Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 6
Текст из файла (страница 6)
21 звуковык волны уз> воздуха в волне составляет 0,4о/о от нормальной плотности; амплитуда изменения давления — 0,56',4 от атмосферного; амплитуда скорости— 0,4«~ю, от скорости звука, т. е. 1,3 ж/сея. Амплитуда смещения частиц воздуха порядка Лх = и/2ят = (и/с) (Х/2я) ж 6 10-«З, (Лх ж 0,036 см для т = 500 гц).
Найдем энергию, связанную с малым возмущением, которое распространяется по покоящемуся газу. Приращение удельной внутренней энергии возмущенного вещества с точностью до членов второго порядка малости относительно Лп (пли Лр, илп и) есть: с' а Зоио Е = юоЛв+ — — (Лв)'+ ~~ = юобв+ рона.
(1.36) Член первого порядка малости в энергии связан с изменением объема всего газа, которое произошло в результате возмущения. Если возмущение было создано таким образом,' что объем газа в целом не изменился, то энергия возмущения всего газа есть величина второго порядка по Ло, так как при интегрировании по объему член, пропорциональный Лр, исчезает. Таково, например, положение в волновом пакете, который распространяется по газу, занимающему бесконечное пространство, причем на бесконечности газ не возмущен (рис.
1.3). Изменения плотности в областях сжатия с точностью до членов второго порядка компенсируются изменениями в областях раарелоения. Таким образом, энергия внука есть величина второго порядка малости, пропорциональная квадрату амплитуды *): К = рова. (1.37) «) Выражение (1.37) следует усродннть ло вреывнн нлн по пространству: К«в=свив(и — Ьр — йр.=е, тогда как иа — (аз)а — (ау)о)0). В силу аднабатичности движения про- рнс. 1,3, Распределение плотноизводные берутся при постоянной энтро- стн в волновон пакете. пни. Их можно вычислить с помощью термодинамического соотношения: ое = Т иЯ вЂ” р Ы$' = (р/ро) Ыд. Получим до Ло+ ".
(Ле)о Я~ (Ло)а Приращение внутренней энергии в 1 сма с той же точностью равно Чз — Яоео = (ро + ЛО) (е — ео) + с«Ля = =(е, + ~') Лр+ — '(ЛЕ)'= оЛЕ+ — '(Лй)о Оо / сйо зйо где й = е + р/0 — удельная энтальпия. Плотность внутренней энергии, связанной с возмущением, в первом приближении пропорциональна Ло. Плотность кинетической энергии виа/2 воиа/2 есть величина второго порядка малости.
Из соотношения (1.33), справедливого для бегущей плоской волны, видно, что член второго рорядка в плотности внутренней энергии и кинетическая энергия в точности равны друг другу, так что полная нлотиость энергии возмущения есть 22 ГАзодинАмикА и клАссическАЯ теОРиЯ УдАРных Волн 1гл.
1 Если возмущение было создано таким образом, что объем газа при этом изменился, то в энергии возмущения остается член, пропорциональный первой степени ЛР. Однако эта, основная, доля энергии, пропорциональная Ьй, может быть «возвращена газом об- У ратно», если источник возмущения воз- С-0 вращается в свое исходное положение. Энергия, оставшаяся при этом в возму- 0 щенном газе, составит только величину +л Ри второго порядка малости.
Поясним это Р, с-с, положение на простом примеро. и(, су, Пусть в начальный момент в поко- 0. 0 ящийся газ начал вдвигаться поршень Р«+'1Р с постоянной скорое(ью и (гораздо г>г, меньшей скорости звука и (( с). В момент и-0 и=0 11 поршень «мгновенно> останавливает- 0 (с-и) г, л ся. По газу побежит импульс с>катин длиной (с — и) 1, — стм энергия котороРпс. 1М. Распространение импульса го Равна работе, затраченной внешней сжатия от поршня, который»двя- силой, вдвигающей поршень, ри(1 = яулся в га>. = (р« -)- Ьр) и1, — р,и11 (этот случай был рассмотрен выше и иллюстрируется рис.
1.4). Энергия в первом приближении пропорциональна «амплитуде» волны и, ЛО, Лр и временисжатия(т. е. длине возмущения). Предоставим теперь газу возможность вернуть порпгень на место, причем таким образом, что вмо- ,сг мент 11 скорость поршня и «мгновенно» ме- и-Ю Г=0 няется на противоположную, ( — и), а в момент 1» = 211 'поршень, возвратившись в исходное положение, «мгновенно» оста- Рг'0Р НаВЛИВаЕтея. ВОЗМугцЕНИЕ будЕт тЕПЕрЬ вЂ” и иметь вид, изображенный на рис.
1.5, где с-г, показаны состояния в моменты 8 = О, 11, 1> и 1) Г>. Легко проверить непосредственным вычислением, что за второй период и от 11 до 1» газ совершает над порвгнем ра- Рг и-0 боту, в первом приближении в точности равную работе, которую совершил поршень над газом за первый период от нуля ис г до 11. Длины положительной и отрица- 0 и тельной областей импульса в первом при- и-0 и 0 ближенни также одинаковы и равны г с(1 =с (1> — 11). Ряс. 1.5. Распрострапевме ммГаким образом, если просуммиро- пульсов ежа»ля Я РазрежввлЯ от поршня, который сначала вдвя- вать энергии в сжатой и разреженной об- яулся в газ, а затем вернулся яа ластях импульса, то члены первого по- место.
рядка сократятся. Если производить все вьгшсления с учетом членов следующего порядка *), то в энергии останется член второго. порядка, причем плотность энергии возмущения выразится общей формулой (1.37). «) В частности, длляы импульсов сжатия я раарвжеяяя будут отличаться на величину 2и«1 (пря 1, — 11 = 1,).
сфвгичвскив звхковыв 4 4. Сферические звуковые волны В отсутствие поглощения (т. е. без учета вязкости и теплопроводности; см. $22) амплитуда и плотностьэнергии плоских волн не уменыиаютсястечением времени. Например, импульсы, изображенкые на рис. 1.4 и 1.5, уходят на «бесконечность», не именяя своей формы и амплитуды. В сферической волне это уже не так.
Линеаризируя уравнение непрерывности в сферически-симметричном случае, получим дай Зо д о — — — — г и. дс го дг Линеаризованное уравнение движения не отличается от (1.28): ди со дЬЗ дО Зо дг Отсюда, как и в плоском случае, получим волновое уравнение для Лр, решение которого, описывающее волну, расходящуюся от центра, есть 1(г — сс) (1.38) г Если рассматривать короткие импульсы, длиной гораздо меныве г, то можно сказать, что форма импульса, задаваемая функцией ) (г — сс), не меняется, а амплитуда волны падает пропорционально 1гг.
Зто вполне естественно. Предположим, что из центра бежит импульс конечной ширины сог. По мере распространения импульса масса вещества, вовлеченного в движение, РавнаЯ пРимеРно до4лгосъг, Растет пРопоРционально го. Звуковая энергии единицы объема пропорциональна (Ьд)о. Поскольку энергия не меняется, т. е. (сор)ого = сопз1, то амплитуда должна убывать как сор 1/г. Сферическая волна отличается от плоской еще в одном отношении. Подставим решение (1.38) в уравнение движения: ди со ( 1' (г — сс) ((г — сс) ) дС Ос ( г. гз и проинтегрируем полученное выражение по времени.
Получим решение для скорости: г-сС вЂ” — ( = -,— ~ бй — —, ~, (1.39) с Г!(г со) ( У(4)д51 с,(г с,) Ро которое отличается от формулы для плоского случая (1.33) наличием дополнительного члена. В плоской волне в области возмущения вещество может быть только сжато, как это имеет место в случае, изображенном на рис. 1.4. В сферическои волне это невозможно: за областью сжатия обязательно следует область разрежения. В самом деле, за областью возмущения с19 и и обращаются в нуль. В плоском случае в силу пропорциональности и Лй это условие выполняется автоматически, независимо от формы импульса.
В сферической же волне для этого необходимо, чтобы за областью возмущения у (г — сз) = О, т. е. чтобы был равен нулю интеграл по всей области возмущения ср(г — сс) = ~ ~($) И$= ~ гйойг=О. ' Отсюда видно, что Ьр в сферической волне меняет знак, т. е. за областью сжатия следует область разрежения. 24 ГАЗОдинАмикА и клАссичкскА11 ткОРия удАРных Волн ~гл. 1 Дополнительное количество вещества„заключенного в волне, равно Лд.4ягз с)г. Но ЬО (/г, поэтому дополнительная масса в волне сжатия возрастает при расхождении волны от центра.
Растущее в процессе распространения количество сжатого вещества и вызывает появлеппе следующей за волной повышенной плотности волны пониженной плотности. Изменение давления в сферической волне пропорционально изменению плотности, как и в плоской. Скорость же, как видно нэ формулы (».39), не пропорциональна Лр или Лр. В частности, скорость и изменение плотности меняют знак в разных точках, так что в волне, бегущей от центра, профили плотности и скорости имеют вид, изображенный на рис.
1.6. й 5. Характеристики В $3 было показано, что если в на- чальный момент 1» в какой-либо точке хе Ряс. 1.6. Распределение плотно- неподвижного газа, плотность и давление стя в скорости з сфервческой которого везде Одинаковы, создать произ- звуковой волне. вольные малые возмущения скорости и давленяя (или плотности *)), то от этой точки в обе стороны со скоростью звука побегут две волны, несущие возмущения. В волне, распространяющейся в сторону положительных л, направо, малые изменения всех величин связаны между собою соотношениями: Л~ с Л1и = — — й - = —" Л1ч = ( (х — с1) ее).
осс ос В волне, распространяющейся налево: Ьзи = — — = — — Л»О = — 1» (х + с1). А»Р с йсс Ос Произвольные возмущения Ли и Лр, возникшие в начальный момент, всегда можно разложить на две составляющие: Ли = Л,и + Лзи, Лр = .= Л1р + Лзр, подчиненные указанным соотношениям, так что в общем случае начальное возмущение распространяется в разные стороны в виде двух воли. Если начальные возмущения Ьи, Лр не произвольны, а уже свяэань1 между собой одним из соотношений, то возмущение бежит в одну нэ сторон (это соответствует обращению в нуль одной иэ функций, )1 или )з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
