Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е Ро Рнс. 1.3КК вопросу об однократном н многократном ударном н нднабн-,й''7. Невозможность СУЩествованин тнческом сжатиях газа до одннако- ударной волны разрежения в веществе ного давлении рь с нормальными свойствами Н„Нв, ПС вЂ” гневные еннабаты, Ллн котовых точки А, В, С являются ннчель- В 3 15 были выписаны формулы ныли; Р— нлиабате Пуассона. для вычисления различных величин, связанных с ударной волной, для случая идеального газа с постоянной теплоемкостью. Из этих формул непосредственно следовало, что в ударной волне, в которой происходит сжатие вещества, выполняются следующие неравенства." Я РьА рт < р'о ио) со и, (с„ 8ь ) 8о (1.86) Р1 ' Ро Ь йо Р„Ро бо р7 РеРс гт Одновременно со сжатием вещества и повышением его давления растет и энтропия; Р.Ро ое волна распространяется по невозмущенному и,>с, газу со сверхзвуковой скоростью, а по он<атому газу за нею — с дозвуковой.
Этот режим схематически изображен на рис. 1.32, а. Распространим теперь выражения (1.75) для ударной адиабаты на давления, меньшие начального, н допустим, что существуют такие разрывы, в которых происходит не сжатие, а разрежение газа: рт ра, Р1 ( Ро. Законы сохранения массы, импульса и энергии, с помощью которых были получены формулы, связывающие скорости, плотности и давления по обе стороны разрыва, никак не ограничивают возможности существования таких разрывов. Из формул (1.83) — (1.84) видно, что в этом случае ио <се, а и,)с,.
Формула (1.85) для скачка энтропии в разрыве свидетельствует о том, что энтропия газа при этом уменьшается (выражение в фигурных скобках меньше единицы при Рт<Рс). 1!71 НЕВОЗМОЖНОСТЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ 59 Мы приходим, таким образом, к режиму ударной волны разрежения, в котором одновременно выполняются следующие неравенства: Р«<Р« й»<0« )'»))'о, и«<сс иг)со Ю,(Ю«, (1.87) и который схематически изображен на рис.
1.32„б. Геометрическая интерпретация этих неравенств, подобная изложенной в 3 16, представлена на рис. 1.33. Наклон прямой А В меньше наклона касательной к ударной адиабате ВА в точке начального состояния А (ис ( сс) и больше наклона касательной ко второй ударной адиабате Пв, проведенной через точку конечного состояния В (иг ) сг). Адиабата Пуассона Р, проходящая через точку А в области р, (Р„стелется Р выше ударной адиабаты ВА. Этим и объясняется уменьшение энтропии при ударном разрежении.
При адиабатическом разреже- Р, нии до того же объема »г«давление р' выше конечного р,. Для того чтобы прийти из «) в В, надо охладить газ при постоян- Р 1 1,Р ном объеме, т. е. уменыпить его энтропию. Но по второму закону термодинамики, Рг за счет одних только внутренних процессов, и без отбора тепла наружу, энтропия вещества не может уменьшаться. Отсюда следу- »'« Ь~ ет невозможность распространения волны Рнс. 1.33. К геометрической дн- РазрсжЕНИЯ В ВИДЕ РаЗРЫВа, И ИЗ ДВУХ терпретацнн неравенств в «ударрел«имов, существование которых допуска- ной волне разреженвя».
ется законами сохранения массы, импульса нА — ударная ядиьастя; Р— сди»еятя и энергии требование возрастания энтро пУассона, прях»дягиля черс» точкУ А начального ссстсивиЯ; Нв — УлаР- пии выбирает только один — ударную ВОЛ- вяя иди»аята, врсвсдсвяая и» тсчия ну сжатия. Это положение носит совершен- ясисчисгс сссгсявия В. но общий характер н известно под названием теоремы Цемплена. В следующем параграфе будет показано, что в волнах слабой интенсивности при условии положительности второй производной (д»Ргд'»г»)е ) О совокУпности неРавенств (1.86) нли (1,87) выполняются одновременно, совершенно независимо от конкретных термодинамических свойств вещества.
Это положение можно доказать и для волн не малой амплитуды и произвольного вещества. Кдинственное условие, которое накладывается на свойства вещества,— это чтобы ударная адиабата во всех точках была обращена выпуклостью вниз: (дтр7д7«)я ) О, подобно тому как это имеет место для идеального газа с постоянной тепло- емкостью.
Подавляющее большинство реальных веществ обладает именно такими свойствами, так что утверждение о невозможности существования ударных волн разрежения имеет весьма общий характер (о некоторых исключениях речь пойдет ниже). Невозможность существования ударной волны разрежения можно пояснить следующим образом. Такая волна распространялась бы по невозмущенному газу с дозвуковой скоростью ис ( сс. Значит, если в какой-то момент времени и возникнет состояние, подобное изображенному на рис. 1.32, б, то возмущение от скачка плотности н давления побежит вправо со скоростью звука см обгоняя «ударную волну»; через некоторое время разрежение охватит газ перед «разрывом», и разрыв попросту 60 глзодинлмикл и кллссичкскля тногия ударных волн ~гл. з Волна сжатия ~ Велла разрежения Воамзжпа; энтропия Неэозможпа; знтрорастет; л~ехаппче- ~ ппя уменьшается; снап узгойчпзость ~ механическая не- устойчивость Разрыв Плавное рас- ~ Незозможпа; пеогра- ~ пределеппе ! ппчепное нарастание нрутпапыфрол! та, перехздлщее в еперехлестызапяее Возможна; распределения становятся с течением зремепл все более плавными размоется.
Иными словами, ударная волна разрежения механически неустойчива. Наоборот, ударная волна сжатия распространяется по невозмущенному газу со сверхзвуковой скоростью из ) са, 'состояние за фронтом этой волны никак не может повлиять иа состояние газа перед волною и разрыв остается устойчивым. Относительно сжатого газа ударная волна сжатия распространяется с дозвуковои скоростью и, ( с„поэтому газо- динамический режим за фронтом ударной волны влияет на амплитуду волны. Если, скажем, подогревать или сжимать гаа за фронтом, то ударная волна будет усиливаться, и наоборот, если за фронтом ударной волны происходит охлаждение газа или его разрежение, то возмущения, несущие разрежение, догоняют ударную волну и ослабляют ее.
В ударной волне разрежения положение было бы обратное: поскольку она распространялась бы по разреженному газу со сверхзвуковой скоростью, она не была бы подвержена воздействию каких-либо процессов, происходящих за нею — была бы «неуиравляемой». Весьма существенно, что условие механической устончивости ударной волны совпадает с термодинамическим условием возрастания энтропии. Механическая устойчивость может иметь место только тогда, когда волна распространяется по невозмущенному веществу со сверхзвуковой скоростью, иначе возмущение, вызываемое ударной волной, проникло бы в исходный газ со скоростью звука, опередило бы ударную волну, размывая тем самым резкий фронт волны. В то же время с условием возрастания энтропии совпадает и условие, позволяющее представить себе причинную связь явлений. Именно при возрастании энтропии ударная волна сжатия распространяется по испытавшему превращение газу с дозвуковой скоростью, т. е. внешние факторы, такие, например, как поршень, вдвигающийся в газ, могут вызывать появление ударной волны и в дальнейшем воздействовать на ее распространение.
Таким образом, в веществе с нормальными термодинамическими свойствами, когда (дзр/дрз)л ) О, ударные волны сжатия, соответствующие возрастанию энтропии, оказываются механически устойчивыми и подверженными воздействию внешних причин. Возникновение ударной волны разрежения невозможно как с термодннамической точки зрения, так и с точки зрения устойчивости: возникший однажды крутой фронт разрежения размылся бы с течением времени. Приведем в заключение этого параграфа таблицу, иллюстрирующую возможности осуществления различных режимов: 61 удАРные ВОлны слАВОЙ интенсиВности $!е1 5 18. Ударные волны слабой интенсивности Рассмотрим ударную волну слабой интенсивности, в которой скачки всех газодинамических параметров можно рассматривать как малые величины.
При этом пока не будем делать никаких предположений о термодинамических свойствах вещества, исходя только из законов сохранения. рассматривая внутреннюю энергию как функцию энтропии и удельного объема, запишем приращение энергии в ударной волне в виде разложения по малым приращениям независимых переменных около точки начального состояния: ео — ее =(;~~ )у(.У~ — 8о) +(ду ) (~'1 — Уо)+ 1 ~" дое' Л дое Х т —, - — ~ (1'1 — Уо)'+ — ( — — ) 0'е — Уо)'. 2 ',дро 'е 6 (, дре,)з Все производные в этом разложении берутся в точке начального состояния УоУо.
Как мы сейчас увидим, приращение энтропии в волне Я,— Яо есть величина третьего порядка малости, если рассматривать приращение К,— Ро как малую первого порядка. Поэтому, ограничиваясь разложением внутренней энергии до величин третьего порядка, мол'но опустить члены, пропорциональные (8,— Яо) (е',— Уо), (Я,— 8о)о и т. д. Согласно термодннамическому тождеству Ие = Те(Ь" — реог', ( —,") =-Т, Поэтому е, — со = То (8, — Бо) — Ро ('е' — Уо)— /др'~ ~' дер Х вЂ” — (' — ) (Р,-Г.)' — '- -) % — Кд' 2 (. дФ' )з 6 (,дро))з Подставим это выражение в уравнение аднабаты Гюгонио (1.71) и разложим в правой части ее давление р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
