Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Мы не будем приводить здесь аналитического решения, а выясним качественный харак- тер явлений при помощи графического построения. Газ будем считать идеальным с постоянной теплоемкостью. Пусть начальные профили скорости А и (х; О) и скорости звука с (х, О) имеют вид, изображенный на рис. 1.13, причем / Г) эти функции связаны между собою таким образом, что з' (х, О) == сопев (рассматри- ваем волну, бегущую направо). Па форму- ле (1.44) ллмеем с = У:-- и+с„где посто- / Е) явное значение инварпанта / выбрано в соответствии с условием, что в невоз- мущеином газе и = О, с = с,.
Поскольку р сзтпт — л>, о стлт — 0 (при с=со, р= — р, д = Оо), пРофили давлениЯ и плотности в качественном отношении вполне анало- гичны профилю скорости звука. Будучи постоянным в начальный мо- мент, инвариант / (х, 1) постоянен и во все последующие моменты времени, так что движение представляет собой простую волну, бегущую направо. Характеристики С+-семейства п собой прямые линии с[х/с[» = и -[- с = (у -[- 1) и/2 + со. Они на рис. 1.13, Иэ точек Ао, Во и))о, где и = О, ани выходят друг другу: с[х/йл = со (и параллельно С+-характеристикам, Е» 8, Емр, А»Е» Ю, бл» х Рис. 1АЗ. Распространение вправо бегущей волны, Построение, поаволяюжее определить искажение проФилей в волне.
Наверху — провили скорости и енорости авува в начальный момент. Вииау — иснаженнме проаили в момент л,. В середние — схема с+-хараитеристин. редставляют изображены параллельно выходящим Зе е 91 искАлкение ЛРОФплей В БеГУщей Волне конечной Амплитуды 3О 36 ГАзОДинАмикА и клАссическАЯ теориЯ УДАРных ВОлн 1гл, т иг невозмущенной области газа). Для того чтобы не усложнять ряс. 1.13, проведем, кроме того, еще только две Ст-характерттстики, из точек Е, н Ес, соответствующих минимумам и максимумам начальных распределений и (х, О) н с (х, О). Построим профили и и с в момент 1«т и (х, гт), с (х, тт). Поскольку вдоль Се-характеристик переносятся постоянные значения и и с, величины и п с в точках А„Ет п т.
д. равны соответствующим величинам в точках А„ а) ~ < ,'гз Е, и т. д. Выполняя построение, как показано на рис.1.13, найдем профили и и с в момент гт. Мы видим, что «голова» (тт) и «хвост» б) ) ~ 'сг (А) волны, соприкасающиеся с областями постоянного течения, где и =. О, а с =.= с„ сместились вдоль оси х на отрезки, равные с„г, (распространялпсь по характеристикам гг с)стгт, -4»4т на плоскости х, г).
Высоты х-с,Г максимумов и минимумов и и с не изменились, но относительные положения максимумов и минимумов стали инымя: профили исказились. тх-'с т, х-с,т В акустической теории, где уравнения газодинамики линеаризуются, такого иснаженти не происходит: профили сдвигаются б) ~ ! ', Гг в виде застывшей картины. Искажение прод-с,т филей есть следствие нелинейности уравнений газовой динамики. Физическая причина искажения состоит в там, что гребни Рвс.
1.14. Схема, иллюстРиРую- волны бегут относительно скорее как за щвя ввраставве крутвнпы и «перехлест» волны конечной амплитуды счет большей скорости распространения в нелинейной теории. их но веществу (ббльшей скорости звука), помазаны врсфн м скорости в дс- так и засчет более быстрого сноса вперед сдсдсватсньныс мсмснты врсмснн. ° ° чтобы совместить волны в равннчнмс Вместе с ВещестВом (большеи скорости моменты врсмснн, нс ссн вбсднсс ст- газа). Наоборот, впадины бегут относидсжснс ясмбннвдня м — с,т. Профиль гт ствствст фнсняссмн 'йсрсютьнсму тельно медленнее, тан как обе скорости состоянию.
Нс самом деле в мсмснт т, дрсфннь имеет внд ст с рвврывымн. В НИХ МЕНЬШЕ. С течением времени профили иска- >каются все сильнее и сильнее, как показано на рис. 1.14. Если формально продолжить аналитическое ретпенве на достаточно большие времена, то произойдет «перехлестывание» волны, показанное на рпс. 1.14, г. Эта, последняя, картина физически бессмысленна, тан как в ней решение неоднозначно. Например, в точке х = х' в один и тот же момент времени имеются три значения скорости рл и .=- О, ит и из. Возникновение такой неоднозначности математически связано с пересечением характеристик одного семейства (Ст), тенденцито к которому можно усмотреть на рис.
1.13. На самом деле «перехлестывания», конечна, не происходит, а когда передняя и задняя части профичей становятся очень крутыми, Образуются разрывы — ударные волны, как показана на рис. 1.14, д (об этом речь пойдет ниже). Таким образом, решение в виде простой волны в данном случае справедливо лишь в течение ограниченного времени, до момента образования разрывов.
Решение никогда не теряет силы только в том случае, когда волна повсюду имеет характер волны разрежения, т. е. не содержит участ- ВОлнА РАЗРвжвния Рнс. 1дб. Схема двух семейств характера стнк длн волны, воображенной на рлс. 1 АЗ й 10. Водна разрежения Рассмотрим движение газа под действием выдвигающегося поршня. Пусть вначале покоящийся газ с постоянными плотностью, давлением и скоРостью звУка Оо, Р„, со занимает полУпРостРанство х ) О, слева ограниченное неподвижным поршнем, начальная координата которого ков, где скорость газа, давление и плотность уменьшаются в направлении распространения волны.
Такие участки (АХХ и РХ)) на рис. 1.13 представляют собой волны сжатия. Простая волна разрежения будет рассмотрена в следующем параграфе. Отметим одно ва нное свопство простой волны, которое пллюстрируется рассмотренным примером. Голова простой волны всегда распространяется по характеристике (в нашем примере по характеристике ЙоХ)1). На переднем краю простой волны, в точкеХ), сами величины и и с непрерывны, но их производные по координате х терпят разрыв (это видно из рис.
1АЗ, где профили и и с испытывают излом). Такой разрыв, в котором величины непрерывны, но разрывны их производные, называется слабым. Слабый разрыв можно представить себе как малое возмущение по отношению к непрерывному ходу газодинамических величин. Это пока- рве. 1дб. К вопросу о слабом вано на рпс.
1.15, на котором изображены два разрыве. профиля, один сглаженный, а другой — с разрывом производной. Заштрихованный участок можно рассматривать как малое возмущение. Но мы знаем, что малые возмущения распространяются по ветцеству со скоростью звука. Поэтому слабые разрывы всегда распространяются по характеристикам. Если пзэнтропическое течение граничит с областью постоянного течения, то зто течение обязательно является простой волной, и обратно, с областью постоянного течения С может граничить только простая б волна. Действительно, в области постоянного течения С.ь- и С -хаl рактеристнки представляют собой семейства параллельных прямых и инварианты Уе (х, 1) и У (х, г) постоянны. Границей соприкосновения области какого-то изэнтроппческого течения Х с областью постоянного течения ХХ (рнс. 1.16) служит одна пз характеристик, скажем, Сж-харантерпстпка.
Тогда С -характеристики, продолжаясь пз области ХХ в область Х, переносят постоянное значенве У, так что и в области Х У (х, г)=сопзг. Следовательно, зта область есть простая волна, бегущая направо. На рис. 1.16 проведены характеристики для случая импульса протяженностью в одну хдлпну волныз, рассмотренного выше в качестве примера. ЗВ РАзодинАмикА и клАссическАя ТЕОРНЯ удАРных Волн 1гл 1 есть х = О. В момент г = О поршень начинает двигаться влево, постепенно ускоряясь от нулевой скорости до некоторой 'постоянной, которую обозначим через — С. Закон движения поршня есть х = Х (1). Когда скорость парп1ня становится постоянной, линия Х (1) превращается в прямую Х (/) =- — //1 -)- совет. Как было показано в предыдущем параграфе, движение газа при 1) О представляет собой простую волну, бегущую направо.
Голова волны, т. е. начальное возмущение от поршня, распространяется вправо со скоростью звука вдоль С.е-характеристики ОА; х = се/ (рис. 1.17). Проведем на этом рисунке ли- кФ нию движения поршня Х (г) и Л' характеристики С е- и С -се- мейств. В области Х между Х д --- осью хи С,-характеристикой ОА газ невозмущен: характеристики в этой области представляют собой прямые линии с накло- В нами (11х/111)+ —— се, '(11х/111) .= — со. Пересекая прямую ОА, С -характеристики продолжаются до линии поршня и на д ней заканчивают:свое сущест- вование. Для наглядности рас- Рис. 1.17. х,е-диаграмме со схемой характеристик дзя волны разрежезия, возникающей под суждений будем считать газ действием поршня, который выдвигается из идеальным с постоянной теплогеэа, сначала ускоряясь, а потом с настоян емкостью, однако подчеркнем, иой скоростью.
что в качественном отношении вся картина движения остается в силе и для газа с другими термадинамическими свойствами. /. -инвариант постоянен во всей физической части плоскости х, Г и равен 2 2 е - = и — — с = — — со. у — 1 у — 1 Отсюда 2 у — 1 и = — — (се — с), с = со+ и. у — 1 На границе с поршнем скорость газа совпадает со скоростью поршня в (1), которая отрицательна.
Поэтому скорость звука, а такжедавление и плотность газа у порвтня меньше начальных, притом тем меньше, чем скорее движется поршень. С+-характеристики, которые являются прямыми линиями, выходят с линии поршня, имея наклоны Зе -, у+1 у+1, — =и+с=со+ — и=с,— - 'ш~. Ш /ь 2 2 Поскольку поршень только ускоряется, но не замедляется, С+-характеристики, начинающиеся на линии поршня, только расходятся, но нигде не сходятся, как показано на рис. 1.17. С+-характеристики, выходящие с того участка линии поршня,.на котором скорость поршня уже постоянна, имеют одинаковые наклоны (Ых/Ю)+ — — с, — — 1/ и идут параллельна у+1 2 друг другу. Пусть„например, скорость поршня становится строго постоянной и равной 1е = — е/ (С ) О), начиная с момента 11 (точка В на линии поршня).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
