Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Отметим внешнее сходство энергетического соотношения на ударном разрыве (1.64) с интегралом Бернулли для стационарного потока ио И+ — = СОПЗ1 г справедливого вдоль линии тока. й 14. Ударная аднабата Уравнения (1.61) — (1.63), связывающие между собой параметры газа по обе стороны разрыва, представляют собой систему трех алгебраических уравнений относительно шести величин: ио, ро, Ро, и>, О1, р> (термодинамические свойства вещества, т.
е. функции з (Р, О) илн и> (Р, О) предполагаются известными). Зная термодинамические параметры газа перед разрывом ро, Ро и задаваясь какой-нибудь из величин, характеризующих амплитуду ударной волны, например, давлением за фронтом волны Р, или скоростью «поршня», создающего волну ~ и; = ио — и„можно вычислить все остальные неизвестные величины. Выпишем некоторые общие соотношения, следующие из законов сохранения (1.61) (1.63).
Введем вместо плотностей удельные объемы «'о = 1(до, $'1 = 1!р1. Из уравнения (1.61) получим (1.66) $'1 и1 Исключая из первых двух уравнений (1.61) — (1.62) сначала одну, а потом другую скорость, найдем о ьо Р1 — Ро ио= ~ор у о о— (1. 67) > Ео Р1 Ро Уо — У> (1.68) Если ударная волна создается в покоящемся газе движением поршня, для скорости дни>кения сжатого газа относительно невозмущенного, равной скорости «поршня», получим формулу ~ и ~ = ио — и> =У(Р1 — Ро) (ро — р 1).
о (и',— и*,) = 2 (Р,— Р,) (Уо+Р1). (1. 70) Отметим полезную формулу для разности кинетических энергий газа по обе стороны разрыва в системе координат, в,' которой разрыв покоится: 1 и) УдАРные ВОлны В ГАзе с пОстОЯннОЙ теплоемкостью 51 Подставляя выражения для квадратов скоростей (1.67), (1.68) в уравнение энергии (1.63), получим соотношение, связывающее давления с удельными объемами по обе стороны разрыва: е1(Р1У1) — еа (Раус) = —.
(Р~+ Ра) (Уа — У1). Заменяя удельные внутренние энергии на удельные знтальпии по формуле и = с )- РУ, перепишем зту формулу в другом виде: ю~ — юа = а. (Р1 — Ра) ( а+ У 1) 1 По аналогии с соотношением, связывающим начальные и конечные давления и объемы при адиабатическом сжатии вещества, выражения (1.71) или (1.72) носят название ударной адиабаты или адиабаты Гюгонио. Ударная адиабата представляется функцией Ра = Н (~ а| Ра г а) в (1.73) которая в ряде конкретных случаев, когда термодинамические связи е = е (Р, г') выражаются простыми формулами, может быть найдена в явной форме. Ударная адиабата имеет существенное отличие от обычной адиабаты (адиабаты Пуассона в идеальном газе с постоянной теплоемкостью). Б то время как последняя представляет собой однопараметрическое семейство кривых р = Р (У, О'), где параметром служит только значение энтропии О, адиабата Гюгонио зависит от двух параметров: давления и объема в начальном состоянии Ра,"га.
Чтобы исчерпать все кривые р = Р (У,О), достаточно пройти одномерный ряд значений энтропии О'. Чтобы исчерпать все кривые Р = Н (У, ра, а'а), надо построить «бесконечность в квадРате» кРивых, отвечающих всем возможным Ра и Уа. з 15. Ударные волны в идеальном газе с постоянной теплоезшостью е=сУТ= — РУ; ю=сРТ=- рр. (1.74) Зто дает возможность найти в явном виде уравнение ударной адиабаты: Р (У+ 1) 1'а — (У вЂ” 1) У~ (У+1) У вЂ” (У вЂ” ) Уа ' Для отношения объемов получим формулу: (1.75) (У 1) Ра+(У+1) Ра Уа (У '-1)Р1+(У вЂ” 1) Ра Отношение температур равно (1.76) т, Р,у, Та Раус (1.77) 4* Особенно простой вид преобретают формулы для ударной волны в случае идеального газа с постоянной теплоемкостью.
На этом примере удобно выяснить Все основные закономерности изменения величин в ударной Волне. Подставим в уравнения ударной адиабаты (1.71) или (1,72) соотношения 52 ГАЗОДинАмикА и клАссическАЯ теОРиЯ УДАРных Волн (гл. г С помощью (1.76) скорости по формулам (1.67) и (1,68) можно представить через давления и начальный объем: л', = — '- [(у — 1) р, + (7+1) р1], о 2 (1.78) 1 ро ((т+ 1) Ро+(М 1) Р1)о 1 2 ((т — 1) ро+(у+1) ро] (1. 79) Выясним на примере идеального газа с постоянной теплоемкостью некоторые закономерности для ударных волн.
Ударная аднабата представляет собой кривую на плоскости р, Р, которая проходит через точку начального состояния ро, ро. Эта кривая изображена на рис. 1.27. В принципе формулу (1 75) можно распространить и на давления, меньшие начального р, (ро. Как мы увидим ниже, в з 17, зта часть кривой соответствует физически неосуществимым состояниям. Позтоооу она проведена на рис. 1.27 пунктиром.
Из формулы (1.76) видно, что в случае ударной волны очень высокой амплитуды, когда давление за фронтом гораздо больше начального, плотность газа при возрастании амплитуды увеличивается не беспредельно, а стремится к определенному значению. Это предельное сжатие в ударной волне зависит только от показателя адиабаты и равно О1 1'о у+1 со У1 т — '1 (1.80) ро 1' — 1 то у+1 Р, (1.81) Скорости в пределе при р1/р,-1 оо растут пропорционально корню из давления. Как видно из формул (1.67) и (1.68), при р, >> ро / о -)-1 о / (т — 1)о ло= 1~ — 2 Р1)'о Л1= Р' 2(У 1 В Р1 о- (1.82) Ро Ро Для одноатомного газа с у = 5/3 предельРис.
1.27. Ударзоз одиа- нос Сжатне Равно 4. Для двухатомного газа бата. в предположении, что колебания не возбу- ждены, у = 7/5, и предельное сжатие равно 6; если считать, что колебания возбуждены, у = — 9/7 и сжатие равно 8. В действительности, при высоких давлениях и температурах теплоемкость и показатель адиабаты в газах уже не являются постоянными, так как в газе происходят диссоциация молекул и ионизация атомов. Ударная адиабата с учетом зтнх процессов будет рассмотрена в гл. 111.
Однако и в атом случае величина сжатия всегда остается ограниченной и чаще всего не превышает 11 — 13. Сяоатие газа в ударной волне при данном большом отношении давлений тем сильнее, чем выше теплоемкость и меньше показатель адиабаты. Поскольку при больших давлениях р, плотность возрастает очень медленно с ростом давления, температура сжатого газа растет пропорционально давлению (см. формулу (1.77) при И1 ж сова(). В пределе сильной волны, когДа Р,/Ро » 1 и Р1/Уо = (У вЂ” 1)/(У + 1), 115) удогнык ВОлны В глзк с пОстОяннОЙ теплоемкостью 53 Очень важные следствия можно получить, сопоставляя скорости газа по обе стороны разрыва с соответствующими скоростями звука.
В идеаль- ном газе с постоянной теплоемкостью со= ( — — ) = у —.=урр. ~зр ~ р (, оо,)з о Составим отношения скоростей газа относительно разрыва к скоростям звука: (у 1)+(7+1) РА (у — 1)+(у+ 1) — "' (1.83) (1.84) ,) И +(7+1) Ро р Рт Ро го=со(п — — ' =су 1п рок Ро ~ о (1.85) (у+ В -' — "+(у — О Ро В предельном случае слабой волны (Р, ж р,) выражение в фигурных скобках близко к единице и Л, ж 8о. При возрастании амплитуды волны, т. е. при увеличении отношения р,/р„начиная от единицы, выражение в фигурных скобках, как легко проверить, монотонно растет, стремясь к бесконечности при Ро/ро — о. СО.
Таким образом, энтропия газа, испытывающего ударное сжатие, возрастает, причем тем сильнее, чем выше амплитуда ударной волны. Возрастание энтропии свидетельствует о том, что в ударной волне происходят необратимые, диссипативиые процессы, связанные с существованием вязкости и теплопроводности вещества. Теория, в которой В предельном случае ударной волны малой амплитуды, когда давления по обе стороны разрыва близки друг к другу Р~ — Ро. (Р~ — Ро) /Ро << 1~ согласно формуле (1.76), также мало и сжатие газа: Г, )го, близки друг к другу и скорости звука с, с,. Из формул (1.83) и (1.84) видно, что в этом случае ио со ж с~ — иь Но ио есть скорость распространения разрыва по невозмущеиному газу.
Таким образом, слабая ударная волна бежит по газу со скоростью, очень близкой к скорости звука, т. е. Практически не отличается от акустической волны сжатия. Это пе удивительно, ибо при малом отличии р, от р, мы имеем дело с малым возмущением. Далее, из формул (1.83) и (1.84) видно, что в ударной волне, в которой происходит сжатие газа (1Г, ( р„р, ) Р,), газ втекает в разрыв со сверхзвуковой скоростью и, ~ со, а вытекает из него с дозвуковой и~ ( с, (то, что )г, ( Го, О, ) оо при Р, ) ро, следует и из общих формул (1.67), (1.68)).
Можно сказать иначе: ударная волна распространяется по невозмущенному газу со сверхзвуковой скоростью, а по сжатому газу, находящемуся за нею, с дозвуковой. Чем вьппе амплитуда ударной волны, т. е. чем больше отношение р,/ро, тем болыпе скорость фронта волны ио по сравнению со скоростью звука в певозмущенном газе с,. Отношение же и,/с, в пределе сильной волны р~ )) ро стремится к постоянной величине и~/с~ -о- )/ (у — 1)/27 ( 1. Рассмотрим, что происходит с энтрошзей газа при сжатии его ударной волной. Энтропия идеального газа с постоянной теплоемкостью с точностью до константы равна Л =- су1п РГт. Разность энтропий по обе стороны фронта ударной волны с помощью формулы (1.76) можно представить в виде 54 ГАзодинАмикА и клАссическАя теОРия удАРных волн ~гл.
« эти процессы не учитываются, естественно, не может описать сам механизм ударного сжатия, не может описать структуру того тонкого, но в действительности конечного слоя, в котором происходит переход газа из начального состояния в конечное. Именно поэтому в теории, где вязкость и теплопроводность не приняты во внимание, ударный разрыв представляется математической поверхностью с нулевой толщиной. Как было отмечено выше, в такой теории нет характерной длины, которая могла бы послужить масштабом для толщины разрыва. При учете молекулярной структуры газа, т.
е. процессов вязкости и теплопроводности, такой масштаб появляется. Это — длина свободного пробега молекул, которой пропорциональны коэффициенты вязкости и теплопроводности и которая, в действительности, служит мерой реальной ширины разрыва. Существенно, однако, что сама величина возрастания энтропии при ударном сжатии совершенно не зависит от механизма диссипации и определяется исключительно законами сохранения массы, импульса и энергии. От механизма диссипации зависит только ширина разрыва, т.
е. скорость, с которой происходит необратимое нагревание газа, НСОытывающего ударное сжатие. Так, стакан горячей воды непременно остывает до вполне определенной, комнатной температуры, совершенно независимо от механизма теплообмена с окружающей средой, которым определяется лишь скорость остывания. От механизма диссипации зависят величины градиентов газодинамических величин в переходном слое, но не скачки этих величин между конечным и начальным состояниями, которые определяются только ааконами сохранения. Например, если Лр = р« — р> есть скачок давления в ударной волне, а Лх — ширина переходного слоя, то при изменении коэффициентов вязкости и теплопроводности меняются Лх и Пр/Нх Лр/Лх, но произведение Ах — Лр остается неизменным.
В пределе, «Р когда коэффициенты вязкости и теплопроводности устремляются к нулю, «Р 1 ЛХ ->. О, а — „— — > Оо, ГрадИЕНтЫ СтаНОВятСя бЕСКОНЕЧНЫМИ, ЧтО и соответствует разрыву. Дифференциальные уравнения газовой динамики без учета вязкости и теплопроводности лишь допускают возможность существования разрывов, но не могут описать непрерывным образом переход из начального в конечное состояние, ибо в уравнениях автоматически заложено условие адиабатичности процесса, НЯ/«/г = О, эквивалентное уравнению энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
