , ') ' 1Р ~ между поршнем и невой границей газа образуется область вакуума. Течение происходит такпм образом,как будто поршень в начальный момент 1 = 0 вообще «убирается», н гаа вытекает в пустоту. При этом газ расширяется до нулевых плотности„ давления и температуры (скорости звука)„ и граница его двиясется влево со скоростью 2 2 и= — со )инва«= сс.
(1.60) у — 1 у — 1 *) Бсномнвм рассуждения а 1 6 об области влияния. 4 «з1 о нввозможности стоцвствов. цвнтэироввнной волны сжвтия 45 Профили скорости и плотности при нестационарном истечении в вакуум изображены на рис. 1.22. Например, для воздуха при обычных температурах у/-7/5 и )и(~,« =- 5«о. Эта величина более чем в два раза превышает скорость стационарного истечения в вакуум из болыпого резервуара, когда справедливо уравнение Бернулли /» -(- и'/2 = /«о —— с,'/(у — 1) и Ро / 2 ию,„= — 1/ — — со = 2,2с, при у =-1,4 (здесь »/ через й мы обозначили удельную знтальпию /г = е —,'- р/р). При стационарном х ш~,о, г х сот истечении частица приобретает кинетическую энергию и~«„ /2 на грамм только за .счет ее начального теплосодержания Ьо. При нестационарном истечении в пустоту кинетическая энергия болыпе ее началь- Рн«.1.22.
Профили плотности н ного теплосодержания Ьо (в пять раз при скорости нрн плоском ноотацноу = 1,4). парном ното«енин газа в вакуум. Дополнительная кинетическая энергия приобретается за счет отбора тепла от соседних частиц: полная энергия, равная сумме кинетической и внутренней энергий в области, охваченной волной разрежения, естественно, сохраняется и равна исходной внутренней энергии этой области. Лналогично плоскому случаю можно рассматривать сферически или цилиндрически симметричные волны разрежения, которые образуются, если «сферический» или «цилиндрическнй» поршни в начальный момент г = О начинают выдвигатьсн из газа, занимающего пространство г) го или г ( г,. При этом также образуется волна разрежения, голова которой бежит по невозмущенному газу со скоростью звука со.
Однако в этих случаях не существует областей постоянного течения между поршнем и хвостом волны разрежения. Заметим, что сферическая и цилиндрическая волны разрежения, в отличие от плоской, не автомодельны: в задаче имеется характерный масштаб длины — начальный радиус поршня г,. й 12. О невозможности существования цеитрированяой волны сжатия Казалось бы, решение задачи о поршне, движущемся с постоянной скоростью, в равной степени применимо независимо от того, выдвигается ли поршень из газа или вдвигается в газ, производит ли он разрежение или сжатие. И то и другое движение автомодельно, т. е.
решения для них можно конструировать из тривиальных, соответствующих областям постоянного течения, и нетривиального, соответствующего простой цептрированной волне. Попытаемся формально построить непрерывное решение для автомодельной волны сжатия, образующейся, если в начальный момент поршень начинает вдвигаться в газ с постоянной скоростью и~ О (газ находится справа от поршня). «Голова» волны бежит по газу со скоростью звука со вдоль линии х = со« на плоскости х, г.
К поршню примыкает область постоянного течения, где и = ю, а с =. сь причем обе эти области постоянного течения (Х и ХХХ, согласно терминологии, принятой в предыдущих параграфах) разделены областью простой центрированной 2 2 волны ХХ, где У = и — — с = сонно = — — со. Отсюда следует, у — 1 . у — » ' 46 РАзодинАмикА и клАссическАя теОРия удАРнь[х волн [Гл. х что с, .= Се -(- У: — и», так что «хвост» волны бежит вдоль линии х == 2 и + с 1Е Распределение скорости по координае~' те х в области 11 описывается решением, аналогичным (1.56): — ()я+с,) г— Гу+[ 2 Г х и= [ — — — се '.
у — [ ~,1 ударная волна. Рис. [.24. Ностепеяяое яараеталяе крути»вы профили 2. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ скорости в волне сжатия, которая распространяется й 13. Введейие в газодинамику понятия под действием ускоряюшеоб ударно" в е а ной волне гося поршил. з) Охвечзет фиекчееки бесемыелеикему яепрерыввему решеРассмотрим ЛОКОЯщийсЯ газ с постОЯнными кию е »перехлестом» волли; д) пекззывветфзкткчеекия преплотностью и давлением Ое Ра, слева ограничен- филе е рззрывем пееле момента ный плоским поршнем, н предположим, что в чперехлеехз». начальный момент поршень начал сжимать газ с постоянной скоростью, которую будем теперь обозначать через и. Как было показано в предыдущем параграфе, попытка найти непрерывное решение для втой задачи приводит к физически бессмысленному х Получается, что «хвост» волны распростра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
