Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В области Пт на плоскости х, Д заключенной между линией 39 з го) ВОлнА РАзрежения поршня н С+-характеристикой ВА), все газодиназшческие величины постоянны: и = — О, с =со — — — У = е, ). В самом деле в этой 2 1 области У = сопл! в силу общего постоянства, а У+ — — сове!, поскольку скорость газа на линни поршня, с которой выходят все Сз-характеристики, одинакова: 2 2 2 У, = и-]- — - с = — -ср-]-2!г'=- — — сн — 2У. у — 1 у — 1 В области г'г, заключенной между С+-характеристиками ОА и ВО и участком ОВ линии поршня, газодинамические величины зависят от х и 1 в соответствии с решением для простой волны.
Сз-характеристики, выходящие с с е т участка ОВ линни поршня, во все более поздние моменты времени несут все меньшие значения скоростей звука и газа (все л) и и большие па абсолютной величине скорости газа). Поэтому распределение и и с па газу в какай-та определенный ыоыевт и, с времени 1' ~ йы соответствующий горизонтальной прямой 1 = сопз( = р на плоскости х, 1, имеет вид, изабражениый на рис. 1А8, а. и Распределен!гя плотности и давле- ~ Аг ,и ния в качественном отношении подобны распределеншо скорости звука.
Распределения газодинаи еск ве ка и скорос'„, в возне рнзреж личин в более поздний момент 1" ) 11 иия, возйикающей вод действием (прямая 1 = савах = 1" на плоскости х, 1) поршня (си. рис. 1.17)1 показаны на рнс. 1А8, б. В этом случае н! дн нонннтн, ннгдн н рость поршнн стала постоянной, 1' < 1с к поршшо прилегает область постоянна- о> поннн и ннтв, когда споришь а 1ЕЧЕНПИ и Д Е С ] гоар (Ипата порыв ст а понто ой, точки разделяющей области постоянного и переменного течений 111 и П, Хл, соответствует точке В характеристики ВО. Задаваясь конкретным законом движения поршня, можно найти решение задачи в агалитпческом видо.
Положим для примера, что скорость поршня с течением времени меняется плавно па закону: — У(1 — е '), и стремится к постоянной величине — У асимптотнчески при 1-+. со. Линия движения порпгия описывается уравнением 1 Х(1) = ~ шг]1= — Ут ~ — — (1 — е 'т) ~ о Она асимптотически переходит в прямую Х = — У (! — т). н) Длн справедливости этих формул необходимо, чтобы с1 было положительной величиной, что паклндывнет ограничение ва конечную скорость поршня: У ( 2 ( (2ду — 1)] со. Случай, когда У ) — — с, будет рассмотрен в З 11, у — 1 40 ГАзадинАмикА и клАссическАя теаРия удАРных волн 1гл.
1 Для нахождения искомого решения подчиним общее решение (1.51) граничному условию: и = лг (1) при х =- Х (1). Это условие определяет произвольную функцию 1р(и): ~р (1Р) = Х (1) — (и + с (ю) ) 1, причем с(и) = со+ ш и ш=ю(1) Подставляя сюда Х (1) и выражая время через 1Р с помощью закона движения поршня 1 = — т 1п ( 1 — —; ~, найдем вид функции ~р: Г и 7 (и) = — ют-'-т (со+ — з — ю+сг) 1" (1+- -) ° Распределения скорости по координате в разные моменты времени даются неявной функцией: г', У+1 у+1 .'1 и х = 1 с„+ — — и ) 1 — их + т ( с«+ — и + О ) )п ~ 1 + -,. ~, справедливой в интервале Х (1) ( х ( с«1.
11редположим снова, что скорость поршня становится строго постоянной в определенный момент 11. Зададимся постоянным значением конечной скорости поршня — сг и пр едположим, что начальные ускорения порпгня становятся все больше н балыпе Л' и постоянная скорость достигается все быстрее и быстрее (11 — » О). Участок ОВ линии поршня, где скорость поршня переменна, становится все меныие и меныпе (см.
рис. 1.17). Точки В и О, откуда выходят С»-характеристики ВО и ОА, между которыми заключена область переменного течения 11, прн этом сближаются. В пределе 11= —. О, Рис. 1А9, х, 1-диаграмма со схемой хе- когд~ точки В и О совпадают, что ректеристик для Пентрированной волны соответствует мгновенному достир азрежения. женпю поршнем постоянной скоро- сти ш = — К обе характеристики ВВ и ОА выходят из одной точки: из начала координат х = О, г =.= 0 на плоскости х, й Все Сь-характеристики, заполняющие область переменного течения 11, также выходят пз начала О в виде веера. Таким образом, в предельном случае, когда порпгень в момент 1 = — — 0 начинает двигаться с постоянной скоростью и = — О, картина на плоскости х, 1 приобретает вид, изображенный на рис.
1.19. Все характерные линии: линия «головы» волны разрежения ОА, линия «хвоста» волны ОО, за которым параметры газа принимают постоянные конечные значения, и линия поршня выходят из «центра» О. Из этого же «центра» выходят и все С»-характер««стикн, расположенные мея«ду С».-характеристиками ОА и ОВ.
Такая волна называется центрированной простая волной. Поскольку все С, -характеристики в центрированной простой волне, т. е. в области переменного течения 11, выходят из точки х = О, 1 == О, функция гр (ит 41 г ы3 ЦЕНТРИРОВАННАЯ ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ в решении (1.51), представляющем собой в то же время и уравнение этих характернстпк, обращается в нуль. Решение для центрированной волны имеет впд х = (и+ с (и)] г. (1.52) Формально это решение можно получить и путем предельного перехода т -+ 0 в примере, рассмотренном выше.
Функция ~р пропорциональна т, так что при т -е- 0 ~р (и) — ~- О. Вытянем в явном виде решение для центрированной волны разрежения в случае идеального гааа с постоянной теплоемкостью. Связь термоденамнческих переменных со скоростью газа и дается уже известной формулой, следующей из условия постоянства инварианта У с =се — ~:] и], в(0. (1.53) 2 = КР(й = ПосколькУ Р = Ре (О/Ое)т, =с' (ОМо)т р=ре] 1 — У— — ]', (1 54) 2у ='~'-' —.' — "' У ' Чтобы получить зависимость этих величин от х и 2, надо подставить сюда ] и ~, найденное из решения (1.52) и (1.53): ] = — ("--) 2 Г е т+г(, г.] (1.56) Рвс. 1,20.
Профили плотности н (1 55) скорости в цевтрировенной волне разреженвя. Скорость газа в центрированной волне разрежения зависит от координаты х по линейному закону. Голова волны, где и = О, движется вдоль линии х .—. сег, хвост волны, где и =. ю =- — ХХ, движется вдоль линии х = (с, — П) г = (с — У 2- О) ~. 7+1 2 Профили плотности и скорости покаааны на рис. 1.20.
й 11. Центрированиая волна разрежения как пример автомодельного движения газа Рассмотренное в предыдущем параграфе одномерное плоское движение газа, возникающее при выдвижении поршня с постоянной скоростью, обладает одной характерной особенностью. Все гааодинамические величины, описывающие движение и (х, г), с (х, Г), р (х, г), р (х, Г), зависят от координаты и времени не пбрознь, а только в комбинации х/8. Для области ХХ, где величины переменны, зто видно непосредственно из формул (1.53) — (1.56).
Что же касается областей постоянного течения Х и ХХХ, то они ограничены в плоскости х, г прямыми линиями хй = с, = = сопзс (область Х) и х(г =-. и~ == сопзс, х/г = и -г- с~ -— — сопят(область ХХХ), которые также описываются уравнениями, содержащими х и Г только в комбинации х!й Иными словами, с течением времени расгтределенпя всех величин по координате х, изображенные на рис.
1.20, лишь растягиваются в пространстве, не меняя своей формы, т. е. оставаясь подобными самим себе. Если нарисовать распределения и, с, д, р, отложив по оси 42 ГАзодинАмикА и клАссичкскАИ тиоРия удАРных Воле1 (гл. 1 абсцисс не х, а отношение х/1 (или одну из безразмерных величин х/сэ/, х/пг/), то мы получим застывшую картину, неизменную во времени.
Такое движение, в котором профили газодинамических величин с течением времени остаются подобными самим себе, меняясь только за счет изменения масштабов величин (в Данном слУчае масштаба Длины се( или пг/), назьгваетсЯ самоподобным или автомодельным. В з 25 мы познакомимся с более сложным примером автомодельного движения, в котором меняются не только маспттабы длины, но и маспгтабы самих газодинамических величин, причем автомодельная переменная $ имеет более общий вид $ = х/э, где а = = сонэ(. Рассмотренная выше центрированная волна разрежения представляет собой простейший случай автомодельного движения, в котором гх = — 1, $ = х/1, и масштабы газодинамических величин остаются неизменными: с течением времени профили их и (х, 1), с (х, 1) самоподобно растягиваются только по оси абсцисс, но не изменяются по оси ординат (масштабы и, с, о, р остаются неизменными). Физическую причину автомодельного характера центрированной волны разрежения можно пояснить, воспользовавшись размерностными соображениями.
Если отвлечься от диссипативных процессов вязкости и теплопроводности, то уравнения газовой динамики, так же как и формулы, описывающие термодинамические свойства вещества, не содержат никаких характерных длин и времен. Единственные масштабы длины и времени у газа— это длина и время свободного пробега молекул, с которыми связаны коэффициенты вязкости и теплопроводностн. Однако этими масштабами могут характеризоваться лишь микропроцессы, протекающие на расстояниях и эа времена свободного пробега молекул, но не макроскопические движения. Вещество обладает размерным параметром — скоростью звука, которая входит наряду со скоростью вещества в описание газодинамических течений. Таким образом, если начальные и граничные условия задачи не содержат характерных длин и времен, движение может зависеть от координаты и времени, взятых только в комбинации х/1, имеющей размерность скорости.
Именно такова рассматриваемая задача о волне разрежения, возникающей под действием поршня, выдвигающегося из газа с постоянной скоростью пе. Начальные и граничные условия вносят только масштабы скорости: се и и (и, конечно, масштабы плотности ое и давления рэ, но не масштабы длины или времени *)). Автомодельные движения имеют большое значение для газовой динамики. Поскольку в этом случае газодипамические величины не зависят от координат и времени в отдельности, но зависят только от их определенных комбинаций,— зто уменьшает иа единицу число независимых переменных в системе уравнений. В частности, при одномерных движениях вместо двух переменных х и 1 (нлп г и 1 в случае сферической или цилиндрической симметрии) появляется одна независимая переменная (й = х/1 в нашей задаче). Течение описывается уравнениями не в частных *) Если скорость поршня не постоянна, а зависит от времеви, то сразу поли.ляются масштабы времеви нлн длины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
